Theorem axinfprim 13790

Description: ax-inf 5728 without distinct variable conditions or defined symbols.

Assertion

Ref	Expression
axinfprim	|- -. A.x -. (y e. z -> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x))))

Proof of Theorem axinfprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinfnd 6110	. 2 |- E.x(y e. z -> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
2		df-an 242	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. z /\ z e. x) <-> -. (y e. z -> -. z e. x))
3	2	exbii 1398	. . . . . . . . . 10 |- (E.z(y e. z /\ z e. x) <-> E.z -. (y e. z -> -. z e. x))
4		exnal 1385	. . . . . . . . . 10 |- (E.z -. (y e. z -> -. z e. x) <-> -. A.z(y e. z -> -. z e. x))
5	3, 4	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- (E.z(y e. z /\ z e. x) <-> -. A.z(y e. z -> -. z e. x))
6	5	imbi2i 202	. . . . . . . 8 |- ((y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x)))
7	6	albii 1346	. . . . . . 7 |- (A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)) <-> A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x)))
8	7	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))) <-> (y e. x /\ A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x))))
9		df-an 242	. . . . . 6 |- ((y e. x /\ A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x))) <-> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x))))
10	8, 9	bitri 190	. . . . 5 |- ((y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))) <-> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x))))
11	10	imbi2i 202	. . . 4 |- ((y e. z -> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))) <-> (y e. z -> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x)))))
12	11	exbii 1398	. . 3 |- (E.x(y e. z -> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))) <-> E.x(y e. z -> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x)))))
13		df-ex 1327	. . 3 |- (E.x(y e. z -> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x)))) <-> -. A.x -. (y e. z -> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x)))))
14	12, 13	bitri 190	. 2 |- (E.x(y e. z -> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))) <-> -. A.x -. (y e. z -> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x)))))
15	1, 14	mpbi 206	1 |- -. A.x -. (y e. z -> -. (y e. x -> -. A.y(y e. x -> -. A.z(y e. z -> -. z e. x))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695  ax-inf 5728

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

Copyright terms: Public domain