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Theorem axpownd 8972
Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axpownd  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )

Proof of Theorem axpownd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpowndlem4 8971 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2 axpowndlem1 8968 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
32aecoms 2113 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
42a1d 26 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
5 nfnae 2119 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
6 nfae 2117 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  y  =  z
75, 6nfan 1988 . . . . . . 7  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z )
8 el 4544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. w  x  e.  w
9 nfcvf2 2588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
10 nfcvd 2565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y w )
119, 10nfeld 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/ y  x  e.  w )
12 elequ2 1877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( w  =  y  ->  ( x  e.  w  <->  x  e.  y ) ) )
145, 11, 13cbvexd 2086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( E. w  x  e.  w  <->  E. y  x  e.  y ) )
158, 14mpbii 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. y  x  e.  y )
16 19.8a 1912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  x  e.  y  ->  E. x E. y  x  e.  y )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x E. y  x  e.  y )
18 df-ex 1658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x E. y  x  e.  y  <->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
1917, 18sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
2019adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  -.  A. x  -.  E. y  x  e.  y )
21 biidd 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  e.  y  <->  -.  x  e.  y ) )
2221dral1 2128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  -.  x  e.  y  <->  A. z  -.  x  e.  y
) )
23 alnex 1659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  -.  x  e.  y  <->  -.  E. y  x  e.  y )
24 alnex 1659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  -.  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
2522, 23, 243bitr3g 290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. y  x  e.  y  <->  -.  E. z  x  e.  y )
)
26 nd2 8959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. y  x  e.  z )
27 mtt 340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  x  e.  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  <-> 
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. z  x  e.  y  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
2925, 28bitrd 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  E. y  x  e.  y  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
3029dral2 2127 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  -.  E. y  x  e.  y  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
3130adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( A. x  -.  E. y  x  e.  y  <->  A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
) )
3220, 31mtbid 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  -.  A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )
)
3332pm2.21d 109 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
347, 33alrimi 1932 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
35 19.8a 1912 . . . . . 6  |-  ( A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
3634, 35syl 17 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
3736a1d 26 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. y  y  =  z
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
3837ex 435 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
394, 38pm2.61i 167 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
401, 3, 39pm2.61ii 168 1  |-  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-reg 8055
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-v 3019  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939
This theorem is referenced by:  zfcndpow  8987  axpowprim  30278
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