Theorem axhv0cl 10487

Description: Derive axiom ax-hv0cl 10505 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhv0cl	|- 0h e. ~H

Proof of Theorem axhv0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHil
2		df-hba 10470	. . . 4 |- ~H = (BaseSet` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 4684	. . . 4 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4i 1911	. . 3 |- ~H = (BaseSet` U)
6		df-h0v 10471	. . . 4 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
7	3	fveq2i 4684	. . . 4 |- (0v` U) = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
8	6, 7	eqtr4i 1911	. . 3 |- 0h = (0v` U)
9	5, 8	hl0cl 9951	. 2 |- (U e. CHil -> 0h e. ~H)
10	1, 9	ax-mp 7	1 |- 0h e. ~H

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  ` cfv 3998  BaseSetcba 9537  0vcn0v 9539  CHilchl 9934  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423  normhcno 10426

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-grp 9316  df-gid 9317  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-bn 9865  df-hl 9935  df-hba 10470  df-h0v 10471

Copyright terms: Public domain