Theorem axhv0cl 8938

Description: Derive axiom ax-hv0cl 8956 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhv0cl	|- 0h e. H~

Proof of Theorem axhv0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHil
2		df-hba 8921	. . . 4 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 3784	. . . 4 |- (Base` U) = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4i 1545	. . 3 |- H~ = (Base` U)
6		df-h0v 8922	. . . 4 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
7	3	fveq2i 3784	. . . 4 |- (0v` U) = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
8	6, 7	eqtr4i 1545	. . 3 |- 0h = (0v` U)
9	5, 8	hl0cl 8688	. 2 |- (U e. CHil -> 0h e. H~)
10	1, 9	ax-mp 7	1 |- 0h e. H~

Syntax hints:   = wceq 997   e. wcel 999  <.cop 2463  ` cfv 3239  Basecba 8289  0vcn0v 8291  CHilchl 8673  H~chil 8871   +h cva 8872   .h csm 8873  0hc0v 8874  normhcno 8877

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fo 3253  df-fv 3255  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-grp 8122  df-gid 8123  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-nm 8303  df-bn 8607  df-hl 8674  df-hba 8921  df-h0v 8922

Copyright terms: Public domain