Theorem axlttri 6468

Description: Ordering on reals satisfies strict trichotomy. Axiom 22 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axlttri 6236 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axlttri	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> -. (A = B \/ B < A)))

Proof of Theorem axlttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axlttri 6236	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <R B <-> -. (A = B \/ B <R A)))
2		ltxrlt 6465	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
3		ltxrlt 6465	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> (B < A <-> B <R A))
4	3	ancoms 482	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (B < A <-> B <R A))
5	4	orbi2d 673	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A = B \/ B < A) <-> (A = B \/ B <R A)))
6	5	notbid 670	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (-. (A = B \/ B < A) <-> -. (A = B \/ B <R A)))
7	1, 2, 6	3bitr4d 606	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> -. (A = B \/ B < A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 162   \/ wo 238   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138   class class class wbr 3158  RRcr 6181   <R cltrr 6186   < clt 6449

This theorem is referenced by:  ltso 6477  lttri4OLD 6481  leloe 6484  ltnsym 6498  xrlttri 6523  recgt0ii 6787  arch 7075  expord 7642  sqrlem13 7730

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-ltp 6038  df-enr 6114  df-nr 6115  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-c 6188  df-r 6192  df-lt 6195  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453

Copyright terms: Public domain