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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axmulf | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Multiplication is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axmulcl 9608. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulf 9650. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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axmulf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | moeq 3226 |
. . . . . . . . 9
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2 | 1 | mosubop 4717 |
. . . . . . . 8
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3 | 2 | mosubop 4717 |
. . . . . . 7
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4 | anass 659 |
. . . . . . . . . . 11
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5 | 4 | 2exbii 1730 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 19.42vv 1847 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 5, 6 | bitri 257 |
. . . . . . . . 9
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8 | 7 | 2exbii 1730 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | mobii 2333 |
. . . . . . 7
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10 | 3, 9 | mpbir 214 |
. . . . . 6
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11 | 10 | moani 2365 |
. . . . 5
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12 | 11 | funoprab 6428 |
. . . 4
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13 | df-mul 9582 |
. . . . 5
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14 | 13 | funeqi 5625 |
. . . 4
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15 | 12, 14 | mpbir 214 |
. . 3
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16 | 13 | dmeqi 5058 |
. . . . 5
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17 | dmoprabss 6410 |
. . . . 5
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18 | 16, 17 | eqsstri 3474 |
. . . 4
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19 | 0ncn 9588 |
. . . . 5
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20 | df-c 9576 |
. . . . . . 7
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21 | oveq1 6327 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | eleq1d 2524 |
. . . . . . 7
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23 | oveq2 6328 |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | eleq1d 2524 |
. . . . . . 7
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25 | mulcnsr 9591 |
. . . . . . . 8
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26 | mulclsr 9539 |
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27 | m1r 9537 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | mulclsr 9539 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | mulclsr 9539 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 27, 28, 29 | sylancr 674 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | addclsr 9538 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 26, 30, 31 | syl2an 484 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 32 | an4s 840 |
. . . . . . . . 9
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34 | mulclsr 9539 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | mulclsr 9539 |
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36 | addclsr 9538 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 34, 35, 36 | syl2anr 485 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 37 | an42s 841 |
. . . . . . . . 9
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39 | opelxpi 4888 |
. . . . . . . . 9
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40 | 33, 38, 39 | syl2anc 671 |
. . . . . . . 8
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41 | 25, 40 | eqeltrd 2540 |
. . . . . . 7
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42 | 20, 22, 24, 41 | 2optocl 4934 |
. . . . . 6
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43 | 42, 20 | syl6eleqr 2551 |
. . . . 5
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44 | 19, 43 | oprssdm 6482 |
. . . 4
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45 | 18, 44 | eqssi 3460 |
. . 3
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46 | df-fn 5608 |
. . 3
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47 | 15, 45, 46 | mpbir2an 936 |
. 2
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48 | 43 | rgen2a 2827 |
. 2
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49 | ffnov 6432 |
. 2
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50 | 47, 48, 49 | mpbir2an 936 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-sep 4541 ax-nul 4550 ax-pow 4598 ax-pr 4656 ax-un 6615 ax-inf2 8177 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4213 df-int 4249 df-iun 4294 df-br 4419 df-opab 4478 df-mpt 4479 df-tr 4514 df-eprel 4767 df-id 4771 df-po 4777 df-so 4778 df-fr 4815 df-we 4817 df-xp 4862 df-rel 4863 df-cnv 4864 df-co 4865 df-dm 4866 df-rn 4867 df-res 4868 df-ima 4869 df-pred 5403 df-ord 5449 df-on 5450 df-lim 5451 df-suc 5452 df-iota 5569 df-fun 5607 df-fn 5608 df-f 5609 df-f1 5610 df-fo 5611 df-f1o 5612 df-fv 5613 df-ov 6323 df-oprab 6324 df-mpt2 6325 df-om 6725 df-1st 6825 df-2nd 6826 df-wrecs 7059 df-recs 7121 df-rdg 7159 df-1o 7213 df-oadd 7217 df-omul 7218 df-er 7394 df-ec 7396 df-qs 7400 df-ni 9328 df-pli 9329 df-mi 9330 df-lti 9331 df-plpq 9364 df-mpq 9365 df-ltpq 9366 df-enq 9367 df-nq 9368 df-erq 9369 df-plq 9370 df-mq 9371 df-1nq 9372 df-rq 9373 df-ltnq 9374 df-np 9437 df-1p 9438 df-plp 9439 df-mp 9440 df-ltp 9441 df-enr 9511 df-nr 9512 df-plr 9513 df-mr 9514 df-m1r 9518 df-c 9576 df-mul 9582 |
This theorem is referenced by: axmulcl 9608 |
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