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Theorem axinfnd 9013
Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 5-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axinfnd  |-  E. x
( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )

Proof of Theorem axinfnd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axinfndlem1 9012 . . . . . . 7  |-  ( A. x  w  e.  z  ->  E. x ( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
21ax-gen 1639 . . . . . 6  |-  A. w
( A. x  w  e.  z  ->  E. x
( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
3 nfnae 2084 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
4 nfnae 2084 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
53, 4nfan 1956 . . . . . . 7  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
6 nfnae 2084 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
7 nfnae 2084 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
86, 7nfan 1956 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
9 nfcvd 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y w )
10 nfcvf 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
1110adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y z )
129, 11nfeld 2572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  w  e.  z )
138, 12nfald 1979 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y A. x  w  e.  z )
14 nfcvf 2589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
1514adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y x )
169, 15nfeld 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  w  e.  x )
17 nfnae 2084 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  x
18 nfnae 2084 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  z
1917, 18nfan 1956 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w
( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
20 nfnae 2084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  x
21 nfnae 2084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
2220, 21nfan 1956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
2311, 15nfeld 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y 
z  e.  x )
2412, 23nfand 1953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) )
2522, 24nfexd 1980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) )
2616, 25nfimd 1945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )
2719, 26nfald 1979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )
2816, 27nfand 1953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
298, 28nfexd 1980 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y E. x ( w  e.  x  /\  A. w
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
3013, 29nfimd 1945 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( A. x  w  e.  z  ->  E. x
( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
31 nfcvd 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ x w )
32 nfcvf2 2590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ x y )
3332adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ x y )
3431, 33nfeqd 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ x  w  =  y )
358, 34nfan1 1955 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )
36 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  ->  w  =  y )
3736eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  z  <-> 
y  e.  z ) )
3835, 37albid 1909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( A. x  w  e.  z  <->  A. x  y  e.  z )
)
3936eleq1d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
40 nfcvd 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z w )
41 nfcvf2 2590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
4241adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z y )
4340, 42nfeqd 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  w  =  y )
4422, 43nfan1 1955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )
4537anbi1d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( w  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )
4644, 45exbid 1910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x )  <->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )
4739, 46imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) )  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
4847ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( w  =  y  ->  ( ( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) )  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
495, 26, 48cbvald 2052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( A. w ( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
5139, 50anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( w  e.  x  /\  A. w
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) )  <-> 
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
5235, 51exbid 1910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( E. x ( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )  <->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
5338, 52imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( A. x  w  e.  z  ->  E. x ( w  e.  x  /\  A. w
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )  <->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) ) ) )
5453ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( w  =  y  ->  ( ( A. x  w  e.  z  ->  E. x
( w  e.  x  /\  A. w ( w  e.  x  ->  E. z
( w  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )  <-> 
( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) ) ) )
555, 30, 54cbvald 2052 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. w ( A. x  w  e.  z  ->  E. x ( w  e.  x  /\  A. w
( w  e.  x  ->  E. z ( w  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )  <->  A. y ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) ) )
562, 55mpbii 211 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. y
( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
575619.21bi 1893 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
5857ex 432 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) ) ) )
59 nd1 8993 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
6059aecoms 2078 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  -.  A. x  y  e.  z )
6160pm2.21d 106 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
62 nd3 8995 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. x  y  e.  z )
6362pm2.21d 106 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) ) )
6458, 61, 63pm2.61ii 165 . 2  |-  ( A. x  y  e.  z  ->  E. x ( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) ) )
656419.35ri 1711 1  |-  E. x
( y  e.  z  ->  ( y  e.  x  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1403   E.wex 1633   F/_wnfc 2550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-reg 8051  ax-inf 8087
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-nul 3738  df-sn 3972  df-pr 3974
This theorem is referenced by:  zfcndinf  9025  axinfprim  29894
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