HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhis4-zf Structured version   Unicode version

Theorem axhis4-zf 26208
Description: Derive axiom ax-his4 26296 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
axhil.2  |-  U  e. 
CHilOLD
axhfi.1  |-  .ih  =  ( .iOLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
axhis4-zf  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( A  .ih  A ) )

Proof of Theorem axhis4-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2  |-  U  e. 
CHilOLD
2 df-hba 26180 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 axhil.1 . . . . 5  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
43fveq2i 5808 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
52, 4eqtr4i 2434 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
6 df-h0v 26181 . . . 4  |-  0h  =  ( 0vec `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
73fveq2i 5808 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
86, 7eqtr4i 2434 . . 3  |-  0h  =  ( 0vec `  U )
9 axhfi.1 . . 3  |-  .ih  =  ( .iOLD `  U
)
105, 8, 9hlipgt0 26124 . 2  |-  ( ( U  e.  CHilOLD  /\  A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( A  .ih  A ) )
111, 10mp3an1 1313 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( A  .ih  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   <.cop 3977   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   0cc0 9442    < clt 9578   BaseSetcba 25773   0veccn0v 25775   .iOLDcdip 25904   CHilOLDchlo 26095   ~Hchil 26130    +h cva 26131    .h csm 26132    .ih csp 26133   normhcno 26134   0hc0v 26135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565  df-grpo 25487  df-gid 25488  df-ginv 25489  df-ablo 25578  df-vc 25733  df-nv 25779  df-va 25782  df-ba 25783  df-sm 25784  df-0v 25785  df-nmcv 25787  df-dip 25905  df-cbn 26073  df-hlo 26096  df-hba 26180  df-h0v 26181
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator