Theorem axinfnd 8773

Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axinfnd	|- E. x ( y e. z -> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )

Proof of Theorem axinfnd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinfndlem1 8772	. . . . . . 7 |- ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) )
2	1	ax-gen 1591	. . . . . 6 |- A. w ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) )
3		nfnae 2005	. . . . . . . 8 |- F/ y -. A. y y = x
4		nfnae 2005	. . . . . . . 8 |- F/ y -. A. y y = z
5	3, 4	nfan 1861	. . . . . . 7 |- F/ y ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z )
6		nfnae 2005	. . . . . . . . . 10 |- F/ x -. A. y y = x
7		nfnae 2005	. . . . . . . . . 10 |- F/ x -. A. y y = z
8	6, 7	nfan 1861	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z )
9		nfcvd 2580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ y w )
10		nfcvf 2601	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. y y = z -> F/_ y z )
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ y z )
12	9, 11	nfeld 2594	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y w e. z )
13	8, 12	nfald 1877	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y A. x w e. z )
14		nfcvf 2601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ y x )
16	9, 15	nfeld 2594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y w e. x )
17		nfnae 2005	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ w -. A. y y = x
18		nfnae 2005	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ w -. A. y y = z
19	17, 18	nfan 1861	. . . . . . . . . . 11 |- F/ w ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z )
20		nfnae 2005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z -. A. y y = x
21		nfnae 2005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z -. A. y y = z
22	20, 21	nfan 1861	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z )
23	11, 15	nfeld 2594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y z e. x )
24	12, 23	nfand 1858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y ( w e. z /\ z e. x ) )
25	22, 24	nfexd 1878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y E. z ( w e. z /\ z e. x ) )
26	16, 25	nfimd 1850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) )
27	19, 26	nfald 1877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) )
28	16, 27	nfand 1858	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) )
29	8, 28	nfexd 1878	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) )
30	13, 29	nfimd 1850	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ y ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
31		nfcvd 2580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ x w )
32		nfcvf2 2602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. y y = x -> F/_ x y )
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ x y )
34	31, 33	nfeqd 2593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ x w = y )
35	8, 34	nfan1 1860	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y )
36		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> w = y )
37	36	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( w e. z <-> y e. z ) )
38	35, 37	albid 1819	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( A. x w e. z <-> A. x y e. z ) )
39	36	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( w e. x <-> y e. x ) )
40		nfcvd 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ z w )
41		nfcvf2 2602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. A. y y = z -> F/_ z y )
42	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/_ z y )
43	40, 42	nfeqd 2593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> F/ z w = y )
44	22, 43	nfan1 1860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y )
45	37	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( ( w e. z /\ z e. x ) <-> ( y e. z /\ z e. x ) ) )
46	44, 45	exbid 1820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( E. z ( w e. z /\ z e. x ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) )
47	39, 46	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
48	47	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( w = y -> ( ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
49	5, 26, 48	cbvald 1973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
51	39, 50	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
52	35, 51	exbid 1820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) <-> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
53	38, 52	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) /\ w = y ) -> ( ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
54	53	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( w = y -> ( ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) ) )
55	5, 30, 54	cbvald 1973	. . . . . 6 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( A. w ( A. x w e. z -> E. x ( w e. x /\ A. w ( w e. x -> E. z ( w e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> A. y ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
56	2, 55	mpbii 211	. . . . 5 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> A. y ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
57	56	19.21bi 1804	. . . 4 |- ( ( -. A. y y = x /\ -. A. y y = z ) -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
58	57	ex 434	. . 3 |- ( -. A. y y = x -> ( -. A. y y = z -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) ) )
59		nd1 8751	. . . . 5 |- ( A. x x = y -> -. A. x y e. z )
60	59	aecoms 1999	. . . 4 |- ( A. y y = x -> -. A. x y e. z )
61	60	pm2.21d 106	. . 3 |- ( A. y y = x -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
62		nd3 8753	. . . 4 |- ( A. y y = z -> -. A. x y e. z )
63	62	pm2.21d 106	. . 3 |- ( A. y y = z -> ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) )
64	58, 61, 63	pm2.61ii 165	. 2 |- ( A. x y e. z -> E. x ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
65	64	19.35ri 1657	1 |- E. x ( y e. z -> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   E.wex 1586   F/_wnfc 2566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531  ax-reg 7807  ax-inf 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-nul 3638  df-sn 3878  df-pr 3880

This theorem is referenced by:  zfcndinf  8785  axinfprim  27357