Theorem axinfndlem1 9061

Description: Lemma for the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axinfndlem1	|- ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )

Distinct variable group:   y, z

Proof of Theorem axinfndlem1

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf 8175	. . . . 5 |- E. w ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) )
2		nfnae 2163	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. x x = y
3		nfnae 2163	. . . . . . 7 |- F/ x -. A. x x = z
4	2, 3	nfan 2022	. . . . . 6 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
5		nfcvf 2626	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> F/_ x y )
6	5	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x y )
7		nfcvd 2604	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x w )
8	6, 7	nfeld 2611	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y e. w )
9		nfnae 2163	. . . . . . . . 9 |- F/ y -. A. x x = y
10		nfnae 2163	. . . . . . . . 9 |- F/ y -. A. x x = z
11	9, 10	nfan 2022	. . . . . . . 8 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
12		nfnae 2163	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z -. A. x x = y
13		nfnae 2163	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z -. A. x x = z
14	12, 13	nfan 2022	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
15		nfcvf 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. x x = z -> F/_ x z )
16	15	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x z )
17	6, 16	nfeld 2611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y e. z )
18	16, 7	nfeld 2611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x z e. w )
19	17, 18	nfand 2019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( y e. z /\ z e. w ) )
20	14, 19	nfexd 2046	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x E. z ( y e. z /\ z e. w ) )
21	8, 20	nfimd 2011	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) )
22	11, 21	nfald 2045	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) )
23	8, 22	nfand 2019	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) ) )
24		simpr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> w = x )
25	24	eleq2d 2525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( y e. w <-> y e. x ) )
26		nfcvd 2604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ y w )
27		nfcvf2 2627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y x )
28	27	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ y x )
29	26, 28	nfeqd 2610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ y w = x )
30	11, 29	nfan1 2021	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x )
31		nfcvd 2604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ z w )
32		nfcvf2 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = z -> F/_ z x )
33	32	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ z x )
34	31, 33	nfeqd 2610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ z w = x )
35	14, 34	nfan1 2021	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x )
36		elequ2 1912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( z e. w <-> z e. x ) )
37	36	anbi2d 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( ( y e. z /\ z e. w ) <-> ( y e. z /\ z e. x ) ) )
38	37	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( y e. z /\ z e. w ) <-> ( y e. z /\ z e. x ) ) )
39	35, 38	exbid 1975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( E. z ( y e. z /\ z e. w ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )
40	25, 39	imbi12d 326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) <-> ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
41	30, 40	albid 1974	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
42	25, 41	anbi12d 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
43	42	ex 440	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
44	4, 23, 43	cbvexd 2130	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w ( y e. w /\ A. y ( y e. w -> E. z ( y e. z /\ z e. w ) ) ) <-> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
45	1, 44	mpbii 216	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
46	45	a1d 26	. . 3 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
47	46	ex 440	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
48		nd1 9043	. . 3 |- ( A. x x = y -> -. A. x y e. z )
49	48	pm2.21d 110	. 2 |- ( A. x x = y -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
50		nd2 9044	. . 3 |- ( A. x x = z -> -. A. x y e. z )
51	50	pm2.21d 110	. 2 |- ( A. x x = z -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
52	47, 49, 51	pm2.61ii 170	1 |- ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1453   E.wex 1674   F/_wnfc 2590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656  ax-reg 8138  ax-inf 8174

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-nul 3744  df-sn 3981  df-pr 3983

This theorem is referenced by:  axinfnd  9062