Theorem axpownd 5018

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axpownd	|- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Proof of Theorem axpownd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 5017	. 2 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
2		axpowndlem1 5014	. . 3 |- (A.x x = y -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
3	2	alequcoms 1185	. 2 |- (A.y y = x -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
4	2	a1d 12	. . 3 |- (A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
5		hbnae 1189	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
6		hbae 1187	. . . . . . . 8 |- (A.y y = z -> A.yA.y y = z)
7	5, 6	hban 1050	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(-. A.x x = y /\ A.y y = z))
8		el 2807	. . . . . . . . . . . . 13 |- E.w x e. w
9		dveel1 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> (x e. w -> A.y x e. w))
10	9	nalequcoms 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (x e. w -> A.y x e. w))
11		elequ2 1179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = y -> (x e. w <-> x e. y))
12	11	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (w = y -> (x e. w <-> x e. y)))
13	5, 10, 12	cbvexd 1363	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.x x = y -> (E.w x e. w <-> E.y x e. y))
14	8, 13	mpbii 200	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = y -> E.y x e. y)
15		19.8a 1070	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y x e. y -> E.xE.y x e. y)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> E.xE.y x e. y)
17		df-ex 1022	. . . . . . . . . . 11 |- (E.xE.y x e. y <-> -. A.x -. E.y x e. y)
18	16, 17	sylib 205	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> -. A.x -. E.y x e. y)
19	18	adantr 398	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x -. E.y x e. y)
20		pm4.2d 178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = z -> (-. x e. y <-> -. x e. y))
21	20	dral1 1196	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> (A.y -. x e. y <-> A.z -. x e. y))
22		alnex 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y -. x e. y <-> -. E.y x e. y)
23		alnex 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.z -. x e. y <-> -. E.z x e. y)
24	21, 22, 23	3bitr3g 565	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> -. E.z x e. y))
25		nd2 5004	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> -. A.y x e. z)
26		mtt 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y x e. z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
28	24, 27	bitrd 539	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
29	28	dral2 1197	. . . . . . . . . 10 |- (A.y y = z -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
30	29	adantl 397	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
31	19, 30	mtbid 726	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z))
32	31	pm2.21d 81	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
33	7, 32	19.21ai 1039	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
34		19.8a 1070	. . . . . 6 |- (A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
35	33, 34	syl 10	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
36	35	a1d 12	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
37	36	ex 380	. . 3 |- (-. A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
38	4, 37	pm2.61i 132	. 2 |- (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
39	1, 3, 38	pm2.61ii 136	1 |- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021

This theorem is referenced by:  zfcndpow 5033

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-15 1402  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-reg 4653

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465

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