MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem10 Structured version   Unicode version

Theorem axlowdimlem10 23116
Description: Lemma for axlowdim 23126. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem10
StepHypRef Expression
1 ovex 6115 . . . . . . . . 9  |-  ( I  +  1 )  e. 
_V
2 1ex 9377 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
31, 2f1osn 5675 . . . . . . . 8  |-  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } -1-1-onto-> { 1 }
4 f1of 5638 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  +  1 ) } -1-1-onto-> { 1 }  ->  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 } )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 }
6 c0ex 9376 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
76fconst 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) --> { 0 }
85, 7pm3.2i 452 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  +  1 ) } --> { 1 }  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) --> { 0 } )
9 disjdif 3748 . . . . . 6  |-  ( { ( I  +  1 ) }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) )  =  (/)
10 fun 5572 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 }  /\  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) --> { 0 } )  /\  ( { ( I  + 
1 ) }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. ( I  + 
1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } ) )
118, 9, 10mp2an 667 . . . . 5  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } )
12 axlowdimlem10.1 . . . . . 6  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1312feq1i 5548 . . . . 5  |-  ( Q : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } )  <->  ( { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } ) )
1411, 13mpbir 209 . . . 4  |-  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  { 0 } )
15 1re 9381 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
16 snssi 4014 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  C_  RR )
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 1 }  C_  RR
18 0re 9382 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
19 snssi 4014 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 0 }  C_  RR
2117, 20unssi 3528 . . . 4  |-  ( { 1 }  u.  {
0 } )  C_  RR
22 fss 5564 . . . 4  |-  ( ( Q : ( { ( I  +  1 ) }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  { 0 } )  /\  ( { 1 }  u.  { 0 } )  C_  RR )  ->  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR )
2314, 21, 22mp2an 667 . . 3  |-  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR
24 fznatpl1 11506 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
2524snssd 4015 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  { ( I  +  1 ) } 
C_  ( 1 ... N ) )
26 undif 3756 . . . . 5  |-  ( { ( I  +  1 ) }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
( I  +  1 ) }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) )  =  ( 1 ... N
) )
2725, 26sylib 196 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) )  =  ( 1 ... N ) )
2827feq2d 5544 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR  <->  Q :
( 1 ... N
) --> RR ) )
2923, 28mpbii 211 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q : ( 1 ... N ) --> RR )
30 elee 23059 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( EE `  N )  <->  Q :
( 1 ... N
) --> RR ) )
3130adantr 462 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( Q  e.  ( EE `  N
)  <->  Q : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3229, 31mpbird 232 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   <.cop 3880    X. cxp 4834   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    - cmin 9591   NNcn 10318   ...cfz 11433   EEcee 23053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-ee 23056
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  23120  axlowdimlem15  23121  axlowdimlem16  23122  axlowdimlem17  23123
  Copyright terms: Public domain W3C validator