Theorem axhcompl 8951

Description: Derive axiom ax-hcompl 9154 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhcompl	|- (F e. Cauchy -> E.x e. H~ F ~~>v x)

Distinct variable group:   x,F

Proof of Theorem axhcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. . . . 5 |- U e. CHil
2		df-hba 8921	. . . . . . 7 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . . . . 8 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 3784	. . . . . . 7 |- (Base` U) = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4i 1545	. . . . . 6 |- H~ = (Base` U)
6		eqid 1522	. . . . . 6 |- (IndMet` U) = (IndMet` U)
7	5, 6	hlcompl 8701	. . . . 5 |- ((U e. CHil /\ F e. (Cau` (IndMet` U))) -> E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y)
8	1, 7	mpan 707	. . . 4 |- (F e. (Cau` (IndMet` U)) -> E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y)
9	8	anim1i 341	. . 3 |- ((F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (H~ ^m NN)) -> (E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
10	1	hlnvi 8680	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
11	3, 10, 5, 6	h2hcau 8932	. . . . 5 |- Cauchy = ((Cau` (IndMet` U)) i^i (H~ ^m NN))
12	11	eleq2i 1585	. . . 4 |- (F e. Cauchy <-> F e. ((Cau` (IndMet` U)) i^i (H~ ^m NN)))
13		elin 2258	. . . 4 |- (F e. ((Cau` (IndMet` U)) i^i (H~ ^m NN)) <-> (F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (H~ ^m NN)))
14	12, 13	bitri 180	. . 3 |- (F e. Cauchy <-> (F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (H~ ^m NN)))
15	3, 10, 5, 6	h2hlm 8933	. . . . . . 7 |- ~~>v = ((~~>m` (IndMet` U)) |` (H~ ^m NN))
16	15	breqi 2680	. . . . . 6 |- (F ~~>v y <-> F((~~>m` (IndMet` U)) |` (H~ ^m NN))y)
17		visset 1860	. . . . . . 7 |- y e. V
18	17	brres 3430	. . . . . 6 |- (F((~~>m` (IndMet` U)) |` (H~ ^m NN))y <-> (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
19	16, 18	bitri 180	. . . . 5 |- (F ~~>v y <-> (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
20	19	rexbii 1715	. . . 4 |- (E.y e. H~ F ~~>v y <-> E.y e. H~ (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
21		r19.41v 1810	. . . 4 |- (E.y e. H~ (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)) <-> (E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
22	20, 21	bitri 180	. . 3 |- (E.y e. H~ F ~~>v y <-> (E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
23	9, 14, 22	3imtr4i 226	. 2 |- (F e. Cauchy -> E.y e. H~ F ~~>v y)
24		breq2 2678	. . 3 |- (y = x -> (F ~~>v y <-> F ~~>v x))
25	24	cbvrexv 1848	. 2 |- (E.y e. H~ F ~~>v y <-> E.x e. H~ F ~~>v x)
26	23, 25	sylib 205	1 |- (F e. Cauchy -> E.x e. H~ F ~~>v x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wrex 1693   i^i cin 2097  <.cop 2463   class class class wbr 2674   |` cres 3229  ` cfv 3239  (class class class)co 4021   ^m cm 4383  NNcn 5361  ~~>mclm 8004  Caucca 8005  Basecba 8289  IndMetcims 8294  CHilchl 8673  H~chil 8871   +h cva 8872   .h csm 8873  normhcno 8877  Cauchyccau 8878   ~~>v chli 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-n0 6182  df-z 6218  df-uz 6444  df-seq1 6567  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-met 7878  df-lm 8007  df-cau 8008  df-cmet 8009  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-gdiv 8125  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-vs 8302  df-nm 8303  df-ims 8304  df-bn 8607  df-hl 8674  df-hba 8921  df-hvsub 8923  df-hlim 8924  df-hcau 8925

Copyright terms: Public domain