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Theorem axinf2 8163
Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 8161 and Regularity ax-reg 8125.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 8164 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion
Ref Expression
axinf2  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem axinf2
StepHypRef Expression
1 peano1 6731 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 peano2 6732 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
32ax-gen 1677 . . 3  |-  A. y
( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
4 zfinf 8162 . . . . . 6  |-  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )
54inf2 8146 . . . . 5  |-  E. x
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )
65inf3 8158 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 eleq2 2538 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  om ) )
8 eleq2 2538 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  om ) )
9 eleq2 2538 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( suc  y  e.  x  <->  suc  y  e.  om )
)
108, 9imbi12d 327 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
)  <->  ( y  e. 
om  ->  suc  y  e.  om ) ) )
1110albidv 1775 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om ) ) )
127, 11anbi12d 725 . . . 4  |-  ( x  =  om  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )  <->  ( (/)  e.  om  /\ 
A. y ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
) ) )
136, 12spcev 3127 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  A. y ( y  e. 
om  ->  suc  y  e.  om ) )  ->  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) ) )
141, 3, 13mp2an 686 . 2  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )
15 0el 3740 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y )
16 df-rex 2762 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
) )
1715, 16bitri 257 . . . 4  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y ) )
18 sucel 5503 . . . . . . 7  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z  e.  x  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )
19 df-rex 2762 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) )  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
2018, 19bitri 257 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
2120imbi2i 319 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
)  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2221albii 1699 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2317, 22anbi12i 711 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )  <->  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
2423exbii 1726 . 2  |-  ( E. x ( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )
)  <->  E. x ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
2514, 24mpbi 213 1  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E.wrex 2757   (/)c0 3722   suc csuc 5432   omcom 6711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf 8161
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146
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