MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem5 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem5 24454
Description: Lemma for axlowdim 24469. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1  |-  A  e.  RR
axlowdimlem4.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem5
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem4.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
2 axlowdimlem4.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
31, 2axlowdimlem4 24453 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
4 axlowdimlem1 24450 . . . . 5  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
53, 4pm3.2i 453 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR 
/\  ( ( 3 ... N )  X. 
{ 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )
6 axlowdimlem2 24451 . . . 4  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
7 fun2 5731 . . . 4  |-  ( ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR  /\  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR )  /\  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/) )  ->  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR )
85, 6, 7mp2an 670 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR
9 axlowdimlem3 24452 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
109feq2d 5700 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( ( 1 ... 2
)  u.  ( 3 ... N ) ) --> RR ) )
118, 10mpbiri 233 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR )
12 eluz2nn 11120 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
13 elee 24402 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N ) --> RR ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N )  <-> 
( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) : ( 1 ... N
) --> RR ) )
1511, 14mpbird 232 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022    X. cxp 4986   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   NNcn 10531   2c2 10581   3c3 10582   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   EEcee 24396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-ee 24399
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  24455  axlowdimlem17  24466  axlowdim2  24468  axlowdim  24469
  Copyright terms: Public domain W3C validator