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Theorem axpowndlem2 8969
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. Revised to remove a redundant antecedent from the consequence. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.) (Revised and shortened by Wolf Lammen, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axpowndlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfpow 4626 . . . 4  |-  E. w A. y ( A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )
2 19.8a 1806 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  y  ->  E. z  w  e.  y )
3 sp 1808 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  w  e.  z  ->  w  e.  z )
42, 3imim12i 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  ( w  e.  y  ->  w  e.  z ) )
54alimi 1614 . . . . . . 7  |-  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z ) )
65imim1i 58 . . . . . 6  |-  ( ( A. w ( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
76alimi 1614 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. w
( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  A. y
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
87eximi 1635 . . . 4  |-  ( E. w A. y ( A. w ( w  e.  y  ->  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  ->  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
91, 8ax-mp 5 . . 3  |-  E. w A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )
10 nfna1 1851 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
11 nfna1 1851 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
1210, 11nfan 1875 . . . 4  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
13 nfnae 2031 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
14 nfnae 2031 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
1513, 14nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
16 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
17 nfnae 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
18 nfcvd 2630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x w )
19 nfcvf 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
2018, 19nfeld 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  w  e.  y )
2117, 20nfexd 1899 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x E. z  w  e.  y )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. z  w  e.  y )
23 nfcvd 2630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x w )
24 nfcvf 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
2523, 24nfeld 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x  w  e.  z )
2614, 25nfald 1898 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ x A. y  w  e.  z )
2726adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y  w  e.  z )
2822, 27nfimd 1864 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )
)
2916, 28nfald 1898 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z ) )
3019, 18nfeld 2637 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ x  y  e.  w )
3130adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  e.  w )
3229, 31nfimd 1864 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
3315, 32nfald 1898 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
34 nfeqf2 2014 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/ y  w  =  x )
3534naecoms 2026 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  w  =  x )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ y  w  =  x )
3715, 36nfan1 1874 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
38 nfnae 2031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
39 nfeqf2 2014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/ z  w  =  x )
4039naecoms 2026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ z  w  =  x )
4138, 40nfan1 1874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )
42 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
4441, 43exbid 1834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  w  =  x )  ->  ( E. z  w  e.  y 
<->  E. z  x  e.  y ) )
4544adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. z  w  e.  y 
<->  E. z  x  e.  y ) )
4613, 35nfan1 1874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )
47 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4946, 48albid 1833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( A. y  w  e.  z 
<-> 
A. y  x  e.  z ) )
5049adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y  w  e.  z 
<-> 
A. y  x  e.  z ) )
5145, 50imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
5251ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) ) )
5312, 28, 52cbvald 1998 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
5453adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
55 elequ2 1772 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
5655adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
5754, 56imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <-> 
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5837, 57albid 1833 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5958ex 434 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( A. y ( A. w
( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
6012, 33, 59cbvexd 1999 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w A. y ( A. w ( E. z  w  e.  y  ->  A. y  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
619, 60mpbii 211 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
6261ex 434 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596   F/wnf 1599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-pow 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617
This theorem is referenced by:  axpowndlem3  8971
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