MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth3 Structured version   Unicode version

Theorem axgroth3 9209
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 8815 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth3
StepHypRef Expression
1 axgroth2 9203 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 ssid 3523 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  C_  z
3 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v  C_  z  <->  z  C_  z ) )
4 elequ1 1770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v  e.  w  <->  z  e.  w ) )
53, 4imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  (
( v  C_  z  ->  v  e.  w )  <-> 
( z  C_  z  ->  z  e.  w ) ) )
65spv 1980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  ( z  C_  z  ->  z  e.  w ) )
72, 6mpi 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  z  e.  w )
87reximi 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  E. w  e.  y  z  e.  w )
9 eluni2 4249 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. w  e.  y  z  e.  w )
108, 9sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  z  e.  U. y )
1110adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  ->  z  e.  U. y )
1211ralimi 2857 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  ->  A. z  e.  y  z  e.  U. y )
13 dfss3 3494 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. y  <->  A. z  e.  y  z  e.  U. y )
1412, 13sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  ->  y  C_  U. y )
15 ne0i 3791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
16 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1716dominf 8825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  y  C_ 
U. y )  ->  om 
~<_  y )
1815, 17sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  om  ~<_  y )
19 grothac 9208 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  card  =  _V
2016, 19eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
dom  card
21 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2221, 19eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
dom  card
23 infdif2 8590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\  z  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  y )  -> 
( ( y  \ 
z )  ~<_  z  <->  y  ~<_  z ) )
2420, 22, 23mp3an12 1314 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  y  ->  ( (
y  \  z )  ~<_  z 
<->  y  ~<_  z ) )
2518, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  <-> 
y  ~<_  z ) )
2625orbi1d 702 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( ( y  \  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2726imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( z 
C_  y  ->  (
( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2827albidv 1689 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2914, 28sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  -> 
( A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3029pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
31 df-3an 975 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
32 df-3an 975 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3330, 31, 323bitr4i 277 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3433exbii 1644 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
351, 34mpbir 209 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   omcom 6684    ~<_ cdom 7514   cardccrd 8316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-reg 8018  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-groth 9201
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548
This theorem is referenced by:  axgroth4  9210
  Copyright terms: Public domain W3C validator