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Theorem axlowdimlem15 24973
Description: Lemma for axlowdim 24978. Set up a one-to-one function of points. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem15.1  |-  F  =  ( i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) 
|->  if ( i  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE `  N ) )
Distinct variable group:    i, N
Allowed substitution hint:    F( i)

Proof of Theorem axlowdimlem15
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )
21axlowdimlem7 24965 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
32adantr 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  ( EE
`  N ) )
4 eluzge3nn 11201 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
5 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
65axlowdimlem10 24968 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
74, 6sylan 473 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  ( EE `  N ) )
83, 7ifcld 3952 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  e.  ( EE `  N
) )
9 axlowdimlem15.1 . . 3  |-  F  =  ( i  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) 
|->  if ( i  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
108, 9fmptd 6058 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) --> ( EE `  N ) )
11 eqeq1 2426 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
i  =  1  <->  j  =  1 ) )
12 oveq1 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
1312opeq1d 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  <. (
i  +  1 ) ,  1 >.  =  <. ( j  +  1 ) ,  1 >. )
1413sneqd 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  =  { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. } )
1512sneqd 4008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  { ( i  +  1 ) }  =  { ( j  +  1 ) } )
1615difeq2d 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  =  ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } ) )
1716xpeq1d 4873 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1 ... N )  \  {
( i  +  1 ) } )  X. 
{ 0 } )  =  ( ( ( 1 ... N ) 
\  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1814, 17uneq12d 3621 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
1911, 18ifbieq2d 3934 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
20 snex 4659 . . . . . . . . 9  |-  { <. 3 ,  -u 1 >. }  e.  _V
21 ovex 6330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
22 difexg 4569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  e.  _V )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { 3 } )  e.  _V
24 snex 4659 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  e.  _V
2523, 24xpex 6606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
2620, 25unex 6600 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  e.  _V
27 snex 4659 . . . . . . . . 9  |-  { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  e.  _V
28 difexg 4569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  e.  _V )
2921, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( j  +  1 ) } )  e.  _V
3029, 24xpex 6606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
3127, 30unex 6600 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  _V
3226, 31ifex 3977 . . . . . . 7  |-  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  _V
3319, 9, 32fvmpt 5961 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
34 eqeq1 2426 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  (
i  =  1  <->  k  =  1 ) )
35 oveq1 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
i  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
3635opeq1d 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  <. (
i  +  1 ) ,  1 >.  =  <. ( k  +  1 ) ,  1 >. )
3736sneqd 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  =  { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. } )
3835sneqd 4008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  { ( i  +  1 ) }  =  { ( k  +  1 ) } )
3938difeq2d 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  =  ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } ) )
4039xpeq1d 4873 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( 1 ... N )  \  {
( i  +  1 ) } )  X. 
{ 0 } )  =  ( ( ( 1 ... N ) 
\  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
4137, 40uneq12d 3621 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
i  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
4234, 41ifbieq2d 3934 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  if ( i  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( i  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( i  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
43 snex 4659 . . . . . . . . 9  |-  { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  e.  _V
44 difexg 4569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  e.  _V )
4521, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( k  +  1 ) } )  e.  _V
4645, 24xpex 6606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } )  e. 
_V
4743, 46unex 6600 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  e.  _V
4826, 47ifex 3977 . . . . . . 7  |-  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  e.  _V
4942, 9, 48fvmpt 5961 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
5033, 49eqeqan12d 2445 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 j )  =  ( F `  k
)  <->  if ( j  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) ) )
5150adantl 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  j )  =  ( F `  k )  <->  if (
j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) ) )
52 eqtr3 2450 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  j  =  k )
53522a1d 27 . . . . 5  |-  ( ( j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
54 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
551, 54axlowdimlem13 24971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =/=  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
5655neneqd 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  -.  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
5756pm2.21d 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
5857adantrl 720 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  (
( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
594, 58sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
60 iftrue 3915 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) )
61 iffalse 3918 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  1  ->  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
6260, 61eqeqan12d 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) ) )
6362imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  =  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
6459, 63syl5ibr 224 . . . . 5  |-  ( ( j  =  1  /\ 
-.  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
65 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )
661, 65axlowdimlem13 24971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  =/=  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
6766necomd 2695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =/=  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) )
6867neneqd 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  -.  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) )
6968pm2.21d 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
704, 69sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
7170adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
72 iffalse 3918 . . . . . . . 8  |-  ( -.  j  =  1  ->  if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )
73 iftrue 3915 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) )
7472, 73eqeqan12d 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ) )
7574imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
7671, 75syl5ibr 224 . . . . 5  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  k  =  1 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
7765, 54axlowdimlem14 24972 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
78773expb 1206 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  (
( { <. (
j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  ->  j  =  k ) )
794, 78sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) )
8072, 61eqeqan12d 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  <->  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) ) )
8180imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { 3 } )  X.  { 0 } ) ) ,  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k )  <->  ( ( { <. ( j  +  1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
j  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) )  =  ( { <. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( k  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) )  ->  j  =  k ) ) )
8279, 81syl5ibr 224 . . . . 5  |-  ( ( -.  j  =  1  /\  -.  k  =  1 )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  ( j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) ) )
8353, 64, 76, 824cases 957 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( if ( j  =  1 ,  ( { <. 3 ,  -u 1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { 3 } )  X.  {
0 } ) ) ,  ( { <. ( j  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( j  +  1 ) } )  X.  { 0 } ) ) )  =  if ( k  =  1 ,  ( {
<. 3 ,  -u
1 >. }  u.  (
( ( 1 ... N )  \  {
3 } )  X. 
{ 0 } ) ) ,  ( {
<. ( k  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
k  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) )  ->  j  =  k ) )
8451, 83sylbid 218 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  j )  =  ( F `  k )  ->  j  =  k ) )
8584ralrimivva 2846 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A. j  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) A. k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 j )  =  ( F `  k
)  ->  j  =  k ) )
86 dff13 6171 . 2  |-  ( F : ( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE
`  N )  <->  ( F : ( 1 ... ( N  -  1 ) ) --> ( EE
`  N )  /\  A. j  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) A. k  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  j
)  =  ( F `
 k )  -> 
j  =  k ) ) )
8710, 85, 86sylanbrc 668 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  F :
( 1 ... ( N  -  1 ) ) -1-1-> ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434   ifcif 3909   {csn 3996   <.cop 4002    |-> cmpt 4479    X. cxp 4848   -->wf 5594   -1-1->wf1 5595   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    - cmin 9861   -ucneg 9862   NNcn 10610   3c3 10661   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785   EEcee 24905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-ee 24908
This theorem is referenced by:  axlowdim  24978
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