Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulcom Structured version   Unicode version

Theorem axmulcom 9533
 Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 8 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 9557 be used later. Instead, use mulcom 9579. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 9520 . 2
2 mulcnsrec 9522 . 2
3 mulcnsrec 9522 . 2
4 mulcomsr 9467 . . 3
5 mulcomsr 9467 . . . 4
65oveq2i 6296 . . 3
74, 6oveq12i 6297 . 2
8 mulcomsr 9467 . . . 4
9 mulcomsr 9467 . . . 4
108, 9oveq12i 6297 . . 3
11 addcomsr 9465 . . 3
1210, 11eqtri 2496 . 2
131, 2, 3, 7, 12ecovcom 7418 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cep 4789  ccnv 4998  (class class class)co 6285  cnr 9244  cm1r 9247   cplr 9248   cmr 9249  cc 9491   cmul 9498 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-ni 9251  df-pli 9252  df-mi 9253  df-lti 9254  df-plpq 9287  df-mpq 9288  df-ltpq 9289  df-enq 9290  df-nq 9291  df-erq 9292  df-plq 9293  df-mq 9294  df-1nq 9295  df-rq 9296  df-ltnq 9297  df-np 9360  df-plp 9362  df-mp 9363  df-ltp 9364  df-enr 9434  df-nr 9435  df-plr 9436  df-mr 9437  df-c 9499  df-mul 9505 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator