Theorem axmulrcl 5339

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 8 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)

Proof of Theorem axmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5315	. 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 5315	. 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		opreq1 4026	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = (A x. <.y, 0R>.))
4	3	eleq1d 1587	. 2 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) e. RR <-> (A x. <.y, 0R>.) e. RR))
5		opreq2 4027	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (A x. <.y, 0R>.) = (A x. B))
6	5	eleq1d 1587	. 2 |- (<.y, 0R>. = B -> ((A x. <.y, 0R>.) e. RR <-> (A x. B) e. RR))
7		visset 1860	. . . 4 |- y e. V
8	7	mulresr 5322	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = <.(x .R y), 0R>.)
9		mulclsr 5258	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (x .R y) e. R.)
10		opelreal 5314	. . . 4 |- (<.(x .R y), 0R>. e. RR <-> (x .R y) e. R.)
11	9, 10	sylibr 207	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x .R y), 0R>. e. RR)
12	8, 11	eqeltrd 1595	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) e. RR)
13	1, 2, 4, 6, 12	2gencl 1876	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  <.cop 2463  (class class class)co 4021  R.cnr 5058  0Rc0r 5059   .R cmr 5063  RRcr 5298   x. cmul 5304

This theorem is referenced by:  remulcl 5369

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-0r 5236  df-m1r 5238  df-c 5305  df-r 5309  df-mul 5311

Copyright terms: Public domain