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Theorem axinfnd 9038
Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axinfnd  |-  E. x
( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )

Proof of Theorem axinfnd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axinfndlem1 9037 . . . . . . 7  |-  ( A. x  w  e.  z  ->  E. x ( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
21ax-gen 1663 . . . . . 6  |-  A. w
( A. x  w  e.  z  ->  E. x
( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
3 nfnae 2117 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
4 nfnae 2117 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
53, 4nfan 1988 . . . . . . 7  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
6 nfnae 2117 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
7 nfnae 2117 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
86, 7nfan 1988 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
9 nfcvd 2581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y w )
10 nfcvf 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
1110adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y z )
129, 11nfeld 2588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  w  e.  z )
138, 12nfald 2011 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y A. x  w  e.  z )
14 nfcvf 2605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
1514adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y x )
169, 15nfeld 2588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  w  e.  x )
17 nfnae 2117 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  x
18 nfnae 2117 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  z
1917, 18nfan 1988 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w
( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
20 nfnae 2117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  x
21 nfnae 2117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
2220, 21nfan 1988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
2311, 15nfeld 2588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y 
z  e.  x )
2412, 23nfand 1985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) )
2522, 24nfexd 2012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) )
2616, 25nfimd 1977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )
2719, 26nfald 2011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )
2816, 27nfand 1985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
298, 28nfexd 2012 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y E. x ( w  e.  x  /\  A. w
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
3013, 29nfimd 1977 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( A. x  w  e.  z  ->  E. x
( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
31 nfcvd 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ x w )
32 nfcvf2 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ x y )
3332adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ x y )
3431, 33nfeqd 2587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ x  w  =  y )
358, 34nfan1 1987 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )
36 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  ->  w  =  y )
3736eleq1d 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  z  <-> 
y  e.  z ) )
3835, 37albid 1940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( A. x  w  e.  z  <->  A. x  y  e.  z )
)
3936eleq1d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
40 nfcvd 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z w )
41 nfcvf2 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z y )
4340, 42nfeqd 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  w  =  y )
4422, 43nfan1 1987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )
4537anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( w  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )
4644, 45exbid 1941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )
4739, 46imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) )  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
4847ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( w  =  y  ->  ( ( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) )  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
495, 26, 48cbvald 2083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( A. w ( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
5139, 50anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( w  e.  x  /\  A. w
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )  <-> 
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
5235, 51exbid 1941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( E. x ( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )  <->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
5338, 52imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( A. x  w  e.  z  ->  E. x ( w  e.  x  /\  A. w
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )  <->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) ) ) )
5453ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( w  =  y  ->  ( ( A. x  w  e.  z  ->  E. x
( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )  <-> 
( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) ) ) )
555, 30, 54cbvald 2083 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. w ( A. x  w  e.  z  ->  E. x ( w  e.  x  /\  A. w
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )  <->  A. y ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) ) )
562, 55mpbii 214 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. y
( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
575619.21bi 1924 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
5857ex 435 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) ) ) )
59 nd1 9019 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
6059aecoms 2111 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  -.  A. x  y  e.  z )
6160pm2.21d 109 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
62 nd3 9021 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. x  y  e.  z )
6362pm2.21d 109 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
6458, 61, 63pm2.61ii 168 . 2  |-  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
656419.35ri 1736 1  |-  E. x
( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657   F/_wnfc 2566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660  ax-reg 8116  ax-inf 8152
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-nul 3762  df-sn 3999  df-pr 4001
This theorem is referenced by:  zfcndinf  9050  axinfprim  30341
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