HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhvmul0-zf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axhvmul0-zf 26657
Description: Derive axiom ax-hvmul0 26675 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
axhil.2  |-  U  e. 
CHilOLD
Assertion
Ref Expression
axhvmul0-zf  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  .h  A )  =  0h )

Proof of Theorem axhvmul0-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2  |-  U  e. 
CHilOLD
2 df-hba 26634 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 axhil.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43fveq2i 5873 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
52, 4eqtr4i 2478 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
61hlnvi 26556 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
73, 6h2hsm 26640 . . 3  |-  .h  =  ( .sOLD `  U
)
8 df-h0v 26635 . . . 4  |-  0h  =  ( 0vec `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
93fveq2i 5873 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
108, 9eqtr4i 2478 . . 3  |-  0h  =  ( 0vec `  U )
115, 7, 10hlmul0 26573 . 2  |-  ( ( U  e.  CHilOLD  /\  A  e.  ~H )  ->  ( 0  .h  A
)  =  0h )
121, 11mpan 677 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  .h  A )  =  0h )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1446    e. wcel 1889   <.cop 3976   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   0cc0 9544   BaseSetcba 26217   0veccn0v 26219   CHilOLDchlo 26549   ~Hchil 26584    +h cva 26585    .h csm 26586   normhcno 26588   0hc0v 26589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-ltxr 9685  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-ablo 26022  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-nmcv 26231  df-cbn 26517  df-hlo 26550  df-hba 26634  df-h0v 26635
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator