Theorem axinfnd 6110

Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axinfnd	|- E.x(y e. z -> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))

Proof of Theorem axinfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinfndlem1 6109	. . . . . . 7 |- (A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
2	1	ax-gen 1305	. . . . . 6 |- A.w(A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
3		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = x -> A.y -. A.y y = x)
4		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
5	3, 4	hban 1356	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.y(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
6		hbnae 1507	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
7		dveel2 1748	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> (w e. z -> A.y w e. z))
8	6, 7	hbald 1471	. . . . . . . . 9 |- (-. A.y y = z -> (A.x w e. z -> A.yA.x w e. z))
9	8	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.x w e. z -> A.yA.x w e. z))
10		hbnae 1507	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = x -> A.x -. A.y y = x)
11	10, 6	hban 1356	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.x(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
12		dveel2 1748	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = x -> (w e. x -> A.y w e. x))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w e. x -> A.y w e. x))
14		ax-17 1317	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.w(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
15		hbnae 1507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = x -> A.z -. A.y y = x)
16		hbnae 1507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = z -> A.z -. A.y y = z)
17	15, 16	hban 1356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.z(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
18	7	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w e. z -> A.y w e. z))
19		ax-15 1751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = z -> (-. A.y y = x -> (z e. x -> A.y z e. x)))
20	19	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (z e. x -> A.y z e. x))
21	18, 20	hband 1469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. z /\ z e. x) -> A.y(w e. z /\ z e. x)))
22	17, 21	hbexd 1472	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) -> A.yE.z(w e. z /\ z e. x)))
23	5, 13, 22	hbimd 1468	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) -> A.y(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
24	14, 23	hbald 1471	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) -> A.yA.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
25	13, 24	hband 1469	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) -> A.y(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))))
26	11, 25	hbexd 1472	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) -> A.yE.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))))
27	5, 9, 26	hbimd 1468	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))) -> A.y(A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))))
28		nd5 6094	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = x -> (w = y -> A.x w = y))
29	28	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> A.x w = y))
30	29	imdistani 491	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y))
31		hba1 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> A.xA.x w = y)
32		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (w e. z <-> y e. z))
33	32	a4s 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> (w e. z <-> y e. z))
34	31, 33	albid 1459	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x w = y -> (A.x w e. z <-> A.x y e. z))
35	34	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (A.x w e. z <-> A.x y e. z))
36	11, 31	hban 1356	. . . . . . . . . . 11 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> A.x((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y))
37		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
38	37	a4s 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> (w e. x <-> y e. x))
39	37	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (w e. x <-> y e. x))
40		nd5 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (-. A.y y = z -> (w = y -> A.z w = y))
41	40	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (-. A.y y = z /\ A.z w = y))
42		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z w = y -> A.zA.z w = y)
43	32	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = y -> ((w e. z /\ z e. x) <-> (y e. z /\ z e. x)))
44	43	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z w = y -> ((w e. z /\ z e. x) <-> (y e. z /\ z e. x)))
45	42, 44	exbid 1460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.z w = y -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
46	45	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = z /\ A.z w = y) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
47	41, 46	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
48	39, 47	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
49	48	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
50	49	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
51	5, 23, 50	cbvald 1702	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
52	38, 51	bi2anan9r 695	. . . . . . . . . . 11 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> ((w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) <-> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
53	36, 52	exbid 1460	. . . . . . . . . 10 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) <-> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
54	35, 53	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> ((A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))) <-> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))))
55	30, 54	syl 12	. . . . . . . 8 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))) <-> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))))
56	55	ex 402	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> ((A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))) <-> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))))
57	5, 27, 56	cbvald 1702	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))) <-> A.y(A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))))
58	2, 57	mpbii 210	. . . . 5 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.y(A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
59	58	19.21bi 1408	. . . 4 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
60	59	ex 402	. . 3 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))))
61		nd1 6090	. . . . 5 |- (A.x x = y -> -. A.x y e. z)
62	61	alequcoms 1503	. . . 4 |- (A.y y = x -> -. A.x y e. z)
63	62	pm2.21d 94	. . 3 |- (A.y y = x -> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
64		nd3 6092	. . . 4 |- (A.y y = z -> -. A.x y e. z)
65	64	pm2.21d 94	. . 3 |- (A.y y = z -> (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
66	60, 63, 65	pm2.61ii 144	. 2 |- (A.x y e. z -> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
67	66	19.35ri 1428	1 |- E.x(y e. z -> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  zfcndinf 6122  axinfprim 13790

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695  ax-inf 5728

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

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