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Theorem axlowdimlem16 23203
Description: Lemma for axlowdim 23207. Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem16.2  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    P, i    i, I    i, N    Q, i

Proof of Theorem axlowdimlem16
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 11462 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  I  =  2 )
2 oveq1 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
3 df-3 10381 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
42, 3syl6reqr 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  2  ->  3  =  ( I  + 
1 ) )
54, 4oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  2  ->  (
3 ... 3 )  =  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) )
65sumeq1d 13178 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
I  +  1 ) ... ( I  + 
1 ) ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
72, 3syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  =  3 )
8 3z 10679 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
97, 8syl6eqel 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  e.  ZZ )
10 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1110sqcli 11946 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  e.  CC
12 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
13 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1413axlowdimlem11 23198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  =  1
1512, 14syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  i )  =  1 )
1615oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
1716fsum1 13218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 1 ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
189, 11, 17sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
196, 18eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
20 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  3  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
3 ) )
21 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2221axlowdimlem8 23195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P `
 3 )  = 
-u 1
2320, 22syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  3  ->  ( P `  i )  =  -u 1 )
2423oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 ) )
25 sqneg 11926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2610, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
2724, 26syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2827fsum1 13218 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  ( 1 ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
298, 11, 28mp2an 672 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )
3019, 29syl6reqr 2494 . . . . . 6  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
311, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
33 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  ( 3  -  1 ) )
34 3m1e2 10438 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  2
3533, 34syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  2 )
3635oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  (
2 ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 2 ... 2
) )
3736eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  <->  I  e.  ( 2 ... 2
) ) )
38 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  (
3 ... N )  =  ( 3 ... 3
) )
3938sumeq1d 13178 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i
) ^ 2 ) )
4038sumeq1d 13178 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
4139, 40eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  ( sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  <->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
4232, 37, 413imtr4d 268 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
4342adantld 467 . 2  |-  ( N  =  3  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
44 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
45 eluzle 10873 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
4645adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
3  <_  N )
47 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  N  =/=  3 )
48 3re 10395 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
49 eluzelre 10871 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  RR )
5049adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  N  e.  RR )
51 ltlen 9476 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 3  <  N  <->  ( 3  <_  N  /\  N  =/=  3 ) ) )
5248, 50, 51sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
( 3  <  N  <->  ( 3  <_  N  /\  N  =/=  3 ) ) )
5346, 47, 52mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
3  <  N )
5453adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  3  <  N )
55 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )
56 fzssp1 11501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 2 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
57 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )
5856, 57sseldi 3354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
59 eluzelz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
60593ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6160zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
62 npcan 9619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6361, 10, 62sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
6463oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... N
) )
6558, 64eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... N
) )
66 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  ZZ )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
6867zred 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
6968ltp1d 10263 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
70 fzdisj 11476 . . . . . . . 8  |-  ( I  <  ( I  + 
1 )  ->  (
( 2 ... I
)  i^i  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
7169, 70syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( 2 ... I
)  i^i  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
72 fzsplit 11475 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  (
2 ... N )  =  ( ( 2 ... I )  u.  (
( I  +  1 ) ... N ) ) )
7365, 72syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... N )  =  ( ( 2 ... I )  u.  (
( I  +  1 ) ... N ) ) )
74 fzfid 11795 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... N )  e. 
Fin )
75 3nn 10480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN
76 uznnssnn 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
7877sseli 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
79 2nn 10479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
80 nnuz 10896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8179, 80eleqtri 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
82 fzss1 11497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
8483sseli 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
8513axlowdimlem10 23197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
8678, 84, 85syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
87 fzss1 11497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
8881, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
8988sseli 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 2 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
90 fveecn 23148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
9186, 89, 90syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
9291sqcld 12006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i ) ^ 2 )  e.  CC )
93923adantl2 1145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  e.  CC )
9471, 73, 74, 93fsumsplit 13216 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
95 fzss1 11497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... I )  C_  ( 1 ... I
) )
9681, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ... I )  C_  ( 1 ... I
)
9796sseli 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  ( 1 ... I
) )
98 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ZZ )
9998zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  RR )
100993ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
101493ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
102 peano2rem 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
104 elfzle2 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
1051043ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
106101ltm1d 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  <  N )
107100, 103, 101, 105, 106lelttrd 9529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <  N )
108100, 101, 107ltled 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <_  N )
109983ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
110 eluz 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  I )  <->  I  <_  N ) )
111109, 60, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  I )  <->  I  <_  N ) )
112108, 111mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  I )
)
113 fzss2 11498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... N
) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... I )  C_  ( 1 ... N
) )
115114sseld 3355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 1 ... I )  -> 
i  e.  ( 1 ... N ) ) )
11697, 115syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 2 ... I )  -> 
i  e.  ( 1 ... N ) ) )
117116imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
118 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  ZZ )
119118zred 10747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  RR )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  e.  RR )
121100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  I  e.  RR )
122 peano2re 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
12399, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
1241233ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
126 elfzle2 11455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  <_  I )
127126adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  <_  I )
128121ltp1d 10263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
129120, 121, 125, 127, 128lelttrd 9529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  <  ( I  +  1 ) )
130120, 129ltned 9510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  =/=  ( I  +  1 ) )
13113axlowdimlem12 23199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  i
)  =  0 )
132117, 130, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
133132sq0id 11959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  0 )
134133sumeq2dv 13180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 2 ... I ) 0 )
135 fzfi 11794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... I )  e. 
Fin
136135olci 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ... I ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 2 ... I )  e. 
Fin )
137 sumz 13199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ... I
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
2 ... I )  e. 
Fin )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) 0  =  0 )
138136, 137ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) 0  =  0
139134, 138syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  0 )
140109peano2zd 10750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ZZ )
141 sq1 11960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
14216, 141syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
143142fsum1 13218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  =  1 )
144140, 10, 143sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
145 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  (
( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) )  =  ( ( I  +  1 ) ... N ) )
146145sumeq1d 13178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
147146eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  ( sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  + 
1 ) ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  1  <->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
148144, 147syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
149109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
150149zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  RR )
15160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
152151zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
153152, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  RR )
154105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  <_  ( N  - 
1 ) )
155152ltm1d 10265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  -  1 )  <  N )
156150, 153, 152, 154, 155lelttrd 9529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  <  N )
157 1re 9385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
158157a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
159 2re 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  e.  RR )
161 1le2 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <_  2
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  <_  2 )
163 elfzle1 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  <_  I )
164158, 160, 99, 162, 163letrd 9528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  <_  I )
1651643ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  <_  I )
166165adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
1  <_  I )
167 elnnz1 10672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  NN  <->  ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I ) )
168149, 166, 167sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  NN )
169783ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
170169adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
171 nnltp1le 10700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
172168, 170, 171syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  <  N  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
173156, 172mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  <_  N )
174140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ZZ )
175 eluz 10874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( I  + 
1 ) )  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
176174, 151, 175syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( I  + 
1 ) )  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
177173, 176mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) ) )
178 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
179 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )
180178, 179, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
181180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
182168peano2nnd 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  NN )
183182, 80syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
184 fzss1 11497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
I  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
185183, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 ) ... N
)  C_  ( 1 ... N ) )
186185sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
187181, 186, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
188187sqcld 12006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( Q `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
18912oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ^
2 ) )
19014oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
191190, 141eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) ) ^ 2 )  =  1
192189, 191syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
193177, 188, 192fsum1p 13222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( 1  + 
sum_ i  e.  ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
194182peano2nnd 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  +  1 )  e.  NN )
195194, 80syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
196 fzss1 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
197195, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
)  C_  ( 1 ... N ) )
198197sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
199150, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  RR )
200199adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  RR )
201 peano2re 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  +  1 )  e.  RR  ->  (
( I  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
202200, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( I  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
203 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  ZZ )
204203zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  RR )
205204adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  RR )
206200ltp1d 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  <  (
( I  +  1 )  +  1 ) )
207 elfzle1 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  (
( I  +  1 )  +  1 )  <_  i )
208207adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( I  +  1 )  +  1 )  <_  i
)
209200, 202, 205, 206, 208ltletrd 9531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  <  i
)
210200, 209gtned 9509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  =/=  (
I  +  1 ) )
211198, 210, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
212211sq0id 11959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  0 )
213212sumeq2dv 13180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) 0 )
214 fzfi 11794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  e. 
Fin
215214olci 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  e. 
Fin )
216 sumz 13199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N )  e.  Fin )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) 0  =  0 )
217215, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
) 0  =  0
218213, 217syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  0 )
219218oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( 1  +  sum_ i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
220 1p0e1 10434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  0 )  =  1
221219, 220syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( 1  +  sum_ i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )  =  1 )
222193, 221eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
223222ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  +  1 )  =/=  N  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
224148, 223pm2.61ine 2687 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
225139, 224oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  1 ) )
226 0p1e1 10433 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
227225, 226syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  1 )
22894, 227eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
229 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
230 2lt3 10489 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  3
231159, 48, 230ltleii 9497 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  3
232 2z 10678 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
233232eluz1i 10868 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
2348, 231, 233mpbir2an 911 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
235 uztrn 10877 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
236229, 234, 235sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
237 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  2  ->  ( Q `  i )  =  ( Q ` 
2 ) )
238237oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( i  =  2  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 2 ) ^
2 ) )
239236, 93, 238fsum1p 13222 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( ( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
24059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
241240zred 10747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  RR )
242 lttr 9451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <  N )  ->  2  <  N
) )
243159, 48, 242mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <  N )  ->  2  <  N
) )
244230, 243mpani 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <  N  ->  2  <  N ) )
24549, 244syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3  <  N  ->  2  <  N ) )
246245imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  <  N )
247 ltle 9463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
248159, 247mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  N ) )
249241, 246, 248sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  <_  N )
250249, 161jctil 537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
251 1z 10676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
252 elfz 11443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
253232, 251, 252mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
254240, 253syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
255250, 254mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
2562553adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
25799ltp1d 10263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
258160, 99, 123, 163, 257lelttrd 9529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  <  ( I  +  1 ) )
2592583ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  <  ( I  +  1 ) )
260 ltne 9471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  2  <  ( I  + 
1 ) )  -> 
( I  +  1 )  =/=  2 )
261159, 259, 260sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  =/=  2 )
262261necomd 2695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  =/=  ( I  +  1 ) )
26313axlowdimlem12 23199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ( 1 ... N )  /\  2  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  2
)  =  0 )
264256, 262, 263syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  2 )  =  0 )
265264sq0id 11959 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( Q `  2
) ^ 2 )  =  0 )
266265oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( (
2  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) ) )
2673oveq1i 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( 3 ... N )  =  ( ( 2  +  1 ) ... N
)
268267sumeq1i 13175 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
2  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )
269268oveq2i 6102 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )
270266, 269syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) ) )
271 fzfid 11795 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
3 ... N )  e. 
Fin )
27275, 80eleqtri 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
273 fzss1 11497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
274272, 273ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
275274sseli 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
27686, 275, 90syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
277276sqcld 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i ) ^ 2 )  e.  CC )
2782773adantl2 1145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  e.  CC )
279271, 278fsumcl 13210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
280279addid2d 9570 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  = 
sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )
281239, 270, 2803eqtrrd 2480 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 2 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
282 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
28321axlowdimlem7 23194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
284283ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
285275adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
286 fveecn 23148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
287284, 285, 286syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
288287sqcld 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
289 neg1sqe1 11961 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
29024, 289syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  1 )
291282, 288, 290fsum1p 13222 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1  +  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 ) ) )
292 zaddcl 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 3  +  1 )  e.  ZZ )
2938, 251, 292mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  +  1 )  e.  ZZ
294293zrei 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  +  1 )  e.  RR
295 1lt3 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
29648ltp1i 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  <  ( 3  +  1 )
297157, 48, 294lttri 9500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  <  3  /\  3  <  ( 3  +  1 ) )  ->  1  <  (
3  +  1 ) )
298295, 296, 297mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  ( 3  +  1 )
299157, 294, 298ltleii 9497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <_  ( 3  +  1 )
300 eluz 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 3  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( 3  +  1 ) ) )
301251, 293, 300mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  (
3  +  1 ) )
302299, 301mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
303 fzss1 11497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
3  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
304302, 303ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
)
305304sseli 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
306305adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
30748, 294ltnlei 9495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  <  ( 3  +  1 )  <->  -.  (
3  +  1 )  <_  3 )
308296, 307mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  (
3  +  1 )  <_  3
309308intnanr 906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  (
( 3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N )
310 elfz 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  ( 3  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( 3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
3118, 293, 310mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  ( (
3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
312240, 311syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  ( (
3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
313309, 312mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  -.  3  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )
314 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  3  ->  (
i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ) )
315314notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  3  ->  ( -.  i  e.  (
( 3  +  1 ) ... N )  <->  -.  3  e.  (
( 3  +  1 ) ... N ) ) )
316313, 315syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
i  =  3  ->  -.  i  e.  (
( 3  +  1 ) ... N ) ) )
317316necon2ad 2659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  -> 
i  =/=  3 ) )
318317imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  i  =/=  3
)
31921axlowdimlem9 23196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  3 )  -> 
( P `  i
)  =  0 )
320306, 318, 319syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  ( P `  i )  =  0 )
321320sq0id 11959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  0 )
322321sumeq2dv 13180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) 0 )
323 fzfi 11794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  +  1 ) ... N )  e. 
Fin
324323olci 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 3  +  1 ) ... N ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( ( 3  +  1 ) ... N )  e. 
Fin )
325 sumz 13199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 3  +  1 ) ... N
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
( 3  +  1 ) ... N )  e.  Fin )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N ) 0  =  0 )
326324, 325ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) 0  =  0
327322, 326syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  0 )
328327oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
1  +  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
329291, 328eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1  +  0 ) )
330329, 220syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  1 )
3313303adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  1 )
332228, 281, 3313eqtr4rd 2486 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
33344, 54, 55, 332syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
334333ex 434 . 2  |-  ( N  =/=  3  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
33543, 334pm2.61ine 2687 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   <.cop 3883   class class class wbr 4292    X. cxp 4838   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596   NNcn 10322   2c2 10371   3c3 10372   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   ^cexp 11865   sum_csu 13163   EEcee 23134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-ee 23137
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