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Theorem axgroth6 9253
Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set  x, there exists a set  y containing  x, the subsets of the members of  y, the power sets of the members of  y, and the subsets of  y of cardinality less than that of  y. (Contributed by NM, 21-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
axgroth6  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
Distinct variable group:    x, y, z

Proof of Theorem axgroth6
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth5 9249 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
2 biid 239 . . . 4  |-  ( x  e.  y  <->  x  e.  y )
3 pweq 3982 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  v  ->  ~P z  =  ~P v
)
43sseq1d 3491 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  v  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P v  C_  y ) )
54cbvralv 3055 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  <->  A. v  e.  y  ~P v  C_  y )
6 ssid 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ~P z  C_ 
~P z
7 sseq2 3486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ~P z  -> 
( ~P z  C_  w 
<->  ~P z  C_  ~P z ) )
87rspcev 3182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P z  e.  y  /\  ~P z  C_  ~P z )  ->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
96, 8mpan2 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P z  e.  y  ->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
10 pweq 3982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  w  ->  ~P v  =  ~P w
)
1110sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  ( ~P v  C_  y  <->  ~P w  C_  y ) )
1211rspccv 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  (
w  e.  y  ->  ~P w  C_  y ) )
13 pwss 3994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P w  C_  y  <->  A. v
( v  C_  w  ->  v  e.  y ) )
14 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
1514pwex 4603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P z  e.  _V
16 sseq1 3485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( v  C_  w  <->  ~P z  C_  w )
)
17 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( v  e.  y  <->  ~P z  e.  y
) )
1816, 17imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ~P z  -> 
( ( v  C_  w  ->  v  e.  y )  <->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) ) )
1915, 18spcv 3172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v ( v  C_  w  ->  v  e.  y )  ->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y )
)
2013, 19sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P w  C_  y  ->  ( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) )
2112, 20syl6 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  (
w  e.  y  -> 
( ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y ) ) )
2221rexlimdv 2915 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( E. w  e.  y  ~P z  C_  w  ->  ~P z  e.  y
) )
239, 22impbid2 207 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( ~P z  e.  y  <->  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )
)
2423ralbidv 2864 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  y  ~P v  C_  y  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  <->  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
255, 24sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  <->  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
2625pm5.32i 641 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
27 r19.26 2955 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
28 r19.26 2955 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  <->  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  /\  A. z  e.  y  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )
2926, 27, 283bitr4i 280 . . . 4  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  <->  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w ) )
30 selpw 3986 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~P y  <->  z  C_  y )
31 impexp 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  C_  y  /\  z  ~<_  y )  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
32 vex 3084 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
33 ssdomg 7618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  C_  y  ->  z  ~<_  y ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  ->  z  ~<_  y )
3534pm4.71i 636 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  C_  y  /\  z  ~<_  y ) )
3635imbi1i 326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( ( z 
C_  y  /\  z  ~<_  y )  ->  ( -.  z  ~~  y  -> 
z  e.  y ) ) )
37 brsdom 7595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
~<  y  <->  ( z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y ) )
3837imbi1i 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  ( (
z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y )  -> 
z  e.  y ) )
39 impexp 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  ~<_  y  /\  -.  z  ~~  y )  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4038, 39bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~<_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4140imbi2i 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )  <-> 
( z  C_  y  ->  ( z  ~<_  y  -> 
( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
4231, 36, 413bitr4ri 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )  <-> 
( z  C_  y  ->  ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
4342pm5.74ri 249 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y ) ) )
44 pm4.64 373 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  z  ~~  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
4543, 44syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
4630, 45sylbi 198 . . . . 5  |-  ( z  e.  ~P y  -> 
( ( z  ~< 
y  ->  z  e.  y )  <->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
4746ralbiia 2855 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y )  <->  A. z  e.  ~P  y ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) )
482, 29, 473anbi123i 1194 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~<  y  ->  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
4948exbii 1712 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z  ~< 
y  ->  z  e.  y ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
501, 49mpbir 212 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   class class class wbr 4420    ~~ cen 7570    ~<_ cdom 7571    ~< csdm 7572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-groth 9248
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-dom 7575  df-sdom 7576
This theorem is referenced by:  grothomex  9254  grothac  9255
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