Theorem axgroth2 9206

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 9204	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
2		vex 3098	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3		ssdomg 7563	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ y -> z ~<_ y )
5	4	biantrurd 508	. . . . . . . 8 |- ( z C_ y -> ( y ~<_ z <-> ( z ~<_ y /\ y ~<_ z ) ) )
6		sbthb 7640	. . . . . . . 8 |- ( ( z ~<_ y /\ y ~<_ z ) <-> z ~~ y )
7	5, 6	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( y ~<_ z <-> z ~~ y ) )
8	7	orbi1d 702	. . . . . 6 |- ( z C_ y -> ( ( y ~<_ z \/ z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
9	8	pm5.74i 245	. . . . 5 |- ( ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
10	9	albii 1627	. . . 4 |- ( A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
11	10	3anbi3i 1190	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
12	11	exbii 1654	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
13	1, 12	mpbir 209	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 974   A.wal 1381   E.wex 1599   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   class class class wbr 4437   ~~ cen 7515   ~<_ cdom 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-groth 9204

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520

This theorem is referenced by:  axgroth3  9212