Theorem axgroth5 9191

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth5	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Proof of Theorem axgroth5

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 9190	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
2		biid 236	. . . 4 |- ( x e. y <-> x e. y )
3		pwss 4014	. . . . . 6 |- ( ~P z C_ y <-> A. w ( w C_ z -> w e. y ) )
4		pwss 4014	. . . . . . 7 |- ( ~P z C_ w <-> A. v ( v C_ z -> v e. w ) )
5	4	rexbii 2956	. . . . . 6 |- ( E. w e. y ~P z C_ w <-> E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) )
6	3, 5	anbi12i 695	. . . . 5 |- ( ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) )
7	6	ralbii 2885	. . . 4 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) )
8		df-ral 2809	. . . . 5 |- ( A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) <-> A. z ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
9		selpw 4006	. . . . . . 7 |- ( z e. ~P y <-> z C_ y )
10	9	imbi1i 323	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
11	10	albii 1645	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
12	8, 11	bitri 249	. . . 4 |- ( A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
13	2, 7, 12	3anbi123i 1183	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
14	13	exbii 1672	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
15	1, 14	mpbir 209	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   A.wal 1396   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439   ~~ cen 7506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-groth 9190

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-in 3468  df-ss 3475  df-pw 4001

This theorem is referenced by:  grothpw  9193  grothpwex  9194  axgroth6  9195  grothtsk  9202