Theorem axi2m1 5297

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 19 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	|- ((i x. i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5201	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
2		1r 5202	. . . . . . 7 |- 1R e. R.
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . . 6 |- (0R e. R. /\ 1R e. R.)
4		mulcnsr 5266	. . . . . 6 |- (((0R e. R. /\ 1R e. R.) /\ (0R e. R. /\ 1R e. R.)) -> (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>.)
5	3, 3, 4	mp2an 699	. . . . 5 |- (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>.
6		00sr 5220	. . . . . . . . 9 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0R .R 0R) = 0R
8		1idsr 5219	. . . . . . . . . . 11 |- (1R e. R. -> (1R .R 1R) = 1R)
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (1R .R 1R) = 1R
10	9	opreq2i 3978	. . . . . . . . 9 |- (-1R .R (1R .R 1R)) = (-1R .R 1R)
11		m1r 5203	. . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
12		1idsr 5219	. . . . . . . . . 10 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 1R) = -1R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (-1R .R 1R) = -1R
14	10, 13	eqtr 1498	. . . . . . . 8 |- (-1R .R (1R .R 1R)) = -1R
15	7, 14	opreq12i 3979	. . . . . . 7 |- ((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))) = (0R +R -1R)
16	1	elisseti 1821	. . . . . . . 8 |- 0R e. V
17	11	elisseti 1821	. . . . . . . 8 |- -1R e. V
18	16, 17	addcomsr 5208	. . . . . . 7 |- (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
19		0idsr 5218	. . . . . . . 8 |- (-1R e. R. -> (-1R +R 0R) = -1R)
20	11, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (-1R +R 0R) = -1R
21	15, 18, 20	3eqtr 1502	. . . . . 6 |- ((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))) = -1R
22		00sr 5220	. . . . . . . . 9 |- (1R e. R. -> (1R .R 0R) = 0R)
23	2, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (1R .R 0R) = 0R
24		1idsr 5219	. . . . . . . . 9 |- (0R e. R. -> (0R .R 1R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0R .R 1R) = 0R
26	23, 25	opreq12i 3979	. . . . . . 7 |- ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R)) = (0R +R 0R)
27		0idsr 5218	. . . . . . . 8 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0R +R 0R) = 0R
29	26, 28	eqtr 1498	. . . . . 6 |- ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R)) = 0R
30	21, 29	opeq12i 2496	. . . . 5 |- <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>. = <.-1R, 0R>.
31	5, 30	eqtr 1498	. . . 4 |- (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.-1R, 0R>.
32	31	opreq1i 3977	. . 3 |- ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.) = (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.)
33		addresr 5268	. . . 4 |- ((-1R e. R. /\ 1R e. R.) -> (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.) = <.(-1R +R 1R), 0R>.)
34	11, 2, 33	mp2an 699	. . 3 |- (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.) = <.(-1R +R 1R), 0R>.
35		m1p1sr 5213	. . . 4 |- (-1R +R 1R) = 0R
36	35	opeq1i 2494	. . 3 |- <.(-1R +R 1R), 0R>. = <.0R, 0R>.
37	32, 34, 36	3eqtr 1502	. 2 |- ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.) = <.0R, 0R>.
38		df-i 5255	. . . 4 |- i = <.0R, 1R>.
39	38, 38	opreq12i 3979	. . 3 |- (i x. i) = (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.)
40		df-1 5254	. . 3 |- 1 = <.1R, 0R>.
41	39, 40	opreq12i 3979	. 2 |- ((i x. i) + 1) = ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.)
42		df-0 5253	. 2 |- 0 = <.0R, 0R>.
43	37, 41, 42	3eqtr4 1508	1 |- ((i x. i) + 1) = 0

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  (class class class)co 3969  R.cnr 5005  0Rc0r 5006  1Rc1r 5007  -1Rcm1r 5008   +R cplr 5009   .R cmr 5010  0cc0 5246  1c1 5247  ici 5248   + caddc 5249   x. cmul 5251

This theorem is referenced by:  0cn 5340  ine0 5446  ixi 5693  inelr 6736

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-plus 5257  df-mul 5258

Copyright terms: Public domain