MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem10 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axlowdimlem10 25060
Description: Lemma for axlowdim 25070. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )

Proof of Theorem axlowdimlem10
StepHypRef Expression
1 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( I  +  1 )  e. 
_V
2 1ex 9656 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
31, 2f1osn 5866 . . . . . . . 8  |-  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } -1-1-onto-> { 1 }
4 f1of 5828 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  +  1 ) } -1-1-onto-> { 1 }  ->  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 } )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 }
6 c0ex 9655 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
76fconst 5782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) --> { 0 }
85, 7pm3.2i 462 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  +  1 ) } --> { 1 }  /\  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) : ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) --> { 0 } )
9 disjdif 3830 . . . . . 6  |-  ( { ( I  +  1 ) }  i^i  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) )  =  (/)
10 fun 5758 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. } : { ( I  + 
1 ) } --> { 1 }  /\  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) : ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) --> { 0 } )  /\  ( { ( I  + 
1 ) }  i^i  ( ( 1 ... N )  \  {
( I  +  1 ) } ) )  =  (/) )  ->  ( { <. ( I  + 
1 ) ,  1
>. }  u.  ( ( ( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } ) )
118, 9, 10mp2an 686 . . . . 5  |-  ( {
<. ( I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } )
12 axlowdimlem10.1 . . . . . 6  |-  Q  =  ( { <. (
I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } )  X.  { 0 } ) )
1312feq1i 5730 . . . . 5  |-  ( Q : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } )  <->  ( { <. ( I  +  1 ) ,  1 >. }  u.  ( (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } )  X.  {
0 } ) ) : ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  {
0 } ) )
1411, 13mpbir 214 . . . 4  |-  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  { 0 } )
15 1re 9660 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
16 snssi 4107 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR  ->  { 1 }  C_  RR )
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 1 }  C_  RR
18 0re 9661 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
19 snssi 4107 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  { 0 }  C_  RR )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 0 }  C_  RR
2117, 20unssi 3600 . . . 4  |-  ( { 1 }  u.  {
0 } )  C_  RR
22 fss 5749 . . . 4  |-  ( ( Q : ( { ( I  +  1 ) }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) ) --> ( { 1 }  u.  { 0 } )  /\  ( { 1 }  u.  { 0 } )  C_  RR )  ->  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR )
2314, 21, 22mp2an 686 . . 3  |-  Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR
24 fznatpl1 11876 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( I  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
2524snssd 4108 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  { ( I  +  1 ) } 
C_  ( 1 ... N ) )
26 undif 3839 . . . . 5  |-  ( { ( I  +  1 ) }  C_  (
1 ... N )  <->  ( {
( I  +  1 ) }  u.  (
( 1 ... N
)  \  { (
I  +  1 ) } ) )  =  ( 1 ... N
) )
2725, 26sylib 201 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N ) 
\  { ( I  +  1 ) } ) )  =  ( 1 ... N ) )
2827feq2d 5725 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( Q :
( { ( I  +  1 ) }  u.  ( ( 1 ... N )  \  { ( I  + 
1 ) } ) ) --> RR  <->  Q :
( 1 ... N
) --> RR ) )
2923, 28mpbii 216 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q : ( 1 ... N ) --> RR )
30 elee 25003 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( EE `  N )  <->  Q :
( 1 ... N
) --> RR ) )
3130adantr 472 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( Q  e.  ( EE `  N
)  <->  Q : ( 1 ... N ) --> RR ) )
3229, 31mpbird 240 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965    X. cxp 4837   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    - cmin 9880   NNcn 10631   ...cfz 11810   EEcee 24997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-ee 25000
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  25064  axlowdimlem15  25065  axlowdimlem16  25066  axlowdimlem17  25067
  Copyright terms: Public domain W3C validator