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Theorem axextnd 8957
Description: A version of the Axiom of Extensionality with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
axextnd  |-  E. x
( ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z )

Proof of Theorem axextnd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfnae 2026 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
2 nfnae 2026 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
31, 2nfan 1870 . . . . . . 7  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
4 nfcvf 2649 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
54adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
65nfcrd 2630 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  y )
7 nfcvf 2649 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
98nfcrd 2630 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  z )
106, 9nfbid 1875 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  <-> 
w  e.  z ) )
11 elequ1 1765 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
12 elequ1 1765 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
1311, 12bibi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  e.  y  <-> 
w  e.  z )  <-> 
( x  e.  y  <-> 
x  e.  z ) ) )
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  <->  w  e.  z )  <->  ( x  e.  y  <->  x  e.  z
) ) ) )
153, 10, 14cbvald 1993 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( w  e.  y  <->  w  e.  z
)  <->  A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z ) ) )
16 axext3 2442 . . . . . 6  |-  ( A. w ( w  e.  y  <->  w  e.  z
)  ->  y  =  z )
1715, 16syl6bir 229 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z ) )
18 19.8a 1801 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  E. x  y  =  z )
1917, 18syl6 33 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  E. x  y  =  z )
)
2019ex 434 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( A. x
( x  e.  y  <-> 
x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z ) ) )
21 ax6e 1966 . . . . 5  |-  E. x  x  =  z
22 ax-7 1734 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  z  -> 
y  =  z ) )
2322aleximi 1627 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x  x  =  z  ->  E. x  y  =  z )
)
2421, 23mpi 17 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x  y  =  z )
2524a1d 25 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z )
)
26 ax6e 1966 . . . . 5  |-  E. x  x  =  y
27 ax-7 1734 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  -> 
z  =  y ) )
28 equcomi 1737 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  y  =  z )
2927, 28syl6 33 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  -> 
y  =  z ) )
3029aleximi 1627 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x  x  =  y  ->  E. x  y  =  z )
)
3126, 30mpi 17 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x  y  =  z )
3231a1d 25 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z )  ->  E. x  y  =  z )
)
3320, 25, 32pm2.61ii 165 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  E. x  y  =  z )
343319.35ri 1662 1  |-  E. x
( ( x  e.  y  <->  x  e.  z
)  ->  y  =  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1372   E.wex 1591   F/_wnfc 2610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612
This theorem is referenced by:  zfcndext  8982  axextprim  28536  axextdfeq  28795  axextndbi  28802
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