MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem6 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem6 23923
Description: Lemma for axlowdim 23937. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem6.1  |-  A  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
axlowdimlem6.2  |-  B  =  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
axlowdimlem6.3  |-  C  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. ) )

Proof of Theorem axlowdimlem6
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10890 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ZZ )
3 eluzelz 11087 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
4 2nn 10689 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
5 uznnssnn 11124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
7 nnuz 11113 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
86, 7sseqtri 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
98sseli 3500 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10 eluzle 11090 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  N )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  N )
12 1re 9591 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1312leidi 10083 . . . . . . 7  |-  1  <_  1
1411, 13jctil 537 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  N ) )
15 elfz4 11677 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  1  /\  1  <_  N ) )  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
162, 3, 2, 14, 15syl31anc 1231 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ( 1 ... N
) )
17 eluzel2 11083 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
18 eluzle 11090 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
19 1le2 10745 . . . . . . 7  |-  1  <_  2
2018, 19jctil 537 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
21 elfz4 11677 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
222, 3, 17, 20, 21syl31anc 1231 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
23 ax-1ne0 9557 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
24 1t1e1 10679 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
25 0cn 9584 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
2625mul01i 9765 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
2724, 26neeq12i 2756 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 )  <->  1  =/=  0 )
2823, 27mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 )
29 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
30 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
3112, 30axlowdimlem4 23921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
32 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
34 axlowdimlem1 23918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
35 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR  ->  ( (
3 ... N )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( 3 ... N ) )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } )  Fn  ( 3 ... N )
37 axlowdimlem2 23919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
38 2z 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
391, 38, 13pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
4013, 19pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  <_  1  /\  1  <_  2 )
41 elfz4 11677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  1  /\  1  <_  2 ) )  ->  1  e.  ( 1 ... 2
) )
4239, 40, 41mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( 1 ... 2
)
4337, 42pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) )
44 fvun1 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
) )
4533, 36, 43, 44mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)
46 1ne2 10744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  2
47 1ex 9587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  _V
4847, 47fvpr1 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  1 )
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  1
5045, 49eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  1
5129, 50syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  1 )
52 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
5330, 30axlowdimlem4 23921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
54 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
56 fvun1 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
) )
5755, 36, 43, 56mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)
5830elexi 3123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
5947, 58fvpr1 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  0 )
6046, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  1
)  =  0
6157, 60eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  0
6252, 61syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  0 )
6351, 62oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  ( 1  -  0 ) )
64 1m0e1 10642 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6563, 64syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  1 )
6665oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) ) )
67 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 ) )
6830, 12axlowdimlem4 23921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
69 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  ->  { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  Fn  ( 1 ... 2 )
71 fvun1 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  1  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
) )
7270, 36, 43, 71mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)
7347, 58fvpr1 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  0 )
7446, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  0
7572, 74eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
1 )  =  0
7667, 75syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  =  0 )
7776, 62oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  ( 0  -  0 ) )
78 0m0e0 10641 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
7977, 78syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  =  0 )
8079oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 ) )
8166, 80neeq12d 2746 . . . . . . 7  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  ( 1  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 ) ) )
82 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
831, 38, 383pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
84 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
8584leidi 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  <_  2
8619, 85pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  <_  2  /\  2  <_  2 )
87 elfz4 11677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  2  /\  2  <_  2 ) )  ->  2  e.  ( 1 ... 2
) )
8883, 86, 87mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
8937, 88pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) )
90 fvun1 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
) )
9170, 36, 89, 90mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)
9238elexi 3123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  _V
9392, 47fvpr2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1 )
9446, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1
9591, 94eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  1
9682, 95syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  1 )
97 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
98 fvun1 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
) )
9955, 36, 89, 98mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)
10092, 58fvpr2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0 )
10146, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0
10299, 101eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  0
10397, 102syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  0 )
10496, 103oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  ( 1  -  0 ) )
105104, 64syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  1 )
106105oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  2  ->  (
1  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
107 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 ) )
108 fvun1 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  Fn  (
1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  2  e.  ( 1 ... 2
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  2
)  =  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
) )
10933, 36, 89, 108mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)
11092, 58fvpr2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0 )
11146, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. } `  2
)  =  0
112109, 111eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ` 
2 )  =  0
113107, 112syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  2  ->  (
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  =  0 )
114113, 103oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  ( 0  -  0 ) )
115114, 78syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  =  0 )
116115oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  2  ->  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 )  =  ( 0  x.  0 ) )
117106, 116neeq12d 2746 . . . . . . 7  |-  ( j  =  2  ->  (
( 1  x.  (
( ( { <. 1 ,  0 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  j
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  0 )  <->  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 ) ) )
11881, 117rspc2ev 3225 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... N )  /\  2  e.  ( 1 ... N )  /\  ( 1  x.  1 )  =/=  ( 0  x.  0 ) )  ->  E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
11928, 118mp3an3 1313 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... N )  /\  2  e.  ( 1 ... N ) )  ->  E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
12016, 22, 119syl2anc 661 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. i  e.  ( 1 ... N
) E. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
121 df-ne 2664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  (
( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) ) )
122121rexbii 2965 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... N
)  -.  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  -  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
123 rexnal 2912 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N )  -.  ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
124122, 123bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
125124rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  E. i  e.  ( 1 ... N
)  -.  A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
126 rexnal 2912 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N )  -. 
A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
127125, 126bitri 249 . . . 4  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... N ) E. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) ) )  =/=  ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i ) ) )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
128120, 127sylib 196 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) )
12930, 30axlowdimlem5 23922 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
13012, 30axlowdimlem5 23922 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
13130, 12axlowdimlem5 23922 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
132 colinearalg 23886 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N )  /\  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  /\  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1
>. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) ) )
133129, 130, 131, 132syl3anc 1228 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) )  x.  ( ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) ) )  =  ( ( ( ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  j )  -  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  j ) )  x.  ( ( ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) `  i )  -  ( ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i ) ) ) ) )
134128, 133mtbird 301 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. ) )
135 axlowdimlem6.1 . . . 4  |-  A  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
136 axlowdimlem6.2 . . . . 5  |-  B  =  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
137 axlowdimlem6.3 . . . . 5  |-  C  =  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )
138136, 137opeq12i 4218 . . . 4  |-  <. B ,  C >.  =  <. ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
139135, 138breq12i 4456 . . 3  |-  ( A 
Btwn  <. B ,  C >.  <-> 
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
140137, 135opeq12i 4218 . . . 4  |-  <. C ,  A >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
141136, 140breq12i 4456 . . 3  |-  ( B 
Btwn  <. C ,  A >.  <-> 
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
142135, 136opeq12i 4218 . . . 4  |-  <. A ,  B >.  =  <. ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.
143137, 142breq12i 4456 . . 3  |-  ( C 
Btwn  <. A ,  B >.  <-> 
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >. )
144139, 141, 1433orbi123i 1186 . 2  |-  ( ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. )  <->  ( ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) )  Btwn  <. ( {
<. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) >.  \/  ( { <. 1 ,  0
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  Btwn  <.
( { <. 1 ,  0 >. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  0 >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) >.
) )
145134, 144sylnibr 305 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  \/  B  Btwn  <. C ,  A >.  \/  C  Btwn  <. A ,  B >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   2c2 10581   3c3 10582   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   EEcee 23864    Btwn cbtwn 23865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-icc 11532  df-fz 11669  df-seq 12071  df-exp 12130  df-ee 23867  df-btwn 23868
This theorem is referenced by:  axlowdim2  23936  axlowdim  23937
  Copyright terms: Public domain W3C validator