MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulrcl Structured version   Unicode version

Theorem axmulrcl 9464
Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 7 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulrcl 9488 be used later. Instead, in most cases use remulcl 9510. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
axmulrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem axmulrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9441 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9441 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 oveq1 6225 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )
43eleq1d 2465 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  e.  RR ) )
5 oveq2 6226 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  B ) )
65eleq1d 2465 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  x.  <. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  x.  B )  e.  RR ) )
7 mulresr 9449 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  y ) ,  0R >. )
8 mulclsr 9394 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  .R  y
)  e.  R. )
9 opelreal 9440 . . . 4  |-  ( <.
( x  .R  y
) ,  0R >.  e.  RR  <->  ( x  .R  y )  e.  R. )
108, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  -> 
<. ( x  .R  y
) ,  0R >.  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2484 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  e.  RR )
121, 2, 4, 6, 112gencl 3082 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   <.cop 3967  (class class class)co 6218   R.cnr 9176   0Rc0r 9177    .R cmr 9181   RRcr 9424    x. cmul 9430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-omul 7075  df-er 7251  df-ec 7253  df-qs 7257  df-ni 9183  df-pli 9184  df-mi 9185  df-lti 9186  df-plpq 9219  df-mpq 9220  df-ltpq 9221  df-enq 9222  df-nq 9223  df-erq 9224  df-plq 9225  df-mq 9226  df-1nq 9227  df-rq 9228  df-ltnq 9229  df-np 9292  df-1p 9293  df-plp 9294  df-mp 9295  df-ltp 9296  df-enr 9366  df-nr 9367  df-plr 9368  df-mr 9369  df-0r 9371  df-m1r 9373  df-c 9431  df-r 9435  df-mul 9437
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator