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Theorem axlowdimlem16 23122
Description: Lemma for axlowdim 23126. Set up a summation that will help establish distance. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem16.1  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
axlowdimlem16.2  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    P, i    i, I    i, N    Q, i

Proof of Theorem axlowdimlem16
StepHypRef Expression
1 elfz1eq 11458 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  I  =  2 )
2 oveq1 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
3 df-3 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
42, 3syl6reqr 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  2  ->  3  =  ( I  + 
1 ) )
54, 4oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  2  ->  (
3 ... 3 )  =  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) )
65sumeq1d 13174 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
I  +  1 ) ... ( I  + 
1 ) ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
72, 3syl6eqr 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  =  3 )
8 3z 10675 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
97, 8syl6eqel 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  2  ->  (
I  +  1 )  e.  ZZ )
10 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1110sqcli 11942 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  e.  CC
12 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
13 axlowdimlem16.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1413axlowdimlem11 23117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  =  1
1512, 14syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  i )  =  1 )
1615oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
1716fsum1 13214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 1 ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
189, 11, 17sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
196, 18eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
20 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  3  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
3 ) )
21 axlowdimlem16.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )
2221axlowdimlem8 23114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P `
 3 )  = 
-u 1
2320, 22syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  3  ->  ( P `  i )  =  -u 1 )
2423oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  ( -u 1 ^ 2 ) )
25 sqneg 11922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2610, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
2724, 26syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2827fsum1 13214 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  ( 1 ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
298, 11, 28mp2an 667 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )
3019, 29syl6reqr 2492 . . . . . 6  |-  ( I  =  2  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
311, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... 2 )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
33 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  ( 3  -  1 ) )
34 3m1e2 10434 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  2
3533, 34syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  ( N  -  1 )  =  2 )
3635oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  (
2 ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 2 ... 2
) )
3736eleq2d 2508 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  <->  I  e.  ( 2 ... 2
) ) )
38 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( N  =  3  ->  (
3 ... N )  =  ( 3 ... 3
) )
3938sumeq1d 13174 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i
) ^ 2 ) )
4038sumeq1d 13174 . . . . 5  |-  ( N  =  3  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
4139, 40eqeq12d 2455 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  ( sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  <->  sum_ i  e.  ( 3 ... 3 ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... 3
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
4232, 37, 413imtr4d 268 . . 3  |-  ( N  =  3  ->  (
I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
4342adantld 464 . 2  |-  ( N  =  3  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
44 simprl 750 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
45 eluzle 10869 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  N )
4645adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
3  <_  N )
47 simpl 454 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  N  =/=  3 )
48 3re 10391 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
49 eluzelre 10867 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  RR )
5049adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  N  e.  RR )
51 ltlen 9472 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 3  <  N  <->  ( 3  <_  N  /\  N  =/=  3 ) ) )
5248, 50, 51sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
( 3  <  N  <->  ( 3  <_  N  /\  N  =/=  3 ) ) )
5346, 47, 52mpbir2and 908 . . . . 5  |-  ( ( N  =/=  3  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
3  <  N )
5453adantrr 711 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  3  <  N )
55 simprr 751 . . . 4  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )
56 fzssp1 11497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 2 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
57 simp3 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )
5856, 57sseldi 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
59 eluzelz 10866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  ZZ )
60593ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6160zcnd 10744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
62 npcan 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6361, 10, 62sylancl 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
6463oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... N
) )
6558, 64eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... N
) )
66 elfzelz 11449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  ZZ )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
6867zred 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
6968ltp1d 10259 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
70 fzdisj 11472 . . . . . . . 8  |-  ( I  <  ( I  + 
1 )  ->  (
( 2 ... I
)  i^i  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
7169, 70syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( 2 ... I
)  i^i  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
72 fzsplit 11471 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  (
2 ... N )  =  ( ( 2 ... I )  u.  (
( I  +  1 ) ... N ) ) )
7365, 72syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... N )  =  ( ( 2 ... I )  u.  (
( I  +  1 ) ... N ) ) )
74 fzfid 11791 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
2 ... N )  e. 
Fin )
75 3nn 10476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN
76 uznnssnn 10898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
7877sseli 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
79 2nn 10475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
80 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8179, 80eleqtri 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
82 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
8483sseli 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
8513axlowdimlem10 23116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
8678, 84, 85syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
87 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
8881, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
8988sseli 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 2 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
90 fveecn 23067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
9186, 89, 90syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
9291sqcld 12002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i ) ^ 2 )  e.  CC )
93923adantl2 1140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... N
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  e.  CC )
9471, 73, 74, 93fsumsplit 13212 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  (
sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
95 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... I )  C_  ( 1 ... I
) )
9681, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ... I )  C_  ( 1 ... I
)
9796sseli 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  ( 1 ... I
) )
98 elfzelz 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  ZZ )
9998zred 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  e.  RR )
100993ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
101493ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
102 peano2rem 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
104 elfzle2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
1051043ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <_  ( N  -  1 ) )
106101ltm1d 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  <  N )
107100, 103, 101, 105, 106lelttrd 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <  N )
108100, 101, 107ltled 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  <_  N )
109983ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
110 eluz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  I )  <->  I  <_  N ) )
111109, 60, 110syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  I )  <->  I  <_  N ) )
112108, 111mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  I )
)
113 fzss2 11494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... N
) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1 ... I )  C_  ( 1 ... N
) )
115114sseld 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 1 ... I )  -> 
i  e.  ( 1 ... N ) ) )
11697, 115syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 2 ... I )  -> 
i  e.  ( 1 ... N ) ) )
117116imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
118 elfzelz 11449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  ZZ )
119118zred 10743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  e.  RR )
120119adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  e.  RR )
121100adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  I  e.  RR )
122 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
12399, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
1241233ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
125124adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
126 elfzle2 11451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 2 ... I )  ->  i  <_  I )
127126adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  <_  I )
128121ltp1d 10259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
129120, 121, 125, 127, 128lelttrd 9525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  <  ( I  +  1 ) )
130120, 129ltned 9506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  i  =/=  ( I  +  1 ) )
13113axlowdimlem12 23118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  i
)  =  0 )
132117, 130, 131syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
133132sq0id 11955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 2 ... I
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  0 )
134133sumeq2dv 13176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 2 ... I ) 0 )
135 fzfi 11790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ... I )  e. 
Fin
136135olci 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ... I ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 2 ... I )  e. 
Fin )
137 sumz 13195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ... I
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
2 ... I )  e. 
Fin )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) 0  =  0 )
138136, 137ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) 0  =  0
139134, 138syl6eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... I
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  0 )
140109peano2zd 10746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ZZ )
141 sq1 11956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
14216, 141syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
143142fsum1 13214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) ) ( ( Q `  i ) ^ 2 )  =  1 )
144140, 10, 143sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
145 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  (
( I  +  1 ) ... ( I  +  1 ) )  =  ( ( I  +  1 ) ... N ) )
146145sumeq1d 13174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... (
I  +  1 ) ) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
147146eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  ( sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( I  + 
1 ) ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  1  <->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
148144, 147syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  +  1 )  =  N  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
149109adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
150149zred 10743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  RR )
15160adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
152151zred 10743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
153152, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  RR )
154105adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  <_  ( N  - 
1 ) )
155152ltm1d 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  -  1 )  <  N )
156150, 153, 152, 154, 155lelttrd 9525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  <  N )
157 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
158157a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
159 2re 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  e.  RR )
161 1le2 10531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <_  2
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  <_  2 )
163 elfzle1 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  <_  I )
164158, 160, 99, 162, 163letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  1  <_  I )
1651643ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  <_  I )
166165adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
1  <_  I )
167 elnnz1 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  NN  <->  ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I ) )
168149, 166, 167sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  NN )
169783ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
170169adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
171 nnltp1le 10696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( I  <  N  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
172168, 170, 171syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  <  N  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
173156, 172mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  <_  N )
174140adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ZZ )
175 eluz 10870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( I  + 
1 ) )  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
176174, 151, 175syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( I  + 
1 ) )  <->  ( I  +  1 )  <_  N ) )
177173, 176mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) ) )
178 simpr1 989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
179 simpr3 991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )
180178, 179, 86syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
181180adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
182168peano2nnd 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  NN )
183182, 80syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
184 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
I  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
185183, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 ) ... N
)  C_  ( 1 ... N ) )
186185sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
187181, 186, 90syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
188187sqcld 12002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
I  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( Q `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
18912oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ^
2 ) )
19014oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
191190, 141eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) ) ^ 2 )  =  1
192189, 191syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
193177, 188, 192fsum1p 13218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( 1  + 
sum_ i  e.  ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) ) )
194182peano2nnd 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  +  1 )  e.  NN )
195194, 80syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
196 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
197195, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
)  C_  ( 1 ... N ) )
198197sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
199150, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  RR )
200199adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  RR )
201 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  +  1 )  e.  RR  ->  (
( I  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
202200, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( I  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
203 elfzelz 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  ZZ )
204203zred 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  RR )
205204adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  RR )
206200ltp1d 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  <  (
( I  +  1 )  +  1 ) )
207 elfzle1 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  ->  (
( I  +  1 )  +  1 )  <_  i )
208207adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( I  +  1 )  +  1 )  <_  i
)
209200, 202, 205, 206, 208ltletrd 9527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( I  + 
1 )  <  i
)
210200, 209gtned 9505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  i  =/=  (
I  +  1 ) )
211198, 210, 131syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( Q `  i )  =  0 )
212211sq0id 11955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  0 )
213212sumeq2dv 13176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) 0 )
214 fzfi 11790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  e. 
Fin
215214olci 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N )  e. 
Fin )
216 sumz 13195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
( ( I  + 
1 )  +  1 ) ... N )  e.  Fin )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) 0  =  0 )
217215, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N
) 0  =  0
218213, 217syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  0 )
219218oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( 1  +  sum_ i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
220 1p0e1 10430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  0 )  =  1
221219, 220syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( 1  +  sum_ i  e.  ( (
( I  +  1 )  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )  =  1 )
222193, 221eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  +  1 )  =/=  N  /\  ( N  e.  ( ZZ>=
`  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  =  1 )
223222ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  +  1 )  =/=  N  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 ) )
224148, 223pm2.61ine 2685 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( I  + 
1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
225139, 224oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  1 ) )
226 0p1e1 10429 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
227225, 226syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 2 ... I ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( I  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  1 )
22894, 227eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  1 )
229 simp1 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
230 2lt3 10485 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  3
231159, 48, 230ltleii 9493 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  3
232 2z 10674 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
233232eluz1i 10864 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
2348, 231, 233mpbir2an 906 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
235 uztrn 10873 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
236229, 234, 235sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
237 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  2  ->  ( Q `  i )  =  ( Q ` 
2 ) )
238237oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( i  =  2  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 2 ) ^
2 ) )
239236, 93, 238fsum1p 13218 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 2 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  ( ( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
24059adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
241240zred 10743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  RR )
242 lttr 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <  N )  ->  2  <  N
) )
243159, 48, 242mp3an12 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <  N )  ->  2  <  N
) )
244230, 243mpani 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <  N  ->  2  <  N ) )
24549, 244syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3  <  N  ->  2  <  N ) )
246245imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  <  N )
247 ltle 9459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
248159, 247mpan 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  N ) )
249241, 246, 248sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  <_  N )
250249, 161jctil 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
1  <_  2  /\  2  <_  N ) )
251 1z 10672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
252 elfz 11439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
253232, 251, 252mp3an12 1299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
254240, 253syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
2  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 1  <_  2  /\  2  <_  N ) ) )
255250, 254mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
2562553adant3 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  ( 1 ... N
) )
25799ltp1d 10259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
258160, 99, 123, 163, 257lelttrd 9525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) )  ->  2  <  ( I  +  1 ) )
2592583ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  <  ( I  +  1 ) )
260 ltne 9467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  2  <  ( I  + 
1 ) )  -> 
( I  +  1 )  =/=  2 )
261159, 259, 260sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  =/=  2 )
262261necomd 2693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  =/=  ( I  +  1 ) )
26313axlowdimlem12 23118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ( 1 ... N )  /\  2  =/=  ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  2
)  =  0 )
264256, 262, 263syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  2 )  =  0 )
265264sq0id 11955 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( Q `  2
) ^ 2 )  =  0 )
266265oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( (
2  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) ) )
2673oveq1i 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( 3 ... N )  =  ( ( 2  +  1 ) ... N
)
268267sumeq1i 13171 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
2  +  1 ) ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 )
269268oveq2i 6101 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )
270266, 269syl6eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( Q ` 
2 ) ^ 2 )  +  sum_ i  e.  ( ( 2  +  1 ) ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) ) )
271 fzfid 11791 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
3 ... N )  e. 
Fin )
27275, 80eleqtri 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
273 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
274272, 273ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3 ... N )  C_  ( 1 ... N
)
275274sseli 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 3 ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
27686, 275, 90syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
277276sqcld 12002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( Q `  i ) ^ 2 )  e.  CC )
2782773adantl2 1140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 3 ... N
) )  ->  (
( Q `  i
) ^ 2 )  e.  CC )
279271, 278fsumcl 13206 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
280279addid2d 9566 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) )  = 
sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i ) ^ 2 ) )
281239, 270, 2803eqtrrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 2 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
282 simpl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
28321axlowdimlem7 23113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
284283ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
285275adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
286 fveecn 23067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
287284, 285, 286syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( P `  i )  e.  CC )
288287sqcld 12002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( 3 ... N ) )  ->  ( ( P `
 i ) ^
2 )  e.  CC )
289 neg1sqe1 11957 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
29024, 289syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  3  ->  (
( P `  i
) ^ 2 )  =  1 )
291282, 288, 290fsum1p 13218 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1  +  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 ) ) )
292 zaddcl 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 3  +  1 )  e.  ZZ )
2938, 251, 292mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  +  1 )  e.  ZZ
294293zrei 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  +  1 )  e.  RR
295 1lt3 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <  3
29648ltp1i 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  <  ( 3  +  1 )
297157, 48, 294lttri 9496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  <  3  /\  3  <  ( 3  +  1 ) )  ->  1  <  (
3  +  1 ) )
298295, 296, 297mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  ( 3  +  1 )
299157, 294, 298ltleii 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <_  ( 3  +  1 )
300 eluz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 3  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( 3  +  1 ) ) )
301251, 293, 300mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  (
3  +  1 ) )
302299, 301mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
303 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
3  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
304302, 303ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
)
305304sseli 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
306305adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
30748, 294ltnlei 9491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  <  ( 3  +  1 )  <->  -.  (
3  +  1 )  <_  3 )
308296, 307mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  (
3  +  1 )  <_  3
309308intnanr 901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  (
( 3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N )
310 elfz 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  ( 3  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( 3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
3118, 293, 310mp3an12 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  ( (
3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
312240, 311syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  ( (
3  +  1 )  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
313309, 312mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  -.  3  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )
314 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  3  ->  (
i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  <->  3  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ) )
315314notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  3  ->  ( -.  i  e.  (
( 3  +  1 ) ... N )  <->  -.  3  e.  (
( 3  +  1 ) ... N ) ) )
316313, 315syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
i  =  3  ->  -.  i  e.  (
( 3  +  1 ) ... N ) ) )
317316necon2ad 2657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N )  -> 
i  =/=  3 ) )
318317imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  i  =/=  3
)
31921axlowdimlem9 23115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  i  =/=  3 )  -> 
( P `  i
)  =  0 )
320306, 318, 319syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  ( P `  i )  =  0 )
321320sq0id 11955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  3  <  N )  /\  i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) )  ->  ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  0 )
322321sumeq2dv 13176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( (
3  +  1 ) ... N ) 0 )
323 fzfi 11790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  +  1 ) ... N )  e. 
Fin
324323olci 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 3  +  1 ) ... N ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( ( 3  +  1 ) ... N )  e. 
Fin )
325 sumz 13195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 3  +  1 ) ... N
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
( 3  +  1 ) ... N )  e.  Fin )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N ) 0  =  0 )
326324, 325ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) 0  =  0
327322, 326syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  0 )
328327oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  (
1  +  sum_ i  e.  ( ( 3  +  1 ) ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
329291, 328eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  ( 1  +  0 ) )
330329, 220syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  1 )
3313303adant3 1003 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  1 )
332228, 281, 3313eqtr4rd 2484 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  3  <  N  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
33344, 54, 55, 332syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( N  =/=  3  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
334333ex 434 . 2  |-  ( N  =/=  3  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( P `  i ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( Q `
 i ) ^
2 ) ) )
33543, 334pm2.61ine 2685 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  I  e.  ( 2 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 3 ... N
) ( ( P `
 i ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 3 ... N ) ( ( Q `  i
) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   <.cop 3880   class class class wbr 4289    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592   NNcn 10318   2c2 10367   3c3 10368   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861   sum_csu 13159   EEcee 23053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-ee 23056
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