MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axlowdimlem7 25034
Description: Lemma for axlowdim 25047. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u 1 >. }
3 3ex 10718 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  _V
4 negex 9904 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  _V
53, 4fsn 6090 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  <->  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u
1 >. } )
62, 5mpbir 214 . . . . . . 7  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> { -u 1 }
7 neg1rr 10747 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
8 snssi 4129 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  {
-u 1 }  C_  RR )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { -u
1 }  C_  RR
10 fss 5764 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  /\  { -u 1 }  C_  RR )  ->  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR )
116, 9, 10mp2an 683 . . . . . 6  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR
12 0re 9674 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1312fconst6 5800 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) --> RR
1411, 13pm3.2i 461 . . . . 5  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )
15 disjdif 3851 . . . . 5  |-  ( { 3 }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  (/)
16 fun2 5774 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )  /\  ( { 3 }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR )
1714, 15, 16mp2an 683 . . . 4  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR
18 eluzle 11205 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
19 1le3 10860 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  3
2018, 19jctil 544 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) )
21 eluzelz 11202 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
22 3z 11004 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
23 1z 11001 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
24 elfz 11825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2522, 23, 24mp3an12 1363 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2621, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2720, 26mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 1 ... N
) )
2827snssd 4130 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  { 3 }  C_  ( 1 ... N ) )
29 undif 3860 . . . . . 6  |-  ( { 3 }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3028, 29sylib 201 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3130feq2d 5741 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR  <->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3217, 31mpbii 216 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
33 eluzge3nn 11234 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
34 elee 24980 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3533, 34syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3632, 35mpbird 240 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
371, 36syl5eqel 2544 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   <.cop 3986   class class class wbr 4418    X. cxp 4854   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571    <_ cle 9707   -ucneg 9892   NNcn 10642   3c3 10693   ZZcz 10971   ZZ>=cuz 11193   ...cfz 11819   EEcee 24974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-ee 24977
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  25042  axlowdimlem16  25043  axlowdimlem17  25044
  Copyright terms: Public domain W3C validator