Theorem axgroth2 9104

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 9102	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
2		vex 3081	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3		ssdomg 7466	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ y -> z ~<_ y )
5	4	biantrurd 508	. . . . . . . 8 |- ( z C_ y -> ( y ~<_ z <-> ( z ~<_ y /\ y ~<_ z ) ) )
6		sbthb 7543	. . . . . . . 8 |- ( ( z ~<_ y /\ y ~<_ z ) <-> z ~~ y )
7	5, 6	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( y ~<_ z <-> z ~~ y ) )
8	7	orbi1d 702	. . . . . 6 |- ( z C_ y -> ( ( y ~<_ z \/ z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
9	8	pm5.74i 245	. . . . 5 |- ( ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
10	9	albii 1611	. . . 4 |- ( A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
11	10	3anbi3i 1181	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
12	11	exbii 1635	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
13	1, 12	mpbir 209	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1368   E.wex 1587   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   C_ wss 3437   class class class wbr 4401   ~~ cen 7418   ~<_ cdom 7419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-groth 9102

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423

This theorem is referenced by:  axgroth3  9110