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Theorem axpowndlem3OLD 8977
Description: Obsolete proof of axpowndlem3 8976 as of 9-Jun-2019. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem3OLD  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axpowndlem3OLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpowndlem2OLD 8975 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2 axpowndlem1 8973 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
3 p0ex 4634 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  _V
4 eleq2 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  {
(/) } ) )
54imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( w  =  (/)  ->  w  e.  x )  <-> 
( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/) } ) ) )
65albidv 1689 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x )  <->  A. w
( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/) } ) ) )
73, 6spcev 3205 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/)
} )  ->  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
8 0ex 4577 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
98snid 4055 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
}
10 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  { (/) }  <->  (/)  e.  { (/)
} ) )
119, 10mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  w  e. 
{ (/) } )
127, 11mpg 1603 . . . . . . 7  |-  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
)
13 neq0 3795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  w  =  (/)  <->  E. x  x  e.  w )
1413con1bii 331 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. x  x  e.  w  <->  w  =  (/) )
1514imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  ( w  =  (/)  ->  w  e.  x ) )
1615albii 1620 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
1716exbii 1644 . . . . . . 7  |-  ( E. x A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
1812, 17mpbir 209 . . . . . 6  |-  E. x A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )
19 nfnae 2031 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
20 nfnae 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
21 nfcvf2 2655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
22 nfcvd 2630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y w )
2321, 22nfeld 2637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  x  e.  w )
2419, 23nfexd 1899 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y E. x  x  e.  w )
2524nfnd 1850 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  -.  E. x  x  e.  w )
2622, 21nfeld 2637 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  w  e.  x )
2725, 26nfimd 1864 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y
( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x ) )
28 dveeq2 2015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  A. x  w  =  y )
)
2928imdistani 690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  w  =  y ) )
30 nfa1 1845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. x  w  =  y
31 elequ2 1772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
3231sps 1814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  w  =  y  ->  ( x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
3330, 32exbid 1834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  w  =  y  ->  ( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y )
)
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  w  =  y
)  ->  ( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y )
)
3635notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( -.  E. x  x  e.  w  <->  -.  E. x  x  e.  y )
)
37 elequ1 1770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3936, 38imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <-> 
( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4039ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  ( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x
) ) ) )
4120, 27, 40cbvald 1998 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4219, 41exbid 1834 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( E. x A. w ( -. 
E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4318, 42mpbii 211 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) )
44 nfae 2029 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  z
45 nfae 2029 . . . . . . 7  |-  F/ y A. x  x  =  z
46 axc11 2027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z  -.  x  e.  y  ->  A. x  -.  x  e.  y ) )
4746aecoms 2025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z  -.  x  e.  y  ->  A. x  -.  x  e.  y ) )
48 alnex 1598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  -.  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
49 alnex 1598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  -.  x  e.  y  <->  -.  E. x  x  e.  y )
5047, 48, 493imtr3g 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  ->  -. 
E. x  x  e.  y ) )
51 nd3 8965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. y  x  e.  z )
5251pm2.21d 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y  x  e.  z  ->  -.  E. x  x  e.  y ) )
5350, 52jad 162 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  -.  E. x  x  e.  y )
)
5453spsd 1816 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  -.  E. x  x  e.  y ) )
5554imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5645, 55alimd 1824 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5744, 56eximd 1830 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5843, 57syl5 32 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5958a1dd 46 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
6059, 2pm2.61d2 160 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
611, 2, 60pm2.61ii 165 1  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   (/)c0 3785   {csn 4027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-reg 8019
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030
This theorem is referenced by: (None)
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