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Theorem axpowndlem3 8973
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 10-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem3  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axpowndlem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sp 1843 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  x  =  y )
21con3i 135 . 2  |-  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. x  x  =  y )
3 p0ex 4620 . . . . . . . 8  |-  { (/) }  e.  _V
4 eleq2 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  {
(/) } ) )
54imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( w  =  (/)  ->  w  e.  x )  <-> 
( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/) } ) ) )
65albidv 1698 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x )  <->  A. w
( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/) } ) ) )
73, 6spcev 3185 . . . . . . 7  |-  ( A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  { (/)
} )  ->  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
8 0ex 4563 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
98snid 4038 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  { (/)
}
10 eleq1 2513 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  { (/) }  <->  (/)  e.  { (/)
} ) )
119, 10mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  w  e. 
{ (/) } )
127, 11mpg 1605 . . . . . 6  |-  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
)
13 neq0 3777 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  w  =  (/)  <->  E. x  x  e.  w )
1413con1bii 331 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
E. x  x  e.  w  <->  w  =  (/) )
1514imbi1i 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  ( w  =  (/)  ->  w  e.  x ) )
1615albii 1625 . . . . . . 7  |-  ( A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
1716exbii 1652 . . . . . 6  |-  ( E. x A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. w ( w  =  (/)  ->  w  e.  x
) )
1812, 17mpbir 209 . . . . 5  |-  E. x A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )
19 nfnae 2042 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
20 nfnae 2042 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
21 nfcvf2 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
22 nfcvd 2604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y w )
2321, 22nfeld 2611 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  x  e.  w )
2419, 23nfexd 1936 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y E. x  x  e.  w )
2524nfnd 1886 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  -.  E. x  x  e.  w )
2622, 21nfeld 2611 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  w  e.  x )
2725, 26nfimd 1901 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y
( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x ) )
28 nfeqf2 2025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  w  =  y )
2919, 28nfan1 1911 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )
30 elequ2 1807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
3229, 31exbid 1870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( E. x  x  e.  w  <->  E. x  x  e.  y )
)
3332notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( -.  E. x  x  e.  w  <->  -.  E. x  x  e.  y )
)
34 elequ1 1805 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3633, 35imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  y )  -> 
( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <-> 
( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
3736ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  ( ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x
) ) ) )
3820, 27, 37cbvald 2009 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. w ( -.  E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
3919, 38exbid 1870 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( E. x A. w ( -. 
E. x  x  e.  w  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) ) )
4018, 39mpbii 211 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x ) )
41 nfae 2040 . . . . 5  |-  F/ x A. x  x  =  z
42 nfae 2040 . . . . . 6  |-  F/ y A. x  x  =  z
43 axc112 1921 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z  -.  x  e.  y  ->  A. x  -.  x  e.  y ) )
44 alnex 1599 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  -.  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
45 alnex 1599 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  -.  x  e.  y  <->  -.  E. x  x  e.  y )
4643, 44, 453imtr3g 269 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  ->  -. 
E. x  x  e.  y ) )
47 nd3 8962 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. y  x  e.  z )
4847pm2.21d 106 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y  x  e.  z  ->  -.  E. x  x  e.  y ) )
4946, 48jad 162 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  -.  E. x  x  e.  y )
)
5049spsd 1851 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  -.  E. x  x  e.  y ) )
5150imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5242, 51alimd 1860 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5341, 52eximd 1866 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x A. y ( -.  E. x  x  e.  y  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5440, 53syl5com 30 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
55 axpowndlem2 8971 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5654, 55pm2.61d 158 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
572, 56syl 16 1  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1379    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802   (/)c0 3767   {csn 4010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-reg 8016
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-v 3095  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013
This theorem is referenced by:  axpowndlem4  8975
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