Theorem axpownd 8870

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axpownd	|- ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )

Proof of Theorem axpownd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 8869	. 2 |- ( -. A. y y = x -> ( -. A. y y = z -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
2		axpowndlem1 8864	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
3	2	aecoms 2009	. 2 |- ( A. y y = x -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
4	2	a1d 25	. . 3 |- ( A. x x = y -> ( A. y y = z -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
5		nfnae 2015	. . . . . . . 8 |- F/ y -. A. x x = y
6		nfae 2013	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y y = z
7	5, 6	nfan 1863	. . . . . . 7 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ A. y y = z )
8		el 4574	. . . . . . . . . . . . 13 |- E. w x e. w
9		nfcvf2 2638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y x )
10		nfcvd 2614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y w )
11	9, 10	nfeld 2621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = y -> F/ y x e. w )
12		elequ2 1763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = y -> ( x e. w <-> x e. y ) )
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = y -> ( w = y -> ( x e. w <-> x e. y ) ) )
14	5, 11, 13	cbvexd 1983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. x x = y -> ( E. w x e. w <-> E. y x e. y ) )
15	8, 14	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. x x = y -> E. y x e. y )
16		19.8a 1795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y x e. y -> E. x E. y x e. y )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y x e. y )
18		df-ex 1588	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x E. y x e. y <-> -. A. x -. E. y x e. y )
19	17, 18	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = y -> -. A. x -. E. y x e. y )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> -. A. x -. E. y x e. y )
21		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y y = z -> ( -. x e. y <-> -. x e. y ) )
22	21	dral1 2024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = z -> ( A. y -. x e. y <-> A. z -. x e. y ) )
23		alnex 1589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y -. x e. y <-> -. E. y x e. y )
24		alnex 1589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z -. x e. y <-> -. E. z x e. y )
25	22, 23, 24	3bitr3g 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = z -> ( -. E. y x e. y <-> -. E. z x e. y ) )
26		nd2 8855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y y = z -> -. A. y x e. z )
27		mtt 339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. y x e. z -> ( -. E. z x e. y <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y y = z -> ( -. E. z x e. y <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
29	25, 28	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y y = z -> ( -. E. y x e. y <-> ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
30	29	dral2 2023	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y y = z -> ( A. x -. E. y x e. y <-> A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> ( A. x -. E. y x e. y <-> A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) ) )
32	20, 31	mtbid 300	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> -. A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) )
33	32	pm2.21d 106	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
34	7, 33	alrimi 1813	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
35		19.8a 1795	. . . . . 6 |- ( A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
36	34, 35	syl 16	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )
37	36	a1d 25	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. y y = z ) -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
38	37	ex 434	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> ( A. y y = z -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
39	4, 38	pm2.61i 164	. 2 |- ( A. y y = z -> ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) ) )
40	1, 3, 39	pm2.61ii 165	1 |- ( -. x = y -> E. x A. y ( A. x ( E. z x e. y -> A. y x e. z ) -> y e. x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-reg 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-v 3072  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980

This theorem is referenced by:  zfcndpow  8886  axpowprim  27491