MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem7 24456
Description: Lemma for axlowdim 24469. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u 1 >. }
3 3ex 10607 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  _V
4 negex 9809 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  _V
53, 4fsn 6045 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  <->  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u
1 >. } )
62, 5mpbir 209 . . . . . . 7  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> { -u 1 }
7 neg1rr 10636 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
8 snssi 4160 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  {
-u 1 }  C_  RR )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { -u
1 }  C_  RR
10 fss 5721 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  /\  { -u 1 }  C_  RR )  ->  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR )
116, 9, 10mp2an 670 . . . . . 6  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR
12 0re 9585 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1312fconst6 5757 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) --> RR
1411, 13pm3.2i 453 . . . . 5  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )
15 disjdif 3888 . . . . 5  |-  ( { 3 }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  (/)
16 fun2 5731 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )  /\  ( { 3 }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR )
1714, 15, 16mp2an 670 . . . 4  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR
18 eluzle 11094 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
19 1le3 10748 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  3
2018, 19jctil 535 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) )
21 eluzelz 11091 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
22 3z 10893 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
23 1z 10890 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
24 elfz 11681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2522, 23, 24mp3an12 1312 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2621, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2720, 26mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 1 ... N
) )
2827snssd 4161 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  { 3 }  C_  ( 1 ... N ) )
29 undif 3896 . . . . . 6  |-  ( { 3 }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3028, 29sylib 196 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3130feq2d 5700 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR  <->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3217, 31mpbii 211 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
33 eluzge3nn 11123 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
34 elee 24402 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3533, 34syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3632, 35mpbird 232 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
371, 36syl5eqel 2546 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    <_ cle 9618   -ucneg 9797   NNcn 10531   3c3 10582   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   EEcee 24396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-ee 24399
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  24464  axlowdimlem16  24465  axlowdimlem17  24466
  Copyright terms: Public domain W3C validator