Theorem axhvmulid 8941

Description: Derive axiom ax-hvmulid 8959 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhvmulid	|- (A e. H~ -> (1 .h A) = A)

Proof of Theorem axhvmulid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHil
2		df-hba 8921	. . . 4 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 3784	. . . 4 |- (Base` U) = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4i 1545	. . 3 |- H~ = (Base` U)
6	1	hlnvi 8680	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7	3, 6	h2hsm 8927	. . 3 |- .h = (.s` U)
8	5, 7	hlmulid 8691	. 2 |- ((U e. CHil /\ A e. H~) -> (1 .h A) = A)
9	1, 8	mpan 707	1 |- (A e. H~ -> (1 .h A) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 997   e. wcel 999  <.cop 2463  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  1c1 5300  Basecba 8289  CHilchl 8673  H~chil 8871   +h cva 8872   .h csm 8873  normhcno 8877

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fo 3253  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-sub 5421  df-neg 5423  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-nm 8303  df-bn 8607  df-hl 8674  df-hba 8921

Copyright terms: Public domain