MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulf Structured version   Unicode version

Theorem axmulf 9514
Description: Multiplication is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axmulcl 9521. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulf 9563. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulf  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC

Proof of Theorem axmulf
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 moeq 3274 . . . . . . . . 9  |-  E* z 
z  =  <. (
( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >.
21mosubop 4741 . . . . . . . 8  |-  E* z E. u E. f ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )
32mosubop 4741 . . . . . . 7  |-  E* z E. w E. v ( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
)
4 anass 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
542exbii 1640 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  E. u E. f
( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
6 19.42vv 1946 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. f ( x  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) )  <->  ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  E. u E. f ( y  = 
<. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) )
75, 6bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
872exbii 1640 . . . . . . . 8  |-  ( E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )  <->  E. w E. v
( x  =  <. w ,  v >.  /\  E. u E. f ( y  =  <. u ,  f
>.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) )
98mobii 2296 . . . . . . 7  |-  ( E* z E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )  <->  E* z E. w E. v ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  E. u E. f
( y  =  <. u ,  f >.  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) )
103, 9mpbir 209 . . . . . 6  |-  E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. )
1110moani 2343 . . . . 5  |-  E* z
( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
)
1211funoprab 6379 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
13 df-mul 9495 . . . . 5  |-  x.  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
1413funeqi 5601 . . . 4  |-  ( Fun 
x. 
<->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) } )
1512, 14mpbir 209 . . 3  |-  Fun  x.
1613dmeqi 5197 . . . . 5  |-  dom  x.  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f
>. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  (
v  .R  f )
) ) ,  ( ( v  .R  u
)  +R  ( w  .R  f ) )
>. ) ) }
17 dmoprabss 6361 . . . . 5  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }  C_  ( CC  X.  CC )
1816, 17eqsstri 3529 . . . 4  |-  dom  x.  C_  ( CC  X.  CC )
19 0ncn 9501 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  CC
20 df-c 9489 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
21 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  =  ( x  x. 
<. v ,  u >. ) )
2221eleq1d 2531 . . . . . . 7  |-  ( <.
z ,  w >.  =  x  ->  ( ( <. z ,  w >.  x. 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  x. 
<. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
23 oveq2 6285 . . . . . . . 8  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( x  x.  <. v ,  u >. )  =  ( x  x.  y ) )
2423eleq1d 2531 . . . . . . 7  |-  ( <.
v ,  u >.  =  y  ->  ( (
x  x.  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. )  <->  ( x  x.  y )  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
25 mulcnsr 9504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  =  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) ) ,  ( ( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )
>. )
26 mulclsr 9452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  .R  v
)  e.  R. )
27 m1r 9450 . . . . . . . . . . . 12  |-  -1R  e.  R.
28 mulclsr 9452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  .R  u
)  e.  R. )
29 mulclsr 9452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( w  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
3027, 28, 29sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
)  e.  R. )
31 addclsr 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R. )
3226, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
3332an4s 823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
w  .R  u )
) )  e.  R. )
34 mulclsr 9452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( w  .R  v
)  e.  R. )
35 mulclsr 9452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( z  .R  u
)  e.  R. )
36 addclsr 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  .R  v
)  e.  R.  /\  ( z  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
)  e.  R. )
3734, 35, 36syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
3837an42s 824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) )  e.  R. )
39 opelxpi 5025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( w  .R  v
)  +R  ( z  .R  u ) )  e.  R. )  ->  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u ) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  ( z  .R  u
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
4033, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  <. ( ( z  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  u
) ) ) ,  ( ( w  .R  v )  +R  (
z  .R  u )
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
4125, 40eqeltrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  w >.  x.  <. v ,  u >. )  e.  ( R.  X.  R. ) )
4220, 22, 24, 412optocl 5070 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ( R. 
X.  R. ) )
4342, 20syl6eleqr 2561 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
4419, 43oprssdm 6433 . . . 4  |-  ( CC 
X.  CC )  C_  dom  x.
4518, 44eqssi 3515 . . 3  |-  dom  x.  =  ( CC  X.  CC )
46 df-fn 5584 . . 3  |-  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( Fun  x.  /\  dom  x.  =  ( CC  X.  CC ) ) )
4715, 45, 46mpbir2an 913 . 2  |-  x.  Fn  ( CC  X.  CC )
4843rgen2a 2886 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  x.  y )  e.  CC
49 ffnov 6383 . 2  |-  (  x.  : ( CC  X.  CC ) --> CC  <->  (  x.  Fn  ( CC  X.  CC )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( x  x.  y )  e.  CC ) )
5047, 48, 49mpbir2an 913 1  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   E*wmo 2271   A.wral 2809   <.cop 4028    X. cxp 4992   dom cdm 4994   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577  (class class class)co 6277   {coprab 6278   R.cnr 9234   -1Rcm1r 9237    +R cplr 9238    .R cmr 9239   CCcc 9481    x. cmul 9488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-ni 9241  df-pli 9242  df-mi 9243  df-lti 9244  df-plpq 9277  df-mpq 9278  df-ltpq 9279  df-enq 9280  df-nq 9281  df-erq 9282  df-plq 9283  df-mq 9284  df-1nq 9285  df-rq 9286  df-ltnq 9287  df-np 9350  df-1p 9351  df-plp 9352  df-mp 9353  df-ltp 9354  df-enr 9424  df-nr 9425  df-plr 9426  df-mr 9427  df-m1r 9431  df-c 9489  df-mul 9495
This theorem is referenced by:  axmulcl  9521
  Copyright terms: Public domain W3C validator