Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhcompl-zf Structured version   Unicode version

Theorem axhcompl-zf 26636
 Description: Derive axiom ax-hcompl 26840 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1
axhil.2
Assertion
Ref Expression
axhcompl-zf
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem axhcompl-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . . . . . 6
2 simpl 458 . . . . . 6
3 eqid 2422 . . . . . . 7
4 eqid 2422 . . . . . . 7
53, 4hlcompl 26552 . . . . . 6
61, 2, 5sylancr 667 . . . . 5
7 eldm2g 5046 . . . . . 6
87adantr 466 . . . . 5
96, 8mpbid 213 . . . 4
10 df-br 4421 . . . . . 6
111hlnvi 26529 . . . . . . . . . 10
12 df-hba 26607 . . . . . . . . . . . 12
13 axhil.1 . . . . . . . . . . . . 13
1413fveq2i 5880 . . . . . . . . . . . 12
1512, 14eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . 11
1615, 3imsxmet 26309 . . . . . . . . . 10
174mopntopon 21440 . . . . . . . . . 10 TopOn
1811, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . . 9 TopOn
19 lmcl 20299 . . . . . . . . 9 TopOn
2018, 19mpan 674 . . . . . . . 8
2120a1i 11 . . . . . . 7
2213, 11, 15, 3, 4h2hlm 26618 . . . . . . . . . . . 12
2322breqi 4426 . . . . . . . . . . 11
24 vex 3084 . . . . . . . . . . . 12
2524brres 5126 . . . . . . . . . . 11
26 ancom 451 . . . . . . . . . . 11
2723, 25, 263bitri 274 . . . . . . . . . 10
2827baib 911 . . . . . . . . 9
2928adantl 467 . . . . . . . 8
3029biimprd 226 . . . . . . 7
3121, 30jcad 535 . . . . . 6
3210, 31syl5bir 221 . . . . 5
3332eximdv 1754 . . . 4
349, 33mpd 15 . . 3
35 elin 3649 . . 3
36 df-rex 2781 . . 3
3734, 35, 363imtr4i 269 . 2
3813, 11, 15, 3h2hcau 26617 . 2
3937, 38eleq2s 2530 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437  wex 1659   wcel 1868  wrex 2776   cin 3435  cop 4002   class class class wbr 4420   cdm 4849   cres 4851  cfv 5597  (class class class)co 6301   cmap 7476  cn 10609  cxmt 18942  cmopn 18947  TopOnctopon 19904  clm 20228  cca 22209  cnv 26188  cba 26190  cims 26195  chlo 26522  chil 26557   cva 26558   csm 26559  cno 26561  ccau 26564   chli 26565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-ntr 20021  df-nei 20100  df-lm 20231  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-cfil 22211  df-cau 22212  df-cmet 22213  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ginv 25906  df-gdiv 25907  df-ablo 25995  df-vc 26150  df-nv 26196  df-va 26199  df-ba 26200  df-sm 26201  df-0v 26202  df-vs 26203  df-nmcv 26204  df-ims 26205  df-cbn 26490  df-hlo 26523  df-hba 26607  df-hvsub 26609  df-hlim 26610  df-hcau 26611 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator