Theorem axpownd 6105

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axpownd	|- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Proof of Theorem axpownd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 6104	. 2 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
2		axpowndlem1 6101	. . 3 |- (A.x x = y -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
3	2	alequcoms 1503	. 2 |- (A.y y = x -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
4	2	a1d 15	. . 3 |- (A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
5		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
6		hbae 1505	. . . . . . . 8 |- (A.y y = z -> A.yA.y y = z)
7	5, 6	hban 1356	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(-. A.x x = y /\ A.y y = z))
8		el 3485	. . . . . . . . . . . . 13 |- E.w x e. w
9		dveel1 1747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> (x e. w -> A.y x e. w))
10	9	nalequcoms 1504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (x e. w -> A.y x e. w))
11		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = y -> (x e. w <-> x e. y))
12	11	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (w = y -> (x e. w <-> x e. y)))
13	5, 10, 12	cbvexd 1704	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.x x = y -> (E.w x e. w <-> E.y x e. y))
14	8, 13	mpbii 210	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = y -> E.y x e. y)
15		19.8a 1376	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y x e. y -> E.xE.y x e. y)
16	14, 15	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> E.xE.y x e. y)
17		df-ex 1327	. . . . . . . . . . 11 |- (E.xE.y x e. y <-> -. A.x -. E.y x e. y)
18	16, 17	sylib 215	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> -. A.x -. E.y x e. y)
19	18	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x -. E.y x e. y)
20		biidd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = z -> (-. x e. y <-> -. x e. y))
21	20	dral1 1515	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> (A.y -. x e. y <-> A.z -. x e. y))
22		alnex 1380	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y -. x e. y <-> -. E.y x e. y)
23		alnex 1380	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.z -. x e. y <-> -. E.z x e. y)
24	21, 22, 23	3bitr3g 613	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> -. E.z x e. y))
25		nd2 6091	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> -. A.y x e. z)
26		mtt 780	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y x e. z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
27	25, 26	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
28	24, 27	bitrd 587	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
29	28	dral2 1516	. . . . . . . . . 10 |- (A.y y = z -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
30	29	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
31	19, 30	mtbid 782	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z))
32	31	pm2.21d 94	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
33	7, 32	19.21ai 1345	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
34		19.8a 1376	. . . . . 6 |- (A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
35	33, 34	syl 12	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
36	35	a1d 15	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
37	36	ex 402	. . 3 |- (-. A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
38	4, 37	pm2.61i 140	. 2 |- (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
39	1, 3, 38	pm2.61ii 144	1 |- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  zfcndpow 6120  axpowprim 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

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