MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem3 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem3 23189
Description: Lemma for axlowdim 23206. Set up a union property for an interval of integers. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )

Proof of Theorem axlowdimlem3
StepHypRef Expression
1 1le2 10534 . . . . 5  |-  1  <_  2
21a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  2 )
3 eluzle 10872 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
4 eluzelz 10869 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
5 2z 10677 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
6 1z 10675 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
7 elfz 11442 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
85, 6, 7mp3an12 1304 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
94, 8syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
102, 3, 9mpbir2and 913 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
11 fzsplit 11474 . . 3  |-  ( 2  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) ) )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) ) )
13 df-3 10380 . . . 4  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1413oveq1i 6100 . . 3  |-  ( 3 ... N )  =  ( ( 2  +  1 ) ... N
)
1514uneq2i 3506 . 2  |-  ( ( 1 ... 2 )  u.  ( 3 ... N ) )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) )
1612, 15syl6eqr 2492 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3325   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   1c1 9282    + caddc 9284    <_ cle 9418   2c2 10370   3c3 10371   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437
This theorem is referenced by:  axlowdimlem5  23191
  Copyright terms: Public domain W3C validator