Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axinf2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axinf2 8163
 Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 8161 and Regularity ax-reg 8125. This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 8164 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Nov-1996.)
Assertion
Ref Expression
axinf2
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem axinf2
StepHypRef Expression
1 peano1 6731 . . 3
2 peano2 6732 . . . 4
32ax-gen 1677 . . 3
4 zfinf 8162 . . . . . 6
54inf2 8146 . . . . 5
65inf3 8158 . . . 4
7 eleq2 2538 . . . . 5
8 eleq2 2538 . . . . . . 7
9 eleq2 2538 . . . . . . 7
108, 9imbi12d 327 . . . . . 6
1110albidv 1775 . . . . 5
127, 11anbi12d 725 . . . 4
136, 12spcev 3127 . . 3
141, 3, 13mp2an 686 . 2
15 0el 3740 . . . . 5
16 df-rex 2762 . . . . 5
1715, 16bitri 257 . . . 4
18 sucel 5503 . . . . . . 7
19 df-rex 2762 . . . . . . 7
2018, 19bitri 257 . . . . . 6
2120imbi2i 319 . . . . 5
2221albii 1699 . . . 4
2317, 22anbi12i 711 . . 3
2423exbii 1726 . 2
2514, 24mpbi 213 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376  wal 1450   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wrex 2757  c0 3722   csuc 5432  com 6711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf 8161 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator