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Theorem axgroth3 9253
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 8862 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth3
StepHypRef Expression
1 axgroth2 9247 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 ssid 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  C_  z
3 sseq1 3452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v  C_  z  <->  z  C_  z ) )
4 elequ1 1893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  z  ->  (
v  e.  w  <->  z  e.  w ) )
53, 4imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  (
( v  C_  z  ->  v  e.  w )  <-> 
( z  C_  z  ->  z  e.  w ) ) )
65spv 2103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  ( z  C_  z  ->  z  e.  w ) )
72, 6mpi 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  z  e.  w )
87reximi 2854 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  E. w  e.  y  z  e.  w )
9 eluni2 4201 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. w  e.  y  z  e.  w )
108, 9sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
)  ->  z  e.  U. y )
1110adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  ->  z  e.  U. y )
1211ralimi 2780 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  ->  A. z  e.  y  z  e.  U. y )
13 dfss3 3421 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. y  <->  A. z  e.  y  z  e.  U. y )
1412, 13sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  ->  y  C_  U. y )
15 ne0i 3736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
16 vex 3047 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1716dominf 8872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =/=  (/)  /\  y  C_ 
U. y )  ->  om 
~<_  y )
1815, 17sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  om  ~<_  y )
19 grothac 9252 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  card  =  _V
2016, 19eleqtrri 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
dom  card
21 vex 3047 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2221, 19eleqtrri 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
dom  card
23 infdif2 8637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  dom  card  /\  z  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  y )  -> 
( ( y  \ 
z )  ~<_  z  <->  y  ~<_  z ) )
2420, 22, 23mp3an12 1353 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  y  ->  ( (
y  \  z )  ~<_  z 
<->  y  ~<_  z ) )
2518, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  <-> 
y  ~<_  z ) )
2625orbi1d 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( ( y  \  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2726imbi2d 318 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( ( z 
C_  y  ->  (
( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2827albidv 1766 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  U. y )  ->  ( A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
2914, 28sylan2 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  -> 
( A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3029pm5.32i 642 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
31 df-3an 986 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
32 df-3an 986 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3330, 31, 323bitr4i 281 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
3433exbii 1717 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )
351, 34mpbir 213 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984   A.wal 1441   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   omcom 6689    ~<_ cdom 7564   cardccrd 8366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-reg 8104  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-groth 9245
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595
This theorem is referenced by:  axgroth4  9254
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