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Theorem axpowndlem2 8969
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. Revised to remove a redundant antecedent from the consequence. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.) (Revised and shortened by Wolf Lammen, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axpowndlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfpow 4541 . . . 4  |-  E. w A. y ( A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )
2 19.8a 1912 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  y  ->  E. z  w  e.  y )
3 sp 1914 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  w  e.  z  ->  w  e.  z )
42, 3imim12i 59 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  z ) )
54alimi 1678 . . . . . 6  |-  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z ) )
65imim1i 60 . . . . 5  |-  ( ( A. w ( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
76alimi 1678 . . . 4  |-  ( A. y ( A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  A. y
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
81, 7eximii 1703 . . 3  |-  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )
9 nfnae 2119 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
10 nfnae 2119 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
119, 10nfan 1988 . . . 4  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
12 nfnae 2119 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
13 nfnae 2119 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
1412, 13nfan 1988 . . . . 5  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
15 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
16 nfnae 2119 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
17 nfcvd 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x w )
18 nfcvf 2587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
1917, 18nfeld 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  w  e.  y )
2016, 19nfexd 2012 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x E. z  w  e.  y )
2120adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. z  w  e.  y )
22 nfcvd 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x w )
23 nfcvf 2587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
2422, 23nfeld 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x  w  e.  z )
2513, 24nfald 2011 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x A. y  w  e.  z )
2625adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y  w  e.  z )
2721, 26nfimd 1977 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )
)
2815, 27nfald 2011 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z ) )
2918, 17nfeld 2572 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  y  e.  w )
3029adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  e.  w )
3128, 30nfimd 1977 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
3214, 31nfald 2011 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
33 nfeqf2 2102 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  w  =  x )
3433naecoms 2114 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  w  =  x )
3534adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ y  w  =  x )
3614, 35nfan1 1987 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
37 nfnae 2119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
38 nfeqf2 2102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/ z  w  =  x )
3938naecoms 2114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ z  w  =  x )
4037, 39nfan1 1987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )
41 elequ1 1875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
4340, 42exbid 1941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )  ->  ( E. z  w  e.  y 
<->  E. z  x  e.  y ) )
4443adantll 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. z  w  e.  y 
<->  E. z  x  e.  y ) )
4512, 34nfan1 1987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )
46 elequ1 1875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4845, 47albid 1940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( A. y  w  e.  z 
<-> 
A. y  x  e.  z ) )
4948adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y  w  e.  z 
<-> 
A. y  x  e.  z ) )
5044, 49imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
5150ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) ) )
5211, 27, 51cbvald 2085 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
5352adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
54 elequ2 1877 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
5554adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
5653, 55imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <-> 
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5736, 56albid 1940 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5857ex 435 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
5911, 32, 58cbvexd 2086 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w A. y ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
608, 59mpbii 214 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
6160ex 435 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657   F/wnf 1661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-pow 4540
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553
This theorem is referenced by:  axpowndlem3  8970
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