Theorem axgroth6 9271

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set x, there exists a set y containing x, the subsets of the members of y, the power sets of the members of y, and the subsets of y of cardinality less than that of y. (Contributed by NM, 21-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth6	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem axgroth6

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 9267	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
2		biid 244	. . . 4 |- ( x e. y <-> x e. y )
3		pweq 3945	. . . . . . . . 9 |- ( z = v -> ~P z = ~P v )
4	3	sseq1d 3445	. . . . . . . 8 |- ( z = v -> ( ~P z C_ y <-> ~P v C_ y ) )
5	4	cbvralv 3005	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ~P z C_ y <-> A. v e. y ~P v C_ y )
6		ssid 3437	. . . . . . . . . 10 |- ~P z C_ ~P z
7		sseq2 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ~P z -> ( ~P z C_ w <-> ~P z C_ ~P z ) )
8	7	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ~P z e. y /\ ~P z C_ ~P z ) -> E. w e. y ~P z C_ w )
9	6, 8	mpan2 685	. . . . . . . . 9 |- ( ~P z e. y -> E. w e. y ~P z C_ w )
10		pweq 3945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = w -> ~P v = ~P w )
11	10	sseq1d 3445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = w -> ( ~P v C_ y <-> ~P w C_ y ) )
12	11	rspccv 3133	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ~P w C_ y ) )
13		pwss 3957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P w C_ y <-> A. v ( v C_ w -> v e. y ) )
14		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
15	14	pwex 4584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P z e. _V
16		sseq1 3439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ~P z -> ( v C_ w <-> ~P z C_ w ) )
17		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ~P z -> ( v e. y <-> ~P z e. y ) )
18	16, 17	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ~P z -> ( ( v C_ w -> v e. y ) <-> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
19	15, 18	spcv 3126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v ( v C_ w -> v e. y ) -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
20	13, 19	sylbi 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P w C_ y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
21	12, 20	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
22	21	rexlimdv 2870	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( E. w e. y ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
23	9, 22	impbid2 209	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( ~P z e. y <-> E. w e. y ~P z C_ w ) )
24	23	ralbidv 2829	. . . . . . 7 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
25	5, 24	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ~P z C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
26	25	pm5.32i 649	. . . . 5 |- ( ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
27		r19.26 2904	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) )
28		r19.26 2904	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
29	26, 27, 28	3bitr4i 285	. . . 4 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) )
30		selpw 3949	. . . . . 6 |- ( z e. ~P y <-> z C_ y )
31		impexp 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
32		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
33		ssdomg 7633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ y -> z ~<_ y )
35	34	pm4.71i 644	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ y <-> ( z C_ y /\ z ~<_ y ) )
36	35	imbi1i 332	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
37		brsdom 7610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z ~< y <-> ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) )
38	37	imbi1i 332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) )
39		impexp 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
40	38, 39	bitri 257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
41	40	imbi2i 319	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
42	31, 36, 41	3bitr4ri 286	. . . . . . . 8 |- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
43	42	pm5.74ri 254	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
44		pm4.64 379	. . . . . . 7 |- ( ( -. z ~~ y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) )
45	43, 44	syl6bb 269	. . . . . 6 |- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
46	30, 45	sylbi 200	. . . . 5 |- ( z e. ~P y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
47	46	ralbiia 2822	. . . 4 |- ( A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) <-> A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
48	2, 29, 47	3anbi123i 1219	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
49	48	exbii 1726	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
50	1, 49	mpbir 214	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   ~~ cen 7584   ~<_ cdom 7585   ~< csdm 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-groth 9266

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-dom 7589  df-sdom 7590

This theorem is referenced by:  grothomex  9272  grothac  9273