MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem7 23341
Description: Lemma for axlowdim 23354. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u 1 >. }
3 3ex 10503 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  _V
4 negex 9714 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  _V
53, 4fsn 5985 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  <->  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u
1 >. } )
62, 5mpbir 209 . . . . . . 7  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> { -u 1 }
7 neg1rr 10532 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
8 snssi 4120 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  {
-u 1 }  C_  RR )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { -u
1 }  C_  RR
10 fss 5670 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  /\  { -u 1 }  C_  RR )  ->  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR )
116, 9, 10mp2an 672 . . . . . 6  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR
12 0re 9492 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1312fconst6 5703 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) --> RR
1411, 13pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )
15 disjdif 3854 . . . . 5  |-  ( { 3 }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  (/)
16 fun2 5679 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )  /\  ( { 3 }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR )
1714, 15, 16mp2an 672 . . . 4  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR
18 eluzle 10979 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
19 1le3 10644 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  3
2018, 19jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) )
21 eluzelz 10976 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
22 3z 10785 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
23 1z 10782 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
24 elfz 11555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2522, 23, 24mp3an12 1305 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2621, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2720, 26mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 1 ... N
) )
2827snssd 4121 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  { 3 }  C_  ( 1 ... N ) )
29 undif 3862 . . . . . 6  |-  ( { 3 }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3028, 29sylib 196 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3130feq2d 5650 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR  <->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3217, 31mpbii 211 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
33 3nn 10586 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
34 uznnssnn 11008 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
3635sseli 3455 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
37 elee 23287 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3836, 37syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3932, 38mpbird 232 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
401, 39syl5eqel 2544 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3428    u. cun 3429    i^i cin 3430    C_ wss 3431   (/)c0 3740   {csn 3980   <.cop 3986   class class class wbr 4395    X. cxp 4941   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    <_ cle 9525   -ucneg 9702   NNcn 10428   3c3 10478   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549   EEcee 23281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-ee 23284
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  23349  axlowdimlem16  23350  axlowdimlem17  23351
  Copyright terms: Public domain W3C validator