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Theorem axinf2 8154
Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 8152 and Regularity ax-reg 8116.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 8155 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)

Assertion
Ref Expression
axinf2  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem axinf2
StepHypRef Expression
1 peano1 6726 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 peano2 6727 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
32ax-gen 1663 . . 3  |-  A. y
( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
4 zfinf 8153 . . . . . 6  |-  E. x
( y  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( y  e.  z  /\  z  e.  x
) ) )
54inf2 8137 . . . . 5  |-  E. x
( x  =/=  (/)  /\  x  C_ 
U. x )
65inf3 8149 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  om ) )
8 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  om ) )
9 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( suc  y  e.  x  <->  suc  y  e.  om )
)
108, 9imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
)  <->  ( y  e. 
om  ->  suc  y  e.  om ) ) )
1110albidv 1761 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om ) ) )
127, 11anbi12d 715 . . . 4  |-  ( x  =  om  ->  (
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )  <->  ( (/)  e.  om  /\ 
A. y ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
) ) )
136, 12spcev 3173 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  A. y ( y  e. 
om  ->  suc  y  e.  om ) )  ->  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) ) )
141, 3, 13mp2an 676 . 2  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )
15 0el 3779 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y )
16 df-rex 2777 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
) )
1715, 16bitri 252 . . . 4  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y ) )
18 sucel 5515 . . . . . . 7  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z  e.  x  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )
19 df-rex 2777 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) )  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
2018, 19bitri 252 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
2120imbi2i 313 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x
)  <->  ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2221albii 1685 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2317, 22anbi12i 701 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x ) )  <->  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
2423exbii 1712 . 2  |-  ( E. x ( (/)  e.  x  /\  A. y ( y  e.  x  ->  suc  y  e.  x )
)  <->  E. x ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
2514, 24mpbi 211 1  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   E.wrex 2772   (/)c0 3761   suc csuc 5444   omcom 6706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-reg 8116  ax-inf 8152
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139
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