Theorem axinfndlem1 6109

Description: Lemma for the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axinfndlem1	|- (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))

Distinct variable group:   y,z

Proof of Theorem axinfndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf 5729	. . . . 5 |- E.w(y e. w /\ A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)))
2	1	a1i 8	. . . 4 |- (A.w y e. z -> E.w(y e. w /\ A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w))))
3		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> A.x -. A.x x = y)
4		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = z -> A.x -. A.x x = z)
5	3, 4	hban 1356	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.x(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
6		ax-15 1751	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> (-. A.x x = z -> (y e. z -> A.x y e. z)))
7	6	imp 377	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (y e. z -> A.x y e. z))
8		biidd 188	. . . . . . 7 |- (w = x -> (y e. z <-> y e. z))
9	8	a1i 8	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> (y e. z <-> y e. z)))
10	5, 7, 9	cbvald 1702	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (A.w y e. z <-> A.x y e. z))
11		dveel1 1747	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> (y e. w -> A.x y e. w))
12	11	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (y e. w -> A.x y e. w))
13		hbnae 1507	. . . . . . . . 9 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
14		hbnae 1507	. . . . . . . . 9 |- (-. A.x x = z -> A.y -. A.x x = z)
15	13, 14	hban 1356	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.y(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
16		hbnae 1507	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> A.z -. A.x x = y)
17		hbnae 1507	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = z -> A.z -. A.x x = z)
18	16, 17	hban 1356	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.z(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
19		dveel1 1747	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = z -> (z e. w -> A.x z e. w))
20	19	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (z e. w -> A.x z e. w))
21	7, 20	hband 1469	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((y e. z /\ z e. w) -> A.x(y e. z /\ z e. w)))
22	18, 21	hbexd 1472	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.z(y e. z /\ z e. w) -> A.xE.z(y e. z /\ z e. w)))
23	5, 12, 22	hbimd 1468	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)) -> A.x(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w))))
24	15, 23	hbald 1471	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)) -> A.xA.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w))))
25	12, 24	hband 1469	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((y e. w /\ A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w))) -> A.x(y e. w /\ A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)))))
26		elequ2 1497	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> (y e. w <-> y e. x))
27	26	adantl 424	. . . . . . . 8 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> (y e. w <-> y e. x))
28		nd5 6094	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> (w = x -> A.y w = x))
29	28	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> A.y w = x))
30	29	imdistani 491	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x))
31		hba1 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y w = x -> A.yA.y w = x)
32	14, 31	hban 1356	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = z /\ A.y w = x) -> A.y(-. A.x x = z /\ A.y w = x))
33	26	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (y e. w <-> y e. x))
34		nd5 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.x x = z -> (w = x -> A.z w = x))
35	34	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (-. A.x x = z /\ A.z w = x))
36		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.z w = x -> A.zA.z w = x)
37		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w = x -> (z e. w <-> z e. x))
38	37	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = x -> ((y e. z /\ z e. w) <-> (y e. z /\ z e. x)))
39	38	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.z w = x -> ((y e. z /\ z e. w) <-> (y e. z /\ z e. x)))
40	36, 39	exbid 1460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.z w = x -> (E.z(y e. z /\ z e. w) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
41	40	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.x x = z /\ A.z w = x) -> (E.z(y e. z /\ z e. w) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
42	35, 41	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (E.z(y e. z /\ z e. w) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
43	33, 42	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> ((y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
44		ax-4 1319	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y w = x -> w = x)
45	43, 44	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = z /\ A.y w = x) -> ((y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
46	32, 45	albid 1459	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = z /\ A.y w = x) -> (A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)) <-> A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
47	46	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x) -> (A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)) <-> A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
48	30, 47	syl 12	. . . . . . . 8 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> (A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)) <-> A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
49	27, 48	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> ((y e. w /\ A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w))) <-> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
50	49	ex 402	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> ((y e. w /\ A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w))) <-> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))))
51	5, 25, 50	cbvexd 1704	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.w(y e. w /\ A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w))) <-> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
52	10, 51	imbi12d 688	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((A.w y e. z -> E.w(y e. w /\ A.y(y e. w -> E.z(y e. z /\ z e. w)))) <-> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))))
53	2, 52	mpbii 210	. . 3 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
54	53	ex 402	. 2 |- (-. A.x x = y -> (-. A.x x = z -> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))))
55		nd1 6090	. . 3 |- (A.x x = y -> -. A.x y e. z)
56	55	pm2.21d 94	. 2 |- (A.x x = y -> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
57		nd2 6091	. . 3 |- (A.x x = z -> -. A.x y e. z)
58	57	pm2.21d 94	. 2 |- (A.x x = z -> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
59	54, 56, 58	pm2.61ii 144	1 |- (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  axinfnd 6110

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695  ax-inf 5728

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

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