Theorem axgroth2 9192

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth2	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v

Proof of Theorem axgroth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 9190	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
2		vex 3109	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3		ssdomg 7551	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V -> ( z C_ y -> z ~<_ y ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( z C_ y -> z ~<_ y )
5	4	biantrurd 508	. . . . . . . 8 |- ( z C_ y -> ( y ~<_ z <-> ( z ~<_ y /\ y ~<_ z ) ) )
6		sbthb 7628	. . . . . . . 8 |- ( ( z ~<_ y /\ y ~<_ z ) <-> z ~~ y )
7	5, 6	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( z C_ y -> ( y ~<_ z <-> z ~~ y ) )
8	7	orbi1d 702	. . . . . 6 |- ( z C_ y -> ( ( y ~<_ z \/ z e. y ) <-> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
9	8	pm5.74i 245	. . . . 5 |- ( ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
10	9	albii 1615	. . . 4 |- ( A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
11	10	3anbi3i 1184	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
12	11	exbii 1639	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
13	1, 12	mpbir 209	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( y ~<_ z \/ z e. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   A.wal 1372   E.wex 1591   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ~~ cen 7503   ~<_ cdom 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-groth 9190

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508

This theorem is referenced by:  axgroth3  9198