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Theorem axinf2 8010
Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 8008 and Regularity ax-reg 7972.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 8011 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion
Ref Expression
axinf2  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem axinf2
StepHypRef Expression
1 peano1 6657 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 peano2 6658 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
32ax-gen 1639 . . 3  |-  A. y
( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
4 zfinf 8009 . . . . . 6  |-  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )
54inf2 7993 . . . . 5  |-  E. x
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )
65inf3 8005 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 eleq2 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  om ) )
8 eleq2 2475 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  om ) )
9 eleq2 2475 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( suc  y  e.  x  <->  suc  y  e.  om )
)
108, 9imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
)  <->  ( y  e. 
om  ->  suc  y  e.  om ) ) )
1110albidv 1734 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om ) ) )
127, 11anbi12d 709 . . . 4  |-  ( x  =  om  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )  <->  ( (/)  e.  om  /\ 
A. y ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
) ) )
136, 12spcev 3150 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  A. y ( y  e. 
om  ->  suc  y  e.  om ) )  ->  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) ) )
141, 3, 13mp2an 670 . 2  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )
15 0el 3755 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y )
16 df-rex 2759 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
) )
1715, 16bitri 249 . . . 4  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y ) )
18 sucel 4894 . . . . . . 7  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z  e.  x  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )
19 df-rex 2759 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) )  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
2018, 19bitri 249 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
2120imbi2i 310 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
)  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2221albii 1661 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2317, 22anbi12i 695 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )  <->  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
2423exbii 1688 . 2  |-  ( E. x ( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )
)  <->  E. x ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
2514, 24mpbi 208 1  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   E.wrex 2754   (/)c0 3737   suc csuc 4823   omcom 6638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-reg 7972  ax-inf 8008
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033
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