Theorem axgroth6 9197

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. This version is called Tarski's axiom: given a set x, there exists a set y containing x, the subsets of the members of y, the power sets of the members of y, and the subsets of y of cardinality less than that of y. (Contributed by NM, 21-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth6	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem axgroth6

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 9193	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
2		biid 236	. . . 4 |- ( x e. y <-> x e. y )
3		pweq 4008	. . . . . . . . 9 |- ( z = v -> ~P z = ~P v )
4	3	sseq1d 3526	. . . . . . . 8 |- ( z = v -> ( ~P z C_ y <-> ~P v C_ y ) )
5	4	cbvralv 3083	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ~P z C_ y <-> A. v e. y ~P v C_ y )
6		ssid 3518	. . . . . . . . . 10 |- ~P z C_ ~P z
7		sseq2 3521	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ~P z -> ( ~P z C_ w <-> ~P z C_ ~P z ) )
8	7	rspcev 3209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ~P z e. y /\ ~P z C_ ~P z ) -> E. w e. y ~P z C_ w )
9	6, 8	mpan2 671	. . . . . . . . 9 |- ( ~P z e. y -> E. w e. y ~P z C_ w )
10		pweq 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = w -> ~P v = ~P w )
11	10	sseq1d 3526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = w -> ( ~P v C_ y <-> ~P w C_ y ) )
12	11	rspccv 3206	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ~P w C_ y ) )
13		pwss 4020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P w C_ y <-> A. v ( v C_ w -> v e. y ) )
14		vex 3111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
15	14	pwex 4625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P z e. _V
16		sseq1 3520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ~P z -> ( v C_ w <-> ~P z C_ w ) )
17		eleq1 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ~P z -> ( v e. y <-> ~P z e. y ) )
18	16, 17	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ~P z -> ( ( v C_ w -> v e. y ) <-> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
19	15, 18	spcv 3199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v ( v C_ w -> v e. y ) -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
20	13, 19	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P w C_ y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
21	12, 20	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( w e. y -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. y ) ) )
22	21	rexlimdv 2948	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( E. w e. y ~P z C_ w -> ~P z e. y ) )
23	9, 22	impbid2 204	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( ~P z e. y <-> E. w e. y ~P z C_ w ) )
24	23	ralbidv 2898	. . . . . . 7 |- ( A. v e. y ~P v C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
25	5, 24	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ~P z C_ y -> ( A. z e. y ~P z e. y <-> A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
26	25	pm5.32i 637	. . . . 5 |- ( ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
27		r19.26 2984	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y ~P z e. y ) )
28		r19.26 2984	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. z e. y ~P z C_ y /\ A. z e. y E. w e. y ~P z C_ w ) )
29	26, 27, 28	3bitr4i 277	. . . 4 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) <-> A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) )
30		selpw 4012	. . . . . 6 |- ( z e. ~P y <-> z C_ y )
31		impexp 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
32		vex 3111	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
33		ssdomg 7553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ y -> z ~<_ y )
35	34	pm4.71i 632	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ y <-> ( z C_ y /\ z ~<_ y ) )
36	35	imbi1i 325	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) <-> ( ( z C_ y /\ z ~<_ y ) -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
37		brsdom 7530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z ~< y <-> ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) )
38	37	imbi1i 325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) )
39		impexp 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z ~<_ y /\ -. z ~~ y ) -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
40	38, 39	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
41	40	imbi2i 312	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~<_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) ) )
42	31, 36, 41	3bitr4ri 278	. . . . . . . 8 |- ( ( z C_ y -> ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
43	42	pm5.74ri 246	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( -. z ~~ y -> z e. y ) ) )
44		pm4.64 372	. . . . . . 7 |- ( ( -. z ~~ y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) )
45	43, 44	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( z C_ y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
46	30, 45	sylbi 195	. . . . 5 |- ( z e. ~P y -> ( ( z ~< y -> z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
47	46	ralbiia 2889	. . . 4 |- ( A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) <-> A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )
48	2, 29, 47	3anbi123i 1180	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
49	48	exbii 1639	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
50	1, 49	mpbir 209	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   A.wal 1372   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   _Vcvv 3108   C_ wss 3471   ~Pcpw 4005   class class class wbr 4442   ~~ cen 7505   ~<_ cdom 7506   ~< csdm 7507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-groth 9192

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-dom 7510  df-sdom 7511

This theorem is referenced by:  grothomex  9198  grothac  9199