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Theorem axnulALT 4580
Description: Alternate proof of axnul 4581, proved directly from ax-rep 4564 using none of the equality axioms ax-7 1739 through ax-c14 2215 provided we accept sp 1808 as an axiom. Replace sp 1808 with the obsolete ax-c5 2207 to see this in 'show traceback'. (Contributed by Jeff Hoffman, 3-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axnulALT  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem axnulALT
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-rep 4564 . . 3  |-  ( A. w E. x A. y
( A. x F.  ->  y  =  x )  ->  E. x A. y
( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) ) )
2 sp 1808 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )  ->  -.  A. y ( A. x F.  ->  y  =  x ) )
32con2i 120 . . . . 5  |-  ( A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )  ->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x F.  ->  y  =  x ) )
4 df-ex 1597 . . . . 5  |-  ( E. x A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( A. x F.  ->  y  =  x ) )
53, 4sylibr 212 . . . 4  |-  ( A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )  ->  E. x A. y ( A. x F.  ->  y  =  x ) )
6 fal 1386 . . . . . 6  |-  -. F.
7 sp 1808 . . . . . 6  |-  ( A. x F.  -> F.  )
86, 7mto 176 . . . . 5  |-  -.  A. x F.
98pm2.21i 131 . . . 4  |-  ( A. x F.  ->  y  =  x )
105, 9mpg 1603 . . 3  |-  E. x A. y ( A. x F.  ->  y  =  x )
111, 10mpg 1603 . 2  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) )
128intnan 912 . . . . . 6  |-  -.  (
w  e.  z  /\  A. x F.  )
1312nex 1610 . . . . 5  |-  -.  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  )
1413nbn 347 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  x  <->  ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) )
)
1514albii 1620 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) )
)
1615exbii 1644 . 2  |-  ( E. x A. y  -.  y  e.  x  <->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. w ( w  e.  z  /\  A. x F.  ) )
)
1711, 16mpbir 209 1  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   F. wfal 1384   E.wex 1596    e. wcel 1767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-12 1803  ax-rep 4564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597
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