MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulrcl Structured version   Unicode version

Theorem axmulrcl 9433
Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 7 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulrcl 9457 be used later. Instead, in most cases use remulcl 9479. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
axmulrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem axmulrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9410 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9410 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 oveq1 6208 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )
43eleq1d 2523 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  e.  RR ) )
5 oveq2 6209 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  B ) )
65eleq1d 2523 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  x.  <. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  x.  B )  e.  RR ) )
7 mulresr 9418 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  y ) ,  0R >. )
8 mulclsr 9363 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  .R  y
)  e.  R. )
9 opelreal 9409 . . . 4  |-  ( <.
( x  .R  y
) ,  0R >.  e.  RR  <->  ( x  .R  y )  e.  R. )
108, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  -> 
<. ( x  .R  y
) ,  0R >.  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  e.  RR )
121, 2, 4, 6, 112gencl 3109 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3992  (class class class)co 6201   R.cnr 9146   0Rc0r 9147    .R cmr 9151   RRcr 9393    x. cmul 9399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-er 7212  df-ec 7214  df-qs 7218  df-ni 9153  df-pli 9154  df-mi 9155  df-lti 9156  df-plpq 9189  df-mpq 9190  df-ltpq 9191  df-enq 9192  df-nq 9193  df-erq 9194  df-plq 9195  df-mq 9196  df-1nq 9197  df-rq 9198  df-ltnq 9199  df-np 9262  df-1p 9263  df-plp 9264  df-mp 9265  df-ltp 9266  df-plpr 9336  df-mpr 9337  df-enr 9338  df-nr 9339  df-plr 9340  df-mr 9341  df-0r 9343  df-m1r 9345  df-c 9400  df-r 9404  df-mul 9406
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator