Theorem axhvmulid-zf 26653

Description: Derive axiom ax-hvmulid 26671 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
axhil.2	|- U e. CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvmulid-zf	|- ( A e. ~H -> ( 1 .h A ) = A )

Proof of Theorem axhvmulid-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHilOLD
2		df-hba 26634	. . . 4 |- ~H = ( BaseSet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
4	3	fveq2i 5873	. . . 4 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
5	2, 4	eqtr4i 2478	. . 3 |- ~H = ( BaseSet ` U )
6	1	hlnvi 26556	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7	3, 6	h2hsm 26640	. . 3 |- .h = ( .sOLD ` U )
8	5, 7	hlmulid 26569	. 2 |- ( ( U e. CHilOLD /\ A e. ~H ) -> ( 1 .h A ) = A )
9	1, 8	mpan 677	1 |- ( A e. ~H -> ( 1 .h A ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1446   e. wcel 1889   <.cop 3976   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1c1 9545   BaseSetcba 26217   CHilOLDchlo 26549   ~Hchil 26584   +h cva 26585   .h csm 26586   normhcno 26588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-nmcv 26231  df-cbn 26517  df-hlo 26550  df-hba 26634

This theorem is referenced by: (None)