Theorem axhcompl 10500

Description: Derive axiom ax-hcompl 10704 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhcompl	|- (F e. Cauchy -> E.x e. ~H F ~~>v x)

Distinct variable group:   x,F

Proof of Theorem axhcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. . . . 5 |- U e. CHil
2		df-hba 10470	. . . . . . 7 |- ~H = (BaseSet` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . . . . 8 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 4684	. . . . . . 7 |- (BaseSet` U) = (BaseSet` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4i 1911	. . . . . 6 |- ~H = (BaseSet` U)
6		eqid 1884	. . . . . 6 |- (IndMet` U) = (IndMet` U)
7	5, 6	hlcompl 9964	. . . . 5 |- ((U e. CHil /\ F e. (Cau` (IndMet` U))) -> E.y e. ~H F(~~>m` (IndMet` U))y)
8	1, 7	mpan 759	. . . 4 |- (F e. (Cau` (IndMet` U)) -> E.y e. ~H F(~~>m` (IndMet` U))y)
9	8	anim1i 361	. . 3 |- ((F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (~H ^m NN)) -> (E.y e. ~H F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (~H ^m NN)))
10	1	hlnvi 9941	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
11	3, 10, 5, 6	h2hcau 10481	. . . . 5 |- Cauchy = ((Cau` (IndMet` U)) i^i (~H ^m NN))
12	11	eleq2i 1961	. . . 4 |- (F e. Cauchy <-> F e. ((Cau` (IndMet` U)) i^i (~H ^m NN)))
13		elin 2786	. . . 4 |- (F e. ((Cau` (IndMet` U)) i^i (~H ^m NN)) <-> (F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (~H ^m NN)))
14	12, 13	bitri 190	. . 3 |- (F e. Cauchy <-> (F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (~H ^m NN)))
15	3, 10, 5, 6	h2hlm 10482	. . . . . . 7 |- ~~>v = ((~~>m` (IndMet` U)) |` (~H ^m NN))
16	15	breqi 3344	. . . . . 6 |- (F ~~>v y <-> F((~~>m` (IndMet` U)) |` (~H ^m NN))y)
17		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
18	17	brres 4223	. . . . . 6 |- (F((~~>m` (IndMet` U)) |` (~H ^m NN))y <-> (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (~H ^m NN)))
19	16, 18	bitri 190	. . . . 5 |- (F ~~>v y <-> (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (~H ^m NN)))
20	19	rexbii 2128	. . . 4 |- (E.y e. ~H F ~~>v y <-> E.y e. ~H (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (~H ^m NN)))
21		r19.41v 2236	. . . 4 |- (E.y e. ~H (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (~H ^m NN)) <-> (E.y e. ~H F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (~H ^m NN)))
22	20, 21	bitri 190	. . 3 |- (E.y e. ~H F ~~>v y <-> (E.y e. ~H F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (~H ^m NN)))
23	9, 14, 22	3imtr4i 236	. 2 |- (F e. Cauchy -> E.y e. ~H F ~~>v y)
24		breq2 3342	. . 3 |- (y = x -> (F ~~>v y <-> F ~~>v x))
25	24	cbvrexv 2281	. 2 |- (E.y e. ~H F ~~>v y <-> E.x e. ~H F ~~>v x)
26	23, 25	sylib 215	1 |- (F e. Cauchy -> E.x e. ~H F ~~>v x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   i^i cin 2592  <.cop 3046   class class class wbr 3338   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  NNcn 6449  ~~>mclm 9197  Caucca 9198  BaseSetcba 9537  IndMetcims 9542  CHilchl 9934  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  normhcno 10426  Cauchyccau 10427   ~~>v chli 10428

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-met 9070  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-bn 9865  df-hl 9935  df-hba 10470  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474

Copyright terms: Public domain