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Theorem axlowdimlem15 23200
Description: Lemma for axlowdim 23205. Set up a one-to-one function of points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem15.1  |-  F  =  ( i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) 
|->  if ( i  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE `  N ) )
Distinct variable group:    i, N
Allowed substitution hint:    F( i)

Proof of Theorem axlowdimlem15
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifeqor 3831 . . . 4  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  \/  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
2 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )
32axlowdimlem7 23192 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N ) )
5 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  ->  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) ) )
64, 5syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  ( EE
`  N ) ) )
7 3nn 10478 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
8 uznnssnn 10900 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  3 )  C_  NN )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  NN
109sseli 3350 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
11 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1211axlowdimlem10 23195 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
1310, 12sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
14 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
)  <->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) ) )
1513, 14syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  ( EE
`  N ) ) )
166, 15jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( if ( i  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  \/  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
) ) )
171, 16ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
) )
18 axlowdimlem15.1 . . 3  |-  F  =  ( i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) 
|->  if ( i  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
1917, 18fmptd 5865 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) --> ( EE `  N ) )
20 eqeq1 2447 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
i  =  1  <->  j  =  1 ) )
21 oveq1 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
2221opeq1d 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  <. (
i  +  1 ) ,  1 >.  =  <. ( j  +  1 ) ,  1 >. )
2322sneqd 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  =  { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. } )
2421sneqd 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  { ( i  +  1 ) }  =  { ( j  +  1 ) } )
2524difeq2d 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  =  ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } ) )
2625xpeq1d 4861 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1 ... N )  \  {
( i  +  1 ) } )  X. 
{ 0 } )  =  ( ( ( 1 ... N ) 
\  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
2723, 26uneq12d 3509 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
2820, 27ifbieq2d 3812 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
29 snex 4531 . . . . . . . . 9  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  e.  _V
30 ovex 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
31 difexg 4438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  e.  _V )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } )  e.  _V
33 snex 4531 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  e.  _V
3432, 33xpex 6506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
3529, 34unex 6376 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  _V
36 snex 4531 . . . . . . . . 9  |-  { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  e.  _V
37 difexg 4438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  e.  _V )
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( j  +  1 ) } )  e.  _V
3938, 33xpex 6506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
4036, 39unex 6376 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  _V
4135, 40ifex 3856 . . . . . . 7  |-  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  _V
4228, 18, 41fvmpt 5772 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
43 eqeq1 2447 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  (
i  =  1  <->  k  =  1 ) )
44 oveq1 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
i  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
4544opeq1d 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  <. (
i  +  1 ) ,  1 >.  =  <. ( k  +  1 ) ,  1 >. )
4645sneqd 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  =  { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. } )
4744sneqd 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  { ( i  +  1 ) }  =  { ( k  +  1 ) } )
4847difeq2d 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  =  ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } ) )
4948xpeq1d 4861 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( 1 ... N )  \  {
( i  +  1 ) } )  X. 
{ 0 } )  =  ( ( ( 1 ... N ) 
\  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
5046, 49uneq12d 3509 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
5143, 50ifbieq2d 3812 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
52 snex 4531 . . . . . . . . 9  |-  { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  e.  _V
53 difexg 4438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  e.  _V )
5430, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( k  +  1 ) } )  e.  _V
5554, 33xpex 6506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
5652, 55unex 6376 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  _V
5735, 56ifex 3856 . . . . . . 7  |-  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  _V
5851, 18, 57fvmpt 5772 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
5942, 58eqeqan12d 2456 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 j )  =  ( F `  k
)  <->  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) ) )
6059adantl 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  j )  =  ( F `  k )  <->  if (
j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) ) )
61 eqtr3 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  j  =  k )
6261a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) )
6362a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
64 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
652, 64axlowdimlem13 23198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =/=  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
6665neneqd 2622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  -.  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
6766pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
6867adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  (
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
6910, 68sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
70 iftrue 3795 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) )
71 iffalse 3797 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  1  ->  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
7270, 71eqeqan12d 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) ) )
7372imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
7469, 73syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
75 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
762, 75axlowdimlem13 23198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =/=  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
7776necomd 2693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =/=  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) )
7877neneqd 2622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  -.  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) )
7978pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
8010, 79sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
8180adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
82 iffalse 3797 . . . . . . . 8  |-  ( -.  j  =  1  ->  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
83 iftrue 3795 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) )
8482, 83eqeqan12d 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ) )
8584imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
8681, 85syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
8775, 64axlowdimlem14 23199 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
88873expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  (
( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
8910, 88sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
9082, 71eqeqan12d 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
9190imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
9289, 91syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
9363, 74, 86, 924cases 940 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) )
9460, 93sylbid 215 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  j )  =  ( F `  k )  ->  j  =  k ) )
9594ralrimivva 2806 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A. j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) A. k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 j )  =  ( F `  k
)  ->  j  =  k ) )
96 dff13 5969 . 2  |-  ( F : ( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE
`  N )  <->  ( F : ( 1 ... ( N  -  1 ) ) --> ( EE
`  N )  /\  A. j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) A. k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  j
)  =  ( F `
 k )  -> 
j  =  k ) ) )
9719, 95, 96sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   _Vcvv 2970    \ cdif 3323    u. cun 3324    C_ wss 3326   ifcif 3789   {csn 3875   <.cop 3881    e. cmpt 4348    X. cxp 4836   -->wf 5412   -1-1->wf1 5413   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    - cmin 9593   -ucneg 9594   NNcn 10320   3c3 10370   ZZ>=cuz 10859   ...cfz 11435   EEcee 23132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-ee 23135
This theorem is referenced by:  axlowdim  23205
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