Theorem axmulf 9601

Description: Multiplication is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axmulcl 9608. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulf 9650. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulf	|- x. : ( CC X. CC ) --> CC

Proof of Theorem axmulf

Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeq 3226	. . . . . . . . 9 |- E* z z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >.
2	1	mosubop 4717	. . . . . . . 8 |- E* z E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. )
3	2	mosubop 4717	. . . . . . 7 |- E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) )
4		anass 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) <-> ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
5	4	2exbii 1730	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) <-> E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
6		19.42vv 1847	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
7	5, 6	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
8	7	2exbii 1730	. . . . . . . 8 |- ( E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) <-> E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
9	8	mobii 2333	. . . . . . 7 |- ( E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) <-> E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
10	3, 9	mpbir 214	. . . . . 6 |- E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. )
11	10	moani 2365	. . . . 5 |- E* z ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) )
12	11	funoprab 6428	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
13		df-mul 9582	. . . . 5 |- x. = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
14	13	funeqi 5625	. . . 4 |- ( Fun x. <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) } )
15	12, 14	mpbir 214	. . 3 |- Fun x.
16	13	dmeqi 5058	. . . . 5 |- dom x. = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
17		dmoprabss 6410	. . . . 5 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) } C_ ( CC X. CC )
18	16, 17	eqsstri 3474	. . . 4 |- dom x. C_ ( CC X. CC )
19		0ncn 9588	. . . . 5 |- -. (/) e. CC
20		df-c 9576	. . . . . . 7 |- CC = ( R. X. R. )
21		oveq1 6327	. . . . . . . 8 |- ( <. z , w >. = x -> ( <. z , w >. x. <. v , u >. ) = ( x x. <. v , u >. ) )
22	21	eleq1d 2524	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. = x -> ( ( <. z , w >. x. <. v , u >. ) e. ( R. X. R. ) <-> ( x x. <. v , u >. ) e. ( R. X. R. ) ) )
23		oveq2 6328	. . . . . . . 8 |- ( <. v , u >. = y -> ( x x. <. v , u >. ) = ( x x. y ) )
24	23	eleq1d 2524	. . . . . . 7 |- ( <. v , u >. = y -> ( ( x x. <. v , u >. ) e. ( R. X. R. ) <-> ( x x. y ) e. ( R. X. R. ) ) )
25		mulcnsr 9591	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( <. z , w >. x. <. v , u >. ) = <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. )
26		mulclsr 9539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z .R v ) e. R. )
27		m1r 9537	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R e. R.
28		mulclsr 9539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w .R u ) e. R. )
29		mulclsr 9539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -1R e. R. /\ ( w .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
30	27, 28, 29	sylancr 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. )
31		addclsr 9538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( w .R u ) ) e. R. ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
32	26, 30, 31	syl2an 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
33	32	an4s 840	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. )
34		mulclsr 9539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. R. /\ v e. R. ) -> ( w .R v ) e. R. )
35		mulclsr 9539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. R. /\ u e. R. ) -> ( z .R u ) e. R. )
36		addclsr 9538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w .R v ) e. R. /\ ( z .R u ) e. R. ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
37	34, 35, 36	syl2anr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. R. /\ u e. R. ) /\ ( w e. R. /\ v e. R. ) ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
38	37	an42s 841	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. )
39		opelxpi 4888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) e. R. ) -> <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
40	33, 38, 39	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> <. ( ( z .R v ) +R ( -1R .R ( w .R u ) ) ) , ( ( w .R v ) +R ( z .R u ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
41	25, 40	eqeltrd 2540	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( <. z , w >. x. <. v , u >. ) e. ( R. X. R. ) )
42	20, 22, 24, 41	2optocl 4934	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. ( R. X. R. ) )
43	42, 20	syl6eleqr 2551	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
44	19, 43	oprssdm 6482	. . . 4 |- ( CC X. CC ) C_ dom x.
45	18, 44	eqssi 3460	. . 3 |- dom x. = ( CC X. CC )
46		df-fn 5608	. . 3 |- ( x. Fn ( CC X. CC ) <-> ( Fun x. /\ dom x. = ( CC X. CC ) ) )
47	15, 45, 46	mpbir2an 936	. 2 |- x. Fn ( CC X. CC )
48	43	rgen2a 2827	. 2 |- A. x e. CC A. y e. CC ( x x. y ) e. CC
49		ffnov 6432	. 2 |- ( x. : ( CC X. CC ) --> CC <-> ( x. Fn ( CC X. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( x x. y ) e. CC ) )
50	47, 48, 49	mpbir2an 936	1 |- x. : ( CC X. CC ) --> CC

Syntax hints:   /\ wa 375   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   E*wmo 2311   A.wral 2749   <.cop 3986   X. cxp 4854   dom cdm 4856   Fun wfun 5599   Fn wfn 5600   -->wf 5601  (class class class)co 6320   {coprab 6321   R.cnr 9321   -1Rcm1r 9324   +R cplr 9325   .R cmr 9326   CCcc 9568   x. cmul 9575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-omul 7218  df-er 7394  df-ec 7396  df-qs 7400  df-ni 9328  df-pli 9329  df-mi 9330  df-lti 9331  df-plpq 9364  df-mpq 9365  df-ltpq 9366  df-enq 9367  df-nq 9368  df-erq 9369  df-plq 9370  df-mq 9371  df-1nq 9372  df-rq 9373  df-ltnq 9374  df-np 9437  df-1p 9438  df-plp 9439  df-mp 9440  df-ltp 9441  df-enr 9511  df-nr 9512  df-plr 9513  df-mr 9514  df-m1r 9518  df-c 9576  df-mul 9582

This theorem is referenced by:  axmulcl  9608