MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem4 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem4 24113
Description: Lemma for axlowdim 24129. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1  |-  A  e.  RR
axlowdimlem4.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem4  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR

Proof of Theorem axlowdimlem4
StepHypRef Expression
1 1ne2 10749 . . . 4  |-  1  =/=  2
2 1ex 9589 . . . . 5  |-  1  e.  _V
3 2ex 10608 . . . . 5  |-  2  e.  _V
4 axlowdimlem4.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
54elexi 3103 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
6 axlowdimlem4.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
76elexi 3103 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
82, 3, 5, 7fpr 6060 . . . 4  |-  ( 1  =/=  2  ->  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : { 1 ,  2 } --> { A ,  B } )
91, 8ax-mp 5 . . 3  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : { 1 ,  2 } --> { A ,  B }
10 1z 10895 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
11 fzpr 11739 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
13 df-2 10595 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1413oveq2i 6288 . . . . 5  |-  ( 1 ... 2 )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
1513preq2i 4094 . . . . 5  |-  { 1 ,  2 }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
1612, 14, 153eqtr4i 2480 . . . 4  |-  ( 1 ... 2 )  =  { 1 ,  2 }
1716feq2i 5710 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> { A ,  B }  <->  {
<. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : { 1 ,  2 } --> { A ,  B } )
189, 17mpbir 209 . 2  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> { A ,  B }
194, 6pm3.2i 455 . . 3  |-  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
205, 7prss 4165 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  <->  { A ,  B }  C_  RR )
2119, 20mpbi 208 . 2  |-  { A ,  B }  C_  RR
22 fss 5725 . 2  |-  ( ( { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  { <. 1 ,  A >. ,  <. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR )
2318, 21, 22mp2an 672 1  |-  { <. 1 ,  A >. , 
<. 2 ,  B >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    C_ wss 3458   {cpr 4012   <.cop 4016   -->wf 5570  (class class class)co 6277   RRcr 9489   1c1 9491    + caddc 9493   2c2 10586   ZZcz 10865   ...cfz 11676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677
This theorem is referenced by:  axlowdimlem5  24114  axlowdimlem6  24115  axlowdimlem17  24126
  Copyright terms: Public domain W3C validator