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Theorem axgroth4 9264
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-ac 8896 is used to derive this version. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth4  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth4
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axgroth3 9263 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 elequ2 1877 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  v  ->  (
u  e.  w  <->  u  e.  v ) )
32imbi2d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  v  ->  (
( u  C_  z  ->  u  e.  w )  <-> 
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
43albidv 1761 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  v  ->  ( A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
)  <->  A. u ( u 
C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
54cbvrexv 3055 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
)  <->  E. v  e.  y 
A. u ( u 
C_  z  ->  u  e.  v ) )
65anbi2i 698 . . . . . 6  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. v  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
7 r19.42v 2980 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. v  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  v ) ) )
8 sseq1 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  (
u  C_  z  <->  w  C_  z
) )
9 elequ1 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  (
u  e.  v  <->  w  e.  v ) )
108, 9imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  w  ->  (
( u  C_  z  ->  u  e.  v )  <-> 
( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
1110cbvalv 2081 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v )  <->  A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  v ) )
1211anbi2i 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
13 19.26 1726 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  (
w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <-> 
( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) ) )
14 pm4.76 874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) )
15 elin 3649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( y  i^i  v )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) )
1615imbi2i 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) )
1714, 16bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  ( w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) ) )
1817albii 1685 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  (
w  C_  z  ->  w  e.  v ) )  <->  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
1912, 13, 183bitr2i 276 . . . . . . 7  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
2019rexbii 2924 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  v ) )  <->  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
216, 7, 203bitr2i 276 . . . . 5  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  <->  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) ) )
2221ralbii 2853 . . . 4  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  <->  A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) ) )
23223anbi2i 1197 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u ( u  C_  z  ->  u  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2423exbii 1712 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. u
( u  C_  z  ->  u  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
251, 24mpbi 211 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    \ cdif 3433    i^i cin 3435    C_ wss 3436   class class class wbr 4423    ~<_ cdom 7578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-reg 8116  ax-inf2 8155  ax-cc 8872  ax-groth 9255
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605
This theorem is referenced by:  grothprim  9266
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