Theorem axgroth6 9223

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set x, there exists a set y containing x, the subsets of the members of y, the power sets of the members of y, and the subsets of y of cardinality less than that of y. (Contributed by NM, 21-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth6	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem axgroth6

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 9219	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
2		biid 236	. . . 4 |- ( x e. y <-> x e. y )
3		pweq 4018	. . . . . . . . 9 |- ( z = v -> ~P z = ~P v )
4	3	sseq1d 3526	. . . . . . . 8 |- ( z = v -> ( ~P z C_ y <-> ~P v C_ y ) )
5	4	cbvralv 3084	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ~P z C_ y <-> A. v e. y ~P v C_ y )
6		ssid 3518	. . . . . . . . . 10 |- ~P z C_ ~P z
7		sseq2 3521	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ~P z -> ( ~P z C_ w <-> ~P z C_ ~P z ) )
8	7	rspcev 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ~P z e. y /\ ~P z C_ ~P z ) -> E. w e. y ~P z C_ w )
9	6, 8	mpan2 671	. . . . . . . . 9 |- ( ~P z e. y -> E. w e. y ~P z C_ w )
10		pweq 4018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = w -> ~P v = ~P w )
11	10	sseq1d 3526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = w -> ( ~P v C_ y <-> ~P w C_ y ) )
12	11	rspccv 3207	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ~P w C_ y ) )
13		pwss 4030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P w C_ y <-> A. v ( v C_ w -> v e. y ) )
14		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
15	14	pwex 4639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P z e. _V
16		sseq1 3520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ~P z -> ( v C_ w <-> ~P z C_ w ) )
17		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ~P z -> ( v e. y <-> ~P z e. y ) )
18	16, 17	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ~P z -> ( ( v C_ w -> v e. y ) <-> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
19	15, 18	spcv 3200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v ( v C_ w -> v e. y ) -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
20	13, 19	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P w C_ y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
21	12, 20	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
22	21	rexlimdv 2947	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( E. w e. y ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
23	9, 22	impbid2 204	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( ~P z e. y <-> E. w e. y ~P z C_ w ) )
24	23	ralbidv 2896	. . . . . . 7 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
25	5, 24	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ~P z C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
26	25	pm5.32i 637	. . . . 5 |- ( ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
27		r19.26 2984	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) )
28		r19.26 2984	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
29	26, 27, 28	3bitr4i 277	. . . 4 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) )
30		selpw 4022	. . . . . 6 |- ( z e. ~P y <-> z C_ y )
31		impexp 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
32		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
33		ssdomg 7580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ y -> z ~<_ y )
35	34	pm4.71i 632	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ y <-> ( z C_ y /\ z ~<_ y ) )
36	35	imbi1i 325	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
37		brsdom 7557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z ~< y <-> ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) )
38	37	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) )
39		impexp 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
40	38, 39	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
41	40	imbi2i 312	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
42	31, 36, 41	3bitr4ri 278	. . . . . . . 8 |- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
43	42	pm5.74ri 246	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
44		pm4.64 372	. . . . . . 7 |- ( ( -. z ~~ y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) )
45	43, 44	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
46	30, 45	sylbi 195	. . . . 5 |- ( z e. ~P y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
47	46	ralbiia 2887	. . . 4 |- ( A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) <-> A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
48	2, 29, 47	3anbi123i 1185	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
49	48	exbii 1668	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
50	1, 49	mpbir 209	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   ~~ cen 7532   ~<_ cdom 7533   ~< csdm 7534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-groth 9218

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-dom 7537  df-sdom 7538

This theorem is referenced by:  grothomex  9224  grothac  9225