Theorem axgroth4 8863

Description: Alternate version of Grothendieck's Axiom. ax-ac 4806 is used to derive this version.

Assertion

Ref	Expression
axgroth4	|- E.y(x e. y /\ A.z e. y E.v e. y A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem axgroth4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth3 8862	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.u(u (_ z -> u e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))
2		elequ2 1179	. . . . . . . . . 10 |- (w = v -> (u e. w <-> u e. v))
3	2	imbi2d 623	. . . . . . . . 9 |- (w = v -> ((u (_ z -> u e. w) <-> (u (_ z -> u e. v)))
4	3	albidv 1320	. . . . . . . 8 |- (w = v -> (A.u(u (_ z -> u e. w) <-> A.u(u (_ z -> u e. v)))
5	4	cbvrexv 1848	. . . . . . 7 |- (E.w e. y A.u(u (_ z -> u e. w) <-> E.v e. y A.u(u (_ z -> u e. v))
6	5	anbi2i 491	. . . . . 6 |- ((A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.u(u (_ z -> u e. w)) <-> (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.v e. y A.u(u (_ z -> u e. v)))
7		r19.42v 1811	. . . . . 6 |- (E.v e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ A.u(u (_ z -> u e. v)) <-> (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.v e. y A.u(u (_ z -> u e. v)))
8		sseq1 2133	. . . . . . . . . . 11 |- (u = w -> (u (_ z <-> w (_ z))
9		elequ1 1178	. . . . . . . . . . 11 |- (u = w -> (u e. v <-> w e. v))
10	8, 9	imbi12d 637	. . . . . . . . . 10 |- (u = w -> ((u (_ z -> u e. v) <-> (w (_ z -> w e. v)))
11	10	cbvalv 1356	. . . . . . . . 9 |- (A.u(u (_ z -> u e. v) <-> A.w(w (_ z -> w e. v))
12	11	anbi2i 491	. . . . . . . 8 |- ((A.w(w (_ z -> w e. y) /\ A.u(u (_ z -> u e. v)) <-> (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ A.w(w (_ z -> w e. v)))
13		19.26 1108	. . . . . . . 8 |- (A.w((w (_ z -> w e. y) /\ (w (_ z -> w e. v)) <-> (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ A.w(w (_ z -> w e. v)))
14		pm4.76 610	. . . . . . . . . 10 |- (((w (_ z -> w e. y) /\ (w (_ z -> w e. v)) <-> (w (_ z -> (w e. y /\ w e. v)))
15		elin 2258	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. (y i^i v) <-> (w e. y /\ w e. v))
16	15	imbi2i 192	. . . . . . . . . 10 |- ((w (_ z -> w e. (y i^i v)) <-> (w (_ z -> (w e. y /\ w e. v)))
17	14, 16	bitr4i 183	. . . . . . . . 9 |- (((w (_ z -> w e. y) /\ (w (_ z -> w e. v)) <-> (w (_ z -> w e. (y i^i v)))
18	17	albii 1040	. . . . . . . 8 |- (A.w((w (_ z -> w e. y) /\ (w (_ z -> w e. v)) <-> A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)))
19	12, 13, 18	3bitr2i 186	. . . . . . 7 |- ((A.w(w (_ z -> w e. y) /\ A.u(u (_ z -> u e. v)) <-> A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)))
20	19	rexbii 1715	. . . . . 6 |- (E.v e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ A.u(u (_ z -> u e. v)) <-> E.v e. y A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)))
21	6, 7, 20	3bitr2i 186	. . . . 5 |- ((A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.u(u (_ z -> u e. w)) <-> E.v e. y A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)))
22	21	ralbii 1714	. . . 4 |- (A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.u(u (_ z -> u e. w)) <-> A.z e. y E.v e. y A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)))
23	22	3anbi2i 837	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.u(u (_ z -> u e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z e. y E.v e. y A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))))
24	23	exbii 1092	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y (A.w(w (_ z -> w e. y) /\ E.w e. y A.u(u (_ z -> u e. w)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z e. y E.v e. y A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))))
25	1, 24	mpbi 196	1 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y E.v e. y A.w(w (_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z (_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 229   /\ wa 230   /\ w3a 787  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  A.wral 1692  E.wrex 1693   \ cdif 2095   i^i cin 2097   (_ wss 2098   class class class wbr 2674   ~<_ cdom 4426

This theorem is referenced by:  grothprim 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806  ax-groth 8860

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-iso 3256  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-2o 4192  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-fin 4432  df-card 4878  df-cda 4983  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-n 5985  df-2 6031  df-n0 6182  df-z 6218  df-seq1 6567  df-exp 6658

Copyright terms: Public domain