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Theorem axnulALT 4531
Description: Alternate proof of axnul 4532, proved directly from ax-rep 4515 using none of the equality axioms ax-7 1851 through ax-c14 32463 provided we accept sp 1937 as an axiom. Replace sp 1937 with the obsolete ax-c5 32455 to see this in 'show traceback'. (Contributed by Jeff Hoffman, 3-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axnulALT  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem axnulALT
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-rep 4515 . . 3  |-  ( A. w E. x A. y
( A. x F.  ->  y  =  x )  ->  E. x A. y
( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) ) )
2 sp 1937 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )  ->  -.  A. y ( A. x F.  ->  y  =  x ) )
32con2i 124 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )  ->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x F.  ->  y  =  x ) )
4 df-ex 1664 . . . . 5  |-  ( E. x A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x F.  ->  y  =  x ) )
53, 4sylibr 216 . . . 4  |-  ( A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )  ->  E. x A. y ( A. x F.  ->  y  =  x ) )
6 fal 1451 . . . . . 6  |-  -. F.
7 sp 1937 . . . . . 6  |-  ( A. x F.  -> F.  )
86, 7mto 180 . . . . 5  |-  -.  A. x F.
98pm2.21i 135 . . . 4  |-  ( A. x F.  ->  y  =  x )
105, 9mpg 1671 . . 3  |-  E. x A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )
111, 10mpg 1671 . 2  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) )
128intnan 925 . . . . . 6  |-  -.  (
w  e.  z  /\  A. x F.  )
1312nex 1678 . . . . 5  |-  -.  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  )
1413nbn 349 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) )
)
1514albii 1691 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) )
)
1615exbii 1718 . 2  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) )
)
1711, 16mpbir 213 1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444   F. wfal 1449   E.wex 1663    e. wcel 1887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-12 1933  ax-rep 4515
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664
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