MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth2 Structured version   Unicode version

Theorem axgroth2 9192
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth2
StepHypRef Expression
1 ax-groth 9190 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
2 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3 ssdomg 7551 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  C_  y  ->  z  ~<_  y ) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  y  ->  z  ~<_  y )
54biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  <->  ( z  ~<_  y  /\  y  ~<_  z ) ) )
6 sbthb 7628 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ~<_  y  /\  y  ~<_  z )  <->  z  ~~  y )
75, 6syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  y  ->  (
y  ~<_  z  <->  z  ~~  y ) )
87orbi1d 702 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( y  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <-> 
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
98pm5.74i 245 . . . . 5  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) )
109albii 1615 . . . 4  |-  ( A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) )
11103anbi3i 1184 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) ) ) )
1211exbii 1639 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v
( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( z  ~~  y  \/  z  e.  y ) ) ) )
131, 12mpbir 209 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  y )  /\  E. w  e.  y  A. v ( v  C_  z  ->  v  e.  w ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( y  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968   A.wal 1372   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    ~~ cen 7503    ~<_ cdom 7504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-groth 9190
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508
This theorem is referenced by:  axgroth3  9198
  Copyright terms: Public domain W3C validator