Theorem axpow2 3483

Description: A variant of the Axiom of Power Sets ax-pow 3481 using subset notation. Problem in {BellMachover] p. 466.

Assertion

Ref	Expression
axpow2	|- E.yA.z(z C_ x -> z e. y)

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem axpow2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pow 3481	. 2 |- E.yA.z(A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y)
2		dfss2 2610	. . . . 5 |- (z C_ x <-> A.w(w e. z -> w e. x))
3	2	imbi1i 203	. . . 4 |- ((z C_ x -> z e. y) <-> (A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y))
4	3	albii 1346	. . 3 |- (A.z(z C_ x -> z e. y) <-> A.z(A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y))
5	4	exbii 1398	. 2 |- (E.yA.z(z C_ x -> z e. y) <-> E.yA.z(A.w(w e. z -> w e. x) -> z e. y))
6	1, 5	mpbir 207	1 |- E.yA.z(z C_ x -> z e. y)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 1296   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593

This theorem is referenced by:  axpow3 3484  pwex 3487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-10 1308  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-pow 3481

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-in 2603  df-ss 2605

Copyright terms: Public domain