Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axlowdimlem10 Unicode version

Theorem axlowdimlem10 25794
Description: Lemma for axlowdim 25804. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem10
StepHypRef Expression
1 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( I  +  1 )  e. 
_V
2 1ex 9042 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
31, 2f1osn 5674 . . . . . . . 8  |-  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } -1-1-onto-> { 1 }
4 f1of 5633 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  +  1 ) } -1-1-onto-> { 1 }  ->  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 } )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 }
6 c0ex 9041 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
76fconst 5588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) --> { 0 }
85, 7pm3.2i 442 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  +  1 ) } --> { 1 }  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) --> { 0 } )
9 disjdif 3660 . . . . . 6  |-  ( { ( I  +  1 ) }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) )  =  (/)
10 fun 5566 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 }  /\  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) --> { 0 } )  /\  ( { ( I  + 
1 ) }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. ( I  + 
1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } ) )
118, 9, 10mp2an 654 . . . . 5  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } )
12 axlowdimlem10.1 . . . . . 6  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1312feq1i 5544 . . . . 5  |-  ( Q : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } )  <->  ( { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } ) )
1411, 13mpbir 201 . . . 4  |-  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  { 0 } )
15 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
16 snssi 3902 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  C_  RR )
1715, 16ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 1 }  C_  RR
18 0re 9047 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
19 snssi 3902 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
2018, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 0 }  C_  RR
2117, 20unssi 3482 . . . 4  |-  ( { 1 }  u.  {
0 } )  C_  RR
22 fss 5558 . . . 4  |-  ( ( Q : ( { ( I  +  1 ) }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  { 0 } )  /\  ( { 1 }  u.  { 0 } )  C_  RR )  ->  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR )
2314, 21, 22mp2an 654 . . 3  |-  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR
24 fznatpl1 25151 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
2524snssd 3903 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  { ( I  +  1 ) } 
C_  ( 1 ... N ) )
26 undif 3668 . . . . 5  |-  ( { ( I  +  1 ) }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
( I  +  1 ) }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) )  =  ( 1 ... N
) )
2725, 26sylib 189 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) )  =  ( 1 ... N ) )
2827feq2d 5540 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR  <->  Q :
( 1 ... N
) --> RR ) )
2923, 28mpbii 203 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q : ( 1 ... N ) --> RR )
30 elee 25737 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( EE `  N )  <->  Q :
( 1 ... N
) --> RR ) )
3130adantr 452 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( Q  e.  ( EE `  N
)  <->  Q : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3229, 31mpbird 224 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777    X. cxp 4835   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   NNcn 9956   ...cfz 10999   EEcee 25731
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  25798  axlowdimlem15  25799  axlowdimlem16  25800  axlowdimlem17  25801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-ee 25734
  Copyright terms: Public domain W3C validator