MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulcom Structured version   Unicode version

Theorem axmulcom 9568
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 8 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 9592 be used later. Instead, use mulcom 9614. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 9555 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 mulcnsrec 9557 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 9557 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  x.  [ <. x ,  y >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) ) ,  ( ( w  .R  x )  +R  ( z  .R  y
) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcomsr 9502 . . 3  |-  ( x  .R  z )  =  ( z  .R  x
)
5 mulcomsr 9502 . . . 4  |-  ( y  .R  w )  =  ( w  .R  y
)
65oveq2i 6307 . . 3  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  =  ( -1R  .R  (
w  .R  y )
)
74, 6oveq12i 6308 . 2  |-  ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w
) ) )  =  ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) )
8 mulcomsr 9502 . . . 4  |-  ( y  .R  z )  =  ( z  .R  y
)
9 mulcomsr 9502 . . . 4  |-  ( x  .R  w )  =  ( w  .R  x
)
108, 9oveq12i 6308 . . 3  |-  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  =  ( ( z  .R  y )  +R  (
w  .R  x )
)
11 addcomsr 9500 . . 3  |-  ( ( z  .R  y )  +R  ( w  .R  x ) )  =  ( ( w  .R  x )  +R  (
z  .R  y )
)
1210, 11eqtri 2449 . 2  |-  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w ) )  =  ( ( w  .R  x )  +R  (
z  .R  y )
)
131, 2, 3, 7, 12ecovcom 7468 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    _E cep 4754   `'ccnv 4844  (class class class)co 6296   R.cnr 9279   -1Rcm1r 9282    +R cplr 9283    .R cmr 9284   CCcc 9526    x. cmul 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-ni 9286  df-pli 9287  df-mi 9288  df-lti 9289  df-plpq 9322  df-mpq 9323  df-ltpq 9324  df-enq 9325  df-nq 9326  df-erq 9327  df-plq 9328  df-mq 9329  df-1nq 9330  df-rq 9331  df-ltnq 9332  df-np 9395  df-plp 9397  df-mp 9398  df-ltp 9399  df-enr 9469  df-nr 9470  df-plr 9471  df-mr 9472  df-c 9534  df-mul 9540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator