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Theorem axpowndlem3OLD 8993
Description: Obsolete proof of axpowndlem3 8992 as of 9-Jun-2019. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem3OLD  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axpowndlem3OLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpowndlem2OLD 8991 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2 axpowndlem1 8989 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
3 p0ex 4643 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  _V
4 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  {
(/) } ) )
54imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( w  =  (/)  ->  w  e.  x )  <-> 
( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/) } ) ) )
65albidv 1714 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x )  <->  A. w
( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/) } ) ) )
73, 6spcev 3201 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/)
} )  ->  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
8 0ex 4587 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
98snid 4060 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
}
10 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  { (/) }  <->  (/)  e.  { (/)
} ) )
119, 10mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  w  e. 
{ (/) } )
127, 11mpg 1621 . . . . . . 7  |-  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
)
13 neq0 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  w  =  (/)  <->  E. x  x  e.  w )
1413con1bii 331 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. x  x  e.  w  <->  w  =  (/) )
1514imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  ( w  =  (/)  ->  w  e.  x ) )
1615albii 1641 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
1716exbii 1668 . . . . . . 7  |-  ( E. x A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
1812, 17mpbir 209 . . . . . 6  |-  E. x A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )
19 nfnae 2059 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
20 nfnae 2059 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
21 nfcvf2 2645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
22 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y w )
2321, 22nfeld 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  x  e.  w )
2419, 23nfexd 1953 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y E. x  x  e.  w )
2524nfnd 1903 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  -.  E. x  x  e.  w )
2622, 21nfeld 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  w  e.  x )
2725, 26nfimd 1918 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y
( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x ) )
28 dveeq2 2043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  A. x  w  =  y )
)
2928imdistani 690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  w  =  y ) )
30 nfa1 1898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. x  w  =  y
31 elequ2 1824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
3231sps 1866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  w  =  y  ->  ( x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
3330, 32exbid 1887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  w  =  y  ->  ( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y )
)
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  w  =  y
)  ->  ( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y )
)
3635notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( -.  E. x  x  e.  w  <->  -.  E. x  x  e.  y )
)
37 elequ1 1822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3936, 38imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <-> 
( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4039ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  ( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x
) ) ) )
4120, 27, 40cbvald 2026 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4219, 41exbid 1887 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( E. x A. w ( -. 
E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4318, 42mpbii 211 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) )
44 nfae 2057 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  z
45 nfae 2057 . . . . . . 7  |-  F/ y A. x  x  =  z
46 axc11 2055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z  -.  x  e.  y  ->  A. x  -.  x  e.  y ) )
4746aecoms 2053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z  -.  x  e.  y  ->  A. x  -.  x  e.  y ) )
48 alnex 1615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  -.  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
49 alnex 1615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  -.  x  e.  y  <->  -.  E. x  x  e.  y )
5047, 48, 493imtr3g 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  ->  -. 
E. x  x  e.  y ) )
51 nd3 8981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. y  x  e.  z )
5251pm2.21d 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y  x  e.  z  ->  -.  E. x  x  e.  y ) )
5350, 52jad 162 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  -.  E. x  x  e.  y )
)
5453spsd 1868 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  -.  E. x  x  e.  y ) )
5554imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5645, 55alimd 1877 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5744, 56eximd 1883 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5843, 57syl5 32 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5958a1dd 46 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
6059, 2pm2.61d2 160 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
611, 2, 60pm2.61ii 165 1  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   (/)c0 3793   {csn 4032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-reg 8036
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035
This theorem is referenced by: (None)
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