Theorem axinf2 5730

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 5728 and Regularity ax-reg 5695.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 5731 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified.

Assertion

Ref	Expression
axinf2	|- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3971	. . 3 |- (/) e. om
2		peano2 3972	. . . 4 |- (y e. om -> suc y e. om)
3	2	ax-gen 1305	. . 3 |- A.y(y e. om -> suc y e. om)
4		zfinf 5729	. . . . . 6 |- E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))
5	4	inf2 5714	. . . . 5 |- E.x(x =/= (/) /\ x C_ U.x)
6	5	inf3 5726	. . . 4 |- om e. _V
7		eleq2 1958	. . . . 5 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
8		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- (x = om -> (y e. x <-> y e. om))
9		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
10	8, 9	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (x = om -> ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. om -> suc y e. om)))
11	10	albidv 1656	. . . . 5 |- (x = om -> (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. om -> suc y e. om)))
12	7, 11	anbi12d 690	. . . 4 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> ((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om))))
13	6, 12	cla4ev 2371	. . 3 |- (((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om)) -> E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)))
14	1, 3, 13	mp2an 761	. 2 |- E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x))
15		0el 2891	. . . . 5 |- ((/) e. x <-> E.y e. x A.z -. z e. y)
16		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.y e. x A.z -. z e. y <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
17	15, 16	bitri 190	. . . 4 |- ((/) e. x <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
18		sucel 3738	. . . . . . 7 |- (suc y e. x <-> E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))
19		df-rex 2110	. . . . . . 7 |- (E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)) <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
20	18, 19	bitri 190	. . . . . 6 |- (suc y e. x <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
21	20	imbi2i 202	. . . . 5 |- ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
22	21	albii 1346	. . . 4 |- (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
23	17, 22	anbi12i 540	. . 3 |- (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> (E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
24	23	exbii 1398	. 2 |- (E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
25	14, 24	mpbi 206	1 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106  (/)c0 2875  suc csuc 3659  omcom 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf 5728

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain