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Theorem axgroth5 9097
Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
axgroth5  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem axgroth5
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-groth 9096 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
2 biid 236 . . . 4  |-  ( x  e.  y  <->  x  e.  y )
3 pwss 3978 . . . . . 6  |-  ( ~P z  C_  y  <->  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y ) )
4 pwss 3978 . . . . . . 7  |-  ( ~P z  C_  w  <->  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )
54rexbii 2861 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  y  ~P z  C_  w  <->  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )
63, 5anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  <->  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) ) )
76ralbii 2836 . . . 4  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  <->  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )
8 df-ral 2801 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
)  <->  A. z ( z  e.  ~P y  -> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
9 selpw 3970 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~P y  <->  z  C_  y )
109imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~P y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
1110albii 1611 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
~P y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
)  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
) )
128, 11bitri 249 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
)  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
z  ~~  y  \/  z  e.  y )
) )
132, 7, 123anbi123i 1177 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) ) )
1413exbii 1635 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) ) )
151, 14mpbir 209 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2796   E.wrex 2797    C_ wss 3431   ~Pcpw 3963   class class class wbr 4395    ~~ cen 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-groth 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ral 2801  df-rex 2802  df-v 3074  df-in 3438  df-ss 3445  df-pw 3965
This theorem is referenced by:  grothpw  9099  grothpwex  9100  axgroth6  9101  grothtsk  9108
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