MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem7 23129
Description: Lemma for axlowdim 23142. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u 1 >. }
3 3ex 10393 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  _V
4 negex 9604 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  _V
53, 4fsn 5878 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  <->  { <. 3 ,  -u 1 >. }  =  { <. 3 ,  -u
1 >. } )
62, 5mpbir 209 . . . . . . 7  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> { -u 1 }
7 neg1rr 10422 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
8 snssi 4014 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  {
-u 1 }  C_  RR )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { -u
1 }  C_  RR
10 fss 5564 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> { -u
1 }  /\  { -u 1 }  C_  RR )  ->  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR )
116, 9, 10mp2an 667 . . . . . 6  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR
12 0re 9382 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1312fconst6 5597 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) --> RR
1411, 13pm3.2i 452 . . . . 5  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. } : {
3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )
15 disjdif 3748 . . . . 5  |-  ( { 3 }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  (/)
16 fun2 5573 . . . . 5  |-  ( ( ( { <. 3 ,  -u 1 >. } : { 3 } --> RR  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } ) --> RR )  /\  ( { 3 }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
3 } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR )
1714, 15, 16mp2an 667 . . . 4  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR
18 eluzle 10869 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
19 1le3 10534 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  3
2018, 19jctil 534 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) )
21 eluzelz 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
22 3z 10675 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
23 1z 10672 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
24 elfz 11439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2522, 23, 24mp3an12 1299 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2621, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
2720, 26mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 1 ... N
) )
2827snssd 4015 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  { 3 }  C_  ( 1 ... N ) )
29 undif 3756 . . . . . 6  |-  ( { 3 }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3028, 29sylib 196 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( {
3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) )  =  ( 1 ... N
) )
3130feq2d 5544 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( { 3 }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } ) ) --> RR  <->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3217, 31mpbii 211 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
33 3nn 10476 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
34 uznnssnn 10898 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
3635sseli 3349 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
37 elee 23075 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3836, 37syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3932, 38mpbird 232 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
401, 39syl5eqel 2525 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   <.cop 3880   class class class wbr 4289    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    <_ cle 9415   -ucneg 9592   NNcn 10318   3c3 10368   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   EEcee 23069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-ee 23072
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  23137  axlowdimlem16  23138  axlowdimlem17  23139
  Copyright terms: Public domain W3C validator