MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth2 Structured version   Unicode version

Theorem axgroth2 9104
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth2
StepHypRef Expression
1 ax-groth 9102 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
2 vex 3081 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3 ssdomg 7466 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  C_  y  ->  z  ~<_  y ) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  y  ->  z  ~<_  y )
54biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  <->  ( z  ~<_  y  /\  y  ~<_  z ) ) )
6 sbthb 7543 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  <->  z  ~~  y )
75, 6syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  <->  z  ~~  y ) )
87orbi1d 702 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( y  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
98pm5.74i 245 . . . . 5  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
109albii 1611 . . . 4  |-  ( A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
11103anbi3i 1181 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) ) )
1211exbii 1635 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) ) )
131, 12mpbir 209 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   class class class wbr 4401    ~~ cen 7418    ~<_ cdom 7419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-groth 9102
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423
This theorem is referenced by:  axgroth3  9110
  Copyright terms: Public domain W3C validator