MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpowndlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axpowndlem2 9048
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. Revised to remove a redundant antecedent from the consequence. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.) (Revised and shortened by Wolf Lammen, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axpowndlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfpow 4595 . . . 4  |-  E. w A. y ( A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )
2 19.8a 1945 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  y  ->  E. z  w  e.  y )
3 sp 1947 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  w  e.  z  ->  w  e.  z )
42, 3imim12i 59 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  z ) )
54alimi 1694 . . . . . 6  |-  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z ) )
65imim1i 60 . . . . 5  |-  ( ( A. w ( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
76alimi 1694 . . . 4  |-  ( A. y ( A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  A. y
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
81, 7eximii 1719 . . 3  |-  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )
9 nfnae 2162 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
10 nfnae 2162 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
119, 10nfan 2021 . . . 4  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
12 nfnae 2162 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
13 nfnae 2162 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
1412, 13nfan 2021 . . . . 5  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
15 nfv 1771 . . . . . . 7  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
16 nfnae 2162 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
17 nfcvd 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x w )
18 nfcvf 2625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
1917, 18nfeld 2610 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  w  e.  y )
2016, 19nfexd 2045 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x E. z  w  e.  y )
2120adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. z  w  e.  y )
22 nfcvd 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x w )
23 nfcvf 2625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
2422, 23nfeld 2610 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x  w  e.  z )
2513, 24nfald 2044 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x A. y  w  e.  z )
2625adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y  w  e.  z )
2721, 26nfimd 2010 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )
)
2815, 27nfald 2044 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z ) )
2918, 17nfeld 2610 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  y  e.  w )
3029adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  e.  w )
3128, 30nfimd 2010 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
3214, 31nfald 2044 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
33 nfeqf2 2145 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  w  =  x )
3433naecoms 2157 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  w  =  x )
3534adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ y  w  =  x )
3614, 35nfan1 2020 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
37 nfnae 2162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
38 nfeqf2 2145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/ z  w  =  x )
3938naecoms 2157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ z  w  =  x )
4037, 39nfan1 2020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )
41 elequ1 1904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
4241adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
4340, 42exbid 1974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )  ->  ( E. z  w  e.  y 
<->  E. z  x  e.  y ) )
4443adantll 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. z  w  e.  y 
<->  E. z  x  e.  y ) )
4512, 34nfan1 2020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )
46 elequ1 1904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4746adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4845, 47albid 1973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( A. y  w  e.  z 
<-> 
A. y  x  e.  z ) )
4948adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y  w  e.  z 
<-> 
A. y  x  e.  z ) )
5044, 49imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
5150ex 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) ) )
5211, 27, 51cbvald 2128 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
5352adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
54 elequ2 1911 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
5554adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
5653, 55imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <-> 
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5736, 56albid 1973 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5857ex 440 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
5911, 32, 58cbvexd 2129 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w A. y ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
608, 59mpbii 216 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
6160ex 440 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673   F/wnf 1677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-pow 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 377  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591
This theorem is referenced by:  axpowndlem3  9049
  Copyright terms: Public domain W3C validator