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Theorem axinfprim 30341
Description: ax-inf 8152 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axinfprim  |-  -.  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  (
y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) )

Proof of Theorem axinfprim
StepHypRef Expression
1 axinfnd 9038 . 2  |-  E. x
( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
2 df-an 372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) )
32exbii 1712 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  E. z  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) )
4 exnal 1693 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x )  <->  -. 
A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x )
)
53, 4bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) )
65imbi2i 313 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) )  <->  ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) )
76albii 1685 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x
) ) )
87anbi2i 698 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )  <->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x
) ) ) )
9 df-an 372 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) )  <->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x )
) ) )
108, 9bitri 252 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )  <->  -.  (
y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) )
1110imbi2i 313 . . . 4  |-  ( ( y  e.  z  -> 
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )  <-> 
( y  e.  z  ->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) ) )
1211exbii 1712 . . 3  |-  ( E. x ( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )  <->  E. x ( y  e.  z  ->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x )
) ) ) )
13 df-ex 1658 . . 3  |-  ( E. x ( y  e.  z  ->  -.  (
y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) ) )
1412, 13bitri 252 . 2  |-  ( E. x ( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z
( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) ) )
151, 14mpbi 211 1  |-  -.  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  (
y  e.  x  ->  -.  A. y ( y  e.  x  ->  -.  A. z ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660  ax-reg 8116  ax-inf 8152
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-nul 3762  df-sn 3999  df-pr 4001
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