MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem8 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem8 23367
Description: Lemma for axlowdim 23379. Calculate the value of  P at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem8  |-  ( P `
 3 )  = 
-u 1

Proof of Theorem axlowdimlem8
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . . 3  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
21fveq1i 5803 . 2  |-  ( P `
 3 )  =  ( ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) `
 3 )
3 3re 10509 . . . . 5  |-  3  e.  RR
43elexi 3088 . . . 4  |-  3  e.  _V
5 negex 9722 . . . 4  |-  -u 1  e.  _V
64, 5fnsn 5582 . . 3  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  Fn  { 3 }
7 c0ex 9494 . . . . 5  |-  0  e.  _V
87fconst 5707 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) --> { 0 }
9 ffn 5670 . . . 4  |-  ( ( ( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  { 3 } ) --> { 0 }  ->  ( ( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( ( 1 ... N )  \  { 3 } ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } )  Fn  ( ( 1 ... N )  \  {
3 } )
11 disjdif 3862 . . . 4  |-  ( { 3 }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  (/)
124snid 4016 . . . 4  |-  3  e.  { 3 }
1311, 12pm3.2i 455 . . 3  |-  ( ( { 3 }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) )  =  (/)  /\  3  e.  { 3 } )
14 fvun1 5874 . . 3  |-  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  Fn  {
3 }  /\  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  /\  ( ( { 3 }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  (/)  /\  3  e.  {
3 } ) )  ->  ( ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) `  3 )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. } `  3 )
)
156, 10, 13, 14mp3an 1315 . 2  |-  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) `  3 )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. } `  3 )
164, 5fvsn 6023 . 2  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } `  3
)  =  -u 1
172, 15, 163eqtri 2487 1  |-  ( P `
 3 )  = 
-u 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3436    u. cun 3437    i^i cin 3438   (/)c0 3748   {csn 3988   <.cop 3994    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397   -ucneg 9710   3c3 10486   ...cfz 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-neg 9712  df-2 10494  df-3 10495
This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  23375
  Copyright terms: Public domain W3C validator