MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axicn Structured version   Unicode version

Theorem axicn 9336
Description:  _i is a complex number. Axiom 3 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-icn 9360. (Contributed by NM, 23-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axicn  |-  _i  e.  CC

Proof of Theorem axicn
StepHypRef Expression
1 0r 9266 . 2  |-  0R  e.  R.
2 1sr 9267 . 2  |-  1R  e.  R.
3 df-i 9310 . . . 4  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
43eleq1i 2506 . . 3  |-  ( _i  e.  CC  <->  <. 0R ,  1R >.  e.  CC )
5 opelcn 9315 . . 3  |-  ( <. 0R ,  1R >.  e.  CC  <->  ( 0R  e.  R.  /\  1R  e.  R. ) )
64, 5bitri 249 . 2  |-  ( _i  e.  CC  <->  ( 0R  e.  R.  /\  1R  e.  R. ) )
71, 2, 6mpbir2an 911 1  |-  _i  e.  CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1756   <.cop 3902   R.cnr 9053   0Rc0r 9054   1Rc1r 9055   CCcc 9299   _ici 9303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-omul 6944  df-er 7120  df-ec 7122  df-qs 7126  df-ni 9060  df-pli 9061  df-mi 9062  df-lti 9063  df-plpq 9096  df-mpq 9097  df-ltpq 9098  df-enq 9099  df-nq 9100  df-erq 9101  df-plq 9102  df-mq 9103  df-1nq 9104  df-rq 9105  df-ltnq 9106  df-np 9169  df-1p 9170  df-plp 9171  df-enr 9245  df-nr 9246  df-0r 9250  df-1r 9251  df-c 9307  df-i 9310
This theorem is referenced by:  sineq0ALT  31696
  Copyright terms: Public domain W3C validator