Theorem axlttrn 5516

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom 23 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axlttrn 5300 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axlttrn	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))

Proof of Theorem axlttrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axlttrn 5300	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <R B /\ B <R C) -> A <R C))
2		ltxrltt 5512	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
3	2	3adant3 801	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
4		ltxrltt 5512	. . . 4 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
5	4	3adant1 799	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
6	3, 5	anbi12d 630	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) <-> (A <R B /\ B <R C)))
7		ltxrltt 5512	. . 3 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
8	7	3adant2 800	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
9	1, 6, 8	3imtr4d 545	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   class class class wbr 2624  RRcr 5245   <R cltrr 5250   < clt 5498

This theorem is referenced by:  lttrt 5520  ltso 5524  lelttrt 5535  ltletrt 5536  lttrd 5541  xrlttrt 5565  lttr 5597  mulgt1t 5847  recgt1it 5902  recrecltt 5904  nnge1t 5945  sup2 6053  lt0nnn0 6118  nn0ltp1let 6129  zltp1let 6183  recnzt 6193  gtndivt 6195  ioojoint 6417  expordit 6601  expnbndt 6655  sqrlem6 6679  fsumsplit 7020  climmullem5 7124  caucvglem2 7158  caucvglem4 7160  georeclim 7240  geoisumr 7243  cvgratlem1ALT 7247  cvgratlem1 7250  ivthlem7 7287  sin01gt0 7477  cos01gt0 7478  bcthlem1 7996  bcthlem21 8016  bcthlem25 8020  projlem26 9206  projlem28 9208

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502

Copyright terms: Public domain