MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem16 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axlowdimlem16 25066
Description: Lemma for axlowdim 25070. Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem16.2  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    P, i    i, I    i, N    Q, i

Proof of Theorem axlowdimlem16
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 11836 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  I  =  2 )
2 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
3 df-3 10691 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
42, 3syl6reqr 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  2  ->  3  =  ( I  + 
1 ) )
54, 4oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  2  ->  (
3 ... 3 )  =  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) )
65sumeq1d 13844 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
I  +  1 ) ... ( I  + 
1 ) ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
72, 3syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  =  3 )
8 3z 10994 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
97, 8syl6eqel 2557 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  e.  ZZ )
10 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1110sqcli 12393 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  e.  CC
12 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
13 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1413axlowdimlem11 25061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  =  1
1512, 14syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  i )  =  1 )
1615oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
1716fsum1 13885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 1 ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
189, 11, 17sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
196, 18eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
20 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  3  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
3 ) )
21 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2221axlowdimlem8 25058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P `
 3 )  = 
-u 1
2320, 22syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  3  ->  ( P `  i )  =  -u 1 )
2423oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 ) )
25 sqneg 12373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2610, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
2724, 26syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2827fsum1 13885 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  ( 1 ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
298, 11, 28mp2an 686 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )
3019, 29syl6reqr 2524 . . . . . 6  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
311, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
33 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  ( 3  -  1 ) )
34 3m1e2 10748 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  2
3533, 34syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  2 )
3635oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  (
2 ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 2 ... 2
) )
3736eleq2d 2534 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  <->  I  e.  ( 2 ... 2
) ) )
38 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  (
3 ... N )  =  ( 3 ... 3
) )
3938sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i
) ^ 2 ) )
4038sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
4139, 40eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  ( sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  <->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
4232, 37, 413imtr4d 276 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
4342adantld 474 . 2  |-  ( N  =  3  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
44 simprl 772 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
45 eluzle 11195 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
4645adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
3  <_  N )
47 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  N  =/=  3 )
48 3re 10705 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
49 eluzelre 11193 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  RR )
5049adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  N  e.  RR )
51 ltlen 9753 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 3  <  N  <->  ( 3  <_  N  /\  N  =/=  3 ) ) )
5248, 50, 51sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
( 3  <  N  <->  ( 3  <_  N  /\  N  =/=  3 ) ) )
5346, 47, 52mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
3  <  N )
5453adantrr 731 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  3  <  N )
55 simprr 774 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )
56 fzssp1 11867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 2 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
57 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )
5856, 57sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
59 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
60593ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6160zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
62 npcan 9904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6361, 10, 62sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
6463oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... N
) )
6558, 64eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... N
) )
66 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  ZZ )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
6867zred 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
6968ltp1d 10559 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
70 fzdisj 11852 . . . . . . . 8  |-  ( I  <  ( I  + 
1 )  ->  (
( 2 ... I
)  i^i  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
7169, 70syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( 2 ... I
)  i^i  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
72 fzsplit 11851 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  (
2 ... N )  =  ( ( 2 ... I )  u.  (
( I  +  1 ) ... N ) ) )
7365, 72syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... N )  =  ( ( 2 ... I )  u.  (
( I  +  1 ) ... N ) ) )
74 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... N )  e. 
Fin )
75 eluzge3nn 11224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
76 2eluzge1 11228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
77 fzss1 11863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
7978sseli 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
8013axlowdimlem10 25060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
8175, 79, 80syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
82 fzss1 11863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
8376, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
8483sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 2 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
85 fveecn 25011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
8681, 84, 85syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
8786sqcld 12452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i ) ^ 2 )  e.  CC )
88873adantl2 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  e.  CC )
8971, 73, 74, 88fsumsplit 13883 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
90 fzss1 11863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... I )  C_  ( 1 ... I
) )
9176, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ... I )  C_  ( 1 ... I
)
9291sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  ( 1 ... I
) )
93 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ZZ )
9493zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  RR )
95943ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
96493ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
97 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
99 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
100993ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
10196ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  <  N )
10295, 98, 96, 100, 101lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <  N )
10395, 96, 102ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <_  N )
104933ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
105 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  I )  <->  I  <_  N ) )
106104, 60, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  I )  <->  I  <_  N ) )
107103, 106mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  I )
)
108 fzss2 11864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... N
) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... I )  C_  ( 1 ... N
) )
110109sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 1 ... I )  -> 
i  e.  ( 1 ... N ) ) )
11192, 110syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 2 ... I )  -> 
i  e.  ( 1 ... N ) ) )
112111imp 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
113 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  ZZ )
114113zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  RR )
115114adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  e.  RR )
11695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  I  e.  RR )
117 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
11894, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
1191183ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
120119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
121 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  <_  I )
122121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  <_  I )
123116ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
124115, 116, 120, 122, 123lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  <  ( I  +  1 ) )
125115, 124ltned 9788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  =/=  ( I  +  1 ) )
12613axlowdimlem12 25062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  i
)  =  0 )
127112, 125, 126syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
128127sq0id 12406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  0 )
129128sumeq2dv 13846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 2 ... I ) 0 )
130 fzfi 12223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... I )  e. 
Fin
131130olci 398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ... I ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 2 ... I )  e. 
Fin )
132 sumz 13865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ... I
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
2 ... I )  e. 
Fin )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) 0  =  0 )
133131, 132ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) 0  =  0
134129, 133syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  0 )
135104peano2zd 11066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ZZ )
136 sq1 12407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
13716, 136syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
138137fsum1 13885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  =  1 )
139135, 10, 138sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
140 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  (
( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) )  =  ( ( I  +  1 ) ... N ) )
141140sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
142141eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  ( sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  + 
1 ) ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  1  <->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
143139, 142syl5ib 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
144104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
145144zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  RR )
14660adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
147146zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
148147, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  RR )
149100adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  <_  ( N  - 
1 ) )
150147ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  -  1 )  <  N )
151145, 148, 147, 149, 150lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  <  N )
152 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
153 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  e.  RR )
155 1le2 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <_  2
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  <_  2 )
157 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  <_  I )
158152, 154, 94, 156, 157letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  <_  I )
1591583ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  <_  I )
160159adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
1  <_  I )
161 elnnz1 10987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  NN  <->  ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I ) )
162144, 160, 161sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  NN )
163753ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
164163adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
165 nnltp1le 11016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
166162, 164, 165syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  <  N  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
167151, 166mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  <_  N )
168135adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ZZ )
169 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( I  + 
1 ) )  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
170168, 146, 169syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( I  + 
1 ) )  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
171167, 170mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) ) )
172 simpr1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
173 simpr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )
174172, 173, 81syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
175174adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
176162peano2nnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  NN )
177 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
178176, 177syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
179 fzss1 11863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
I  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
180178, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 ) ... N
)  C_  ( 1 ... N ) )
181180sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
182175, 181, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
183182sqcld 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( Q `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
18412oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ^
2 ) )
18514oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
186185, 136eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) ) ^ 2 )  =  1
187184, 186syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
188171, 183, 187fsum1p 13891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( 1  + 
sum_ i  e.  ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
189176peano2nnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  +  1 )  e.  NN )
190189, 177syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
191 fzss1 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
192190, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
)  C_  ( 1 ... N ) )
193192sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
194145, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  RR )
195194adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  RR )
196 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  +  1 )  e.  RR  ->  (
( I  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
197195, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( I  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
198 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  ZZ )
199198zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  RR )
200199adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  RR )
201195ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  <  (
( I  +  1 )  +  1 ) )
202 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  (
( I  +  1 )  +  1 )  <_  i )
203202adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( I  +  1 )  +  1 )  <_  i
)
204195, 197, 200, 201, 203ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  <  i
)
205195, 204gtned 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  =/=  (
I  +  1 ) )
206193, 205, 126syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
207206sq0id 12406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  0 )
208207sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) 0 )
209 fzfi 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  e. 
Fin
210209olci 398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  e. 
Fin )
211 sumz 13865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N )  e.  Fin )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) 0  =  0 )
212210, 211ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
) 0  =  0
213208, 212syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  0 )
214213oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( 1  +  sum_ i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
215 1p0e1 10744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  0 )  =  1
216214, 215syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( 1  +  sum_ i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )  =  1 )
217188, 216eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
218217ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  +  1 )  =/=  N  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
219143, 218pm2.61ine 2726 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
220134, 219oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  1 ) )
221 0p1e1 10743 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
222220, 221syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  1 )
22389, 222eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
224 simp1 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
225 2lt3 10800 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  3
226153, 48, 225ltleii 9775 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  3
227 2z 10993 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
228227eluz1i 11190 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
2298, 226, 228mpbir2an 934 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
230 uztrn 11199 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
231224, 229, 230sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
232 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  2  ->  ( Q `  i )  =  ( Q ` 
2 ) )
233232oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( i  =  2  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 2 ) ^
2 ) )
234231, 88, 233fsum1p 13891 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( ( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
23559adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
236235zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  RR )
237 lttr 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <  N )  ->  2  <  N
) )
238153, 48, 237mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <  N )  ->  2  <  N
) )
239225, 238mpani 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <  N  ->  2  <  N ) )
24049, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3  <  N  ->  2  <  N ) )
241240imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  <  N )
242 ltle 9740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
243153, 242mpan 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  N ) )
244236, 241, 243sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  <_  N )
245244, 155jctil 546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
246 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
247 elfz 11816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
248227, 246, 247mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
249235, 248syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
250245, 249mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
2512503adant3 1050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
25294ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
253154, 94, 118, 157, 252lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  <  ( I  +  1 ) )
2542533ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  <  ( I  +  1 ) )
255 ltne 9748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  2  <  ( I  + 
1 ) )  -> 
( I  +  1 )  =/=  2 )
256153, 254, 255sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  =/=  2 )
257256necomd 2698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  =/=  ( I  +  1 ) )
25813axlowdimlem12 25062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ( 1 ... N )  /\  2  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  2
)  =  0 )
259251, 257, 258syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  2 )  =  0 )
260259sq0id 12406 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( Q `  2
) ^ 2 )  =  0 )
261260oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( (
2  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) ) )
2623oveq1i 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( 3 ... N )  =  ( ( 2  +  1 ) ... N
)
263262sumeq1i 13841 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
2  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )
264263oveq2i 6319 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )
265261, 264syl6eqr 2523 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) ) )
266 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
3 ... N )  e. 
Fin )
267 3nn 10791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  NN
268267, 177eleqtri 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
269 fzss1 11863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
270268, 269ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
271270sseli 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
27281, 271, 85syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
273272sqcld 12452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i ) ^ 2 )  e.  CC )
2742733adantl2 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  e.  CC )
275266, 274fsumcl 13876 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
276275addid2d 9852 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  = 
sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )
277234, 265, 2763eqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 2 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
278 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
27921axlowdimlem7 25057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
280279ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
281271adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
282 fveecn 25011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
283280, 281, 282syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
284283sqcld 12452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
285 neg1sqe1 12408 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
28624, 285syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  1 )
287278, 284, 286fsum1p 13891 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1  +  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 ) ) )
288 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
289 zaddcl 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 3  +  1 )  e.  ZZ )
2908, 246, 289mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  +  1 )  e.  ZZ
291290zrei 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  +  1 )  e.  RR
292 1lt3 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
29348ltp1i 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  <  ( 3  +  1 )
294288, 48, 291lttri 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  <  3  /\  3  <  ( 3  +  1 ) )  ->  1  <  (
3  +  1 ) )
295292, 293, 294mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  ( 3  +  1 )
296288, 291, 295ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <_  ( 3  +  1 )
297 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 3  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( 3  +  1 ) ) )
298246, 290, 297mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  (
3  +  1 ) )
299296, 298mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
300 fzss1 11863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
3  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
301299, 300ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
)
302301sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
303302adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
30448, 291ltnlei 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  <  ( 3  +  1 )  <->  -.  (
3  +  1 )  <_  3 )
305293, 304mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  (
3  +  1 )  <_  3
306305intnanr 929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  (
( 3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N )
307 elfz 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  ( 3  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( 3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
3088, 290, 307mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  ( (
3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
309235, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  ( (
3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
310306, 309mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  -.  3  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )
311 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  3  ->  (
i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ) )
312311notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  3  ->  ( -.  i  e.  (
( 3  +  1 ) ... N )  <->  -.  3  e.  (
( 3  +  1 ) ... N ) ) )
313310, 312syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
i  =  3  ->  -.  i  e.  (
( 3  +  1 ) ... N ) ) )
314313necon2ad 2658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  -> 
i  =/=  3 ) )
315314imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  i  =/=  3
)
31621axlowdimlem9 25059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  3 )  -> 
( P `  i
)  =  0 )
317303, 315, 316syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  ( P `  i )  =  0 )
318317sq0id 12406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  0 )
319318sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) 0 )
320 fzfi 12223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  +  1 ) ... N )  e. 
Fin
321320olci 398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 3  +  1 ) ... N ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( ( 3  +  1 ) ... N )  e. 
Fin )
322 sumz 13865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 3  +  1 ) ... N
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
( 3  +  1 ) ... N )  e.  Fin )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N ) 0  =  0 )
323321, 322ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) 0  =  0
324319, 323syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  0 )
325324oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
1  +  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
326287, 325eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1  +  0 ) )
327326, 215syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  1 )
3283273adant3 1050 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  1 )
329223, 277, 3283eqtr4rd 2516 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
33044, 54, 55, 329syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
331330ex 441 . 2  |-  ( N  =/=  3  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
33243, 331pm2.61ine 2726 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   sum_csu 13829   EEcee 24997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-ee 25000
This theorem is referenced by:  axlowdimlem17  25067
  Copyright terms: Public domain W3C validator