MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Structured version   Unicode version

Theorem axi2m1 9537
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 9561. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 9458 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
2 1sr 9459 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
3 mulcnsr 9514 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >. )
41, 2, 1, 2, 3mp4an 673 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.
5 00sr 9477 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
7 1idsr 9476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  1R )  =  1R )
82, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1R 
.R  1R )  =  1R
98oveq2i 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  ( -1R  .R  1R )
10 m1r 9460 . . . . . . . . . 10  |-  -1R  e.  R.
11 1idsr 9476 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R
139, 12eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  -1R
146, 13oveq12i 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  ( 0R  +R  -1R )
15 addcomsr 9465 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  -1R )  =  ( -1R  +R  0R )
16 0idsr 9475 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
1710, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
1814, 15, 173eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  -1R
19 00sr 9477 . . . . . . . . 9  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
202, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
21 1idsr 9476 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  1R )  =  0R )
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  1R )  =  0R
2320, 22oveq12i 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  ( 0R  +R  0R )
24 0idsr 9475 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
251, 24ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2623, 25eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  0R
2718, 26opeq12i 4218 . . . . 5  |-  <. (
( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.  =  <. -1R
,  0R >.
284, 27eqtri 2496 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. -1R ,  0R >.
2928oveq1i 6295 . . 3  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )
30 addresr 9516 . . . 4  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. -1R ,  0R >.  + 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >. )
3110, 2, 30mp2an 672 . . 3  |-  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.
32 m1p1sr 9470 . . . 4  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
3332opeq1i 4216 . . 3  |-  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
3429, 31, 333eqtri 2500 . 2  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. 0R ,  0R >.
35 df-i 9502 . . . 4  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
3635, 35oveq12i 6297 . . 3  |-  ( _i  x.  _i )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )
37 df-1 9501 . . 3  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
3836, 37oveq12i 6297 . 2  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  ( ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )
39 df-0 9500 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
4034, 38, 393eqtr4i 2506 1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4033  (class class class)co 6285   R.cnr 9244   0Rc0r 9245   1Rc1r 9246   -1Rcm1r 9247    +R cplr 9248    .R cmr 9249   0cc0 9493   1c1 9494   _ici 9495    + caddc 9496    x. cmul 9498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-ni 9251  df-pli 9252  df-mi 9253  df-lti 9254  df-plpq 9287  df-mpq 9288  df-ltpq 9289  df-enq 9290  df-nq 9291  df-erq 9292  df-plq 9293  df-mq 9294  df-1nq 9295  df-rq 9296  df-ltnq 9297  df-np 9360  df-1p 9361  df-plp 9362  df-mp 9363  df-ltp 9364  df-enr 9434  df-nr 9435  df-plr 9436  df-mr 9437  df-0r 9439  df-1r 9440  df-m1r 9441  df-c 9499  df-0 9500  df-1 9501  df-i 9502  df-add 9504  df-mul 9505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator