Theorem axhvmulid-zf 26119

Description: Derive axiom ax-hvmulid 26137 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
axhil.2	|- U e. CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvmulid-zf	|- ( A e. ~H -> ( 1 .h A ) = A )

Proof of Theorem axhvmulid-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHilOLD
2		df-hba 26100	. . . 4 |- ~H = ( BaseSet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
4	3	fveq2i 5875	. . . 4 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
5	2, 4	eqtr4i 2489	. . 3 |- ~H = ( BaseSet ` U )
6	1	hlnvi 26022	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7	3, 6	h2hsm 26106	. . 3 |- .h = ( .sOLD ` U )
8	5, 7	hlmulid 26035	. 2 |- ( ( U e. CHilOLD /\ A e. ~H ) -> ( 1 .h A ) = A )
9	1, 8	mpan 670	1 |- ( A e. ~H -> ( 1 .h A ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510   BaseSetcba 25693   CHilOLDchlo 26015   ~Hchil 26050   +h cva 26051   .h csm 26052   normhcno 26054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-vc 25653  df-nv 25699  df-va 25702  df-ba 25703  df-sm 25704  df-0v 25705  df-nmcv 25707  df-cbn 25993  df-hlo 26016  df-hba 26100

This theorem is referenced by: (None)