Theorem axlttrn 6469

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom 23 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axlttrn 6237 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axlttrn	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))

Proof of Theorem axlttrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axlttrn 6237	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <R B /\ B <R C) -> A <R C))
2		ltxrlt 6465	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
3	2	3adant3 892	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
4		ltxrlt 6465	. . . 4 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
5	4	3adant1 890	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
6	3, 5	anbi12d 687	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) <-> (A <R B /\ B <R C)))
7		ltxrlt 6465	. . 3 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
8	7	3adant2 891	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
9	1, 6, 8	3imtr4d 599	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   /\ wa 239   /\ w3a 855   e. wcel 1138   class class class wbr 3158  RRcr 6181   <R cltrr 6186   < clt 6449

This theorem is referenced by:  lttr 6473  ltso 6477  lelttr 6489  ltletr 6490  lttrd 6495  xrlttr 6524  lttri 6556  mulgt1 6822  recgt1i 6878  recreclt 6880  nnge1 6921  sup2 7055  lt0nnn0 7120  nn0ltp1le 7131  zltp1le 7185  recnz 7198  gtndiv 7200  ioojoin 7380  expordi 7640  expnbnd 7696  sqrlem6 7723  fsumsplit 8075  climmullem5 8179  caucvglem2 8213  caucvglem4 8215  georeclim 8297  geoisumr 8300  cvgratlem1ALT 8304  cvgratlem1 8307  ivthlem7 8344  sin01gt0 8537  cos01gt0 8538  bcthlem1 9072  bcthlem21 9092  bcthlem25 9096  projlem26 10636  projlem28 10638  cntrsetlem 14709  lvsovso 14734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-ltp 6038  df-enr 6114  df-nr 6115  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-c 6188  df-r 6192  df-lt 6195  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453

Copyright terms: Public domain