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Theorem axlowdimlem17 24930
Description: Lemma for axlowdim 24933. Establish a congruence result. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem16.2  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem17.3  |-  A  =  ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem17.4  |-  X  e.  RR
axlowdimlem17.5  |-  Y  e.  RR
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >. )

Proof of Theorem axlowdimlem17
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 11150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
21ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3 fzss2 11789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... N
) )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... N
) )
5 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  e.  ( 1 ... 2
) )
64, 5sseldd 3408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
7 fznuz 11827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... 2 )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
87adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
9 3z 10921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ZZ
10 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
12 df-3 10620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1312fveq2i 5828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  =  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
1411, 13eleqtri 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
15 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  3  ->  (
i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  <->  3  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
1614, 15mpbiri 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  3  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
1716necon3bi 2627 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  ->  i  =/=  3 )
188, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  =/=  3 )
19 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2019axlowdimlem9 24922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  3 )  -> 
( P `  i
)  =  0 )
216, 18, 20syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( P `  i )  =  0 )
22 elfzuz 11747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2322ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
24 eluzp1p1 11135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
26 uzss 11130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  ( 2  +  1 ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  ( 2  +  1 ) ) )
2827, 8ssneldd 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) )
29 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
31 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
I  +  1 ) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) )
33 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  <->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) ) )
3432, 33syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1 ) ) ) )
3534necon3bd 2615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( -.  i  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) )  ->  i  =/=  ( I  +  1 ) ) )
3628, 35mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  i  =/=  ( I  +  1
) )
37 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
3837axlowdimlem12 24925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  i
)  =  0 )
396, 36, 38syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
4021, 39eqtr4d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( P `  i )  =  ( Q `  i ) )
4140oveq1d 6264 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) )
4241oveq1d 6264 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... 2 ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )
4342sumeq2dv 13712 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... 2
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
4419, 37axlowdimlem16 24929 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
45 axlowdimlem17.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) )
4645fveq1i 5826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A `
 i )  =  ( ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)
47 axlowdimlem2 24915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... 2 )  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)
48 axlowdimlem17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X  e.  RR
49 axlowdimlem17.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Y  e.  RR
5048, 49axlowdimlem4 24917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
51 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR 
->  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 )
53 axlowdimlem1 24914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
54 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR  ->  ( (
3 ... N )  X. 
{ 0 } )  Fn  ( 3 ... N ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } )  Fn  ( 3 ... N )
56 fvun2 5897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  Fn  ( 1 ... 2 )  /\  ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } )  Fn  ( 3 ... N
)  /\  ( (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/)  /\  i  e.  ( 3 ... N
) ) )  -> 
( ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) ) `  i
)  =  ( ( ( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) `  i
) )
5752, 55, 56mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1 ... 2 )  i^i  (
3 ... N ) )  =  (/)  /\  i  e.  ( 3 ... N
) )  ->  (
( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i ) )
5847, 57mpan 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  (
( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. }  u.  (
( 3 ... N
)  X.  { 0 } ) ) `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i ) )
5946, 58syl5eq 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  ( A `  i )  =  ( ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) `  i ) )
60 c0ex 9588 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
6160fvconst2 6079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  (
( ( 3 ... N )  X.  {
0 } ) `  i )  =  0 )
6259, 61eqtrd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  ( A `  i )  =  0 )
6362adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( A `  i )  =  0 )
6463oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( P `  i )  -  0 ) )
6519axlowdimlem7 24920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
6665ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
67 3nn 10719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  NN
68 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6967, 68eleqtri 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
70 fzss1 11788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
7271sseli 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
7372adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
74 fveecn 24874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
7566, 73, 74syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
7675subid1d 9926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  0 )  =  ( P `  i
) )
7764, 76eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( P `  i
) )
7877oveq1d 6264 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( P `  i ) ^ 2 ) )
7978sumeq2dv 13712 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 ) )
8063oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( Q `  i )  -  0 ) )
81 eluzge3nn 11151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
82 2eluzge1 11156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
83 fzss1 11788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
8584sseli 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
8637axlowdimlem10 24923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
8781, 85, 86syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
88 fveecn 24874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
8987, 72, 88syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
9089subid1d 9926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  0 )  =  ( Q `  i
) )
9180, 90eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  =  ( Q `  i
) )
9291oveq1d 6264 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( (
( Q `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  =  ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )
9392sumeq2dv 13712 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
9444, 79, 933eqtr4d 2472 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
9543, 94oveq12d 6267 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
9647a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( 1 ... 2
)  i^i  ( 3 ... N ) )  =  (/) )
97 eluzelre 11120 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  RR )
98 eluzle 11122 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
99 2re 10630 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
100 3re 10634 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR
101 2lt3 10728 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  3
10299, 100, 101ltleii 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <_  3
103 letr 9678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <_  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <_  N
) )
10499, 100, 103mp3an12 1350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 2  <_  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <_  N
) )
105102, 104mpani 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  ->  2  <_  N ) )
10697, 98, 105sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <_  N )
107 1le2 10774 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
108106, 107jctil 539 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
109108adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
110 eluzelz 11119 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
111110adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
112 2z 10920 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
113 1z 10918 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
114 elfz 11741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
115112, 113, 114mp3an12 1350 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
116111, 115syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
117109, 116mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
118 fzsplit 11776 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) ) )
119117, 118syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) ) )
12012oveq1i 6259 . . . . . 6  |-  ( 3 ... N )  =  ( ( 2  +  1 ) ... N
)
121120uneq2i 3560 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... 2 )  u.  ( 3 ... N ) )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
( 2  +  1 ) ... N ) )
122119, 121syl6eqr 2480 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... 2 )  u.  (
3 ... N ) ) )
123 fzfid 12136 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
12465ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
125124, 74sylancom 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
12648, 49axlowdimlem5 24918 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. }  u.  ( ( 3 ... N )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
12745, 126syl5eqel 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
1281, 127syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
129128ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
130 fveecn 24874 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
131129, 130sylancom 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
132125, 131subcld 9937 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
133132sqcld 12364 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( P `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  e.  CC )
13496, 122, 123, 133fsumsplit 13749 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( P `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
13587, 88sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
136135, 131subcld 9937 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
137136sqcld 12364 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( Q `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 )  e.  CC )
13896, 122, 123, 137fsumsplit 13749 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
13995, 134, 1383eqtr4d 2472 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
14065adantr 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  P  e.  ( EE `  N
) )
141128adantr 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
142 brcgr 24872 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( Q  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. P ,  A >.Cgr
<. Q ,  A >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
143140, 141, 87, 141, 142syl22anc 1265 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( P `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( Q `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
144139, 143mpbird 235 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  <. P ,  A >.Cgr <. Q ,  A >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599    \ cdif 3376    u. cun 3377    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   {cpr 3943   <.cop 3947   class class class wbr 4366    X. cxp 4794    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    <_ cle 9627    - cmin 9811   -ucneg 9812   NNcn 10560   2c2 10610   3c3 10611   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   ...cfz 11735   ^cexp 12222   sum_csu 13695   EEcee 24860  Cgrccgr 24862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696  df-ee 24863  df-cgr 24865
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