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Theorem axgroth6 8994
Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set  x, there exists a set  y containing  x, the subsets of the members of  y, the power sets of the members of  y, and the subsets of  y of cardinality less than that of  y. (Contributed by NM, 21-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
axgroth6  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
Distinct variable group:    x, y, z

Proof of Theorem axgroth6
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth5 8990 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
2 biid 236 . . . 4  |-  ( x  e.  y  <->  x  e.  y )
3 pweq 3862 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  v  ->  ~P z  =  ~P v
)
43sseq1d 3382 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  v  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P v  C_  y ) )
54cbvralv 2946 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  <->  A. v  e.  y  ~P v  C_  y )
6 ssid 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ~P z  C_ 
~P z
7 sseq2 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ~P z  -> 
( ~P z  C_  w 
<->  ~P z  C_  ~P z ) )
87rspcev 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P z  e.  y  /\  ~P z  C_  ~P z )  ->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
96, 8mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P z  e.  y  ->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
10 pweq 3862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  w  ->  ~P v  =  ~P w
)
1110sseq1d 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  ( ~P v  C_  y  <->  ~P w  C_  y ) )
1211rspccv 3069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  (
w  e.  y  ->  ~P w  C_  y ) )
13 pwss 3874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P w  C_  y  <->  A. v
( v  C_  w  ->  v  e.  y ) )
14 vex 2974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
1514pwex 4474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P z  e.  _V
16 sseq1 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( v  C_  w  <->  ~P z  C_  w )
)
17 eleq1 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( v  e.  y  <->  ~P z  e.  y
) )
1816, 17imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( ( v  C_  w  ->  v  e.  y )  <->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) ) )
1915, 18spcv 3062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v ( v  C_  w  ->  v  e.  y )  ->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y )
)
2013, 19sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P w  C_  y  ->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) )
2112, 20syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  (
w  e.  y  -> 
( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) ) )
2221rexlimdv 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( E. w  e.  y  ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y
) )
239, 22impbid2 204 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( ~P z  e.  y  <->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
)
2423ralbidv 2734 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  <->  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
255, 24sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  <->  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
2625pm5.32i 637 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
27 r19.26 2848 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
28 r19.26 2848 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )
2926, 27, 283bitr4i 277 . . . 4  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  <->  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
30 selpw 3866 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~P y  <->  z  C_  y )
31 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  C_  y  /\  z  ~<_  y )  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
32 vex 2974 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
33 ssdomg 7354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  C_  y  ->  z  ~<_  y ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  ->  z  ~<_  y )
3534pm4.71i 632 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  C_  y  /\  z  ~<_  y ) )
3635imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( ( z 
C_  y  /\  z  ~<_  y )  ->  ( -.  z  ~~  y  -> 
z  e.  y ) ) )
37 brsdom 7331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
~<  y  <->  ( z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y ) )
3837imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  ( (
z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y )  -> 
z  e.  y ) )
39 impexp 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y )  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4038, 39bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4140imbi2i 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )  <-> 
( z  C_  y  ->  ( z  ~<_  y  -> 
( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
4231, 36, 413bitr4ri 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )  <-> 
( z  C_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4342pm5.74ri 246 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
44 pm4.64 372 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
4543, 44syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
4630, 45sylbi 195 . . . . 5  |-  ( z  e.  ~P y  -> 
( ( z  ~< 
y  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
4746ralbiia 2746 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  A. z  e.  ~P  y ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) )
482, 29, 473anbi123i 1176 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~<  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
4948exbii 1634 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z  ~< 
y  ->  z  e.  y ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
501, 49mpbir 209 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   class class class wbr 4291    ~~ cen 7306    ~<_ cdom 7307    ~< csdm 7308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-groth 8989
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-dom 7311  df-sdom 7312
This theorem is referenced by:  grothomex  8995  grothac  8996
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