Theorem axextdist 13866

Description: ax-ext 1865 with distinctors instead of distinct variable restrictions.

Assertion

Ref	Expression
axextdist	|- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (A.z(z e. x <-> z e. y) -> x = y))

Proof of Theorem axextdist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbnae 1507	. . . 4 |- (-. A.z z = x -> A.z -. A.z z = x)
2		hbnae 1507	. . . 4 |- (-. A.z z = y -> A.z -. A.z z = y)
3	1, 2	hban 1356	. . 3 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.z(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
4		dveel2 1748	. . . . 5 |- (-. A.z z = x -> (w e. x -> A.z w e. x))
5	4	adantr 425	. . . 4 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. x -> A.z w e. x))
6		dveel2 1748	. . . . 5 |- (-. A.z z = y -> (w e. y -> A.z w e. y))
7	6	adantl 424	. . . 4 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. y -> A.z w e. y))
8	3, 5, 7	hbbid 1470	. . 3 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((w e. x <-> w e. y) -> A.z(w e. x <-> w e. y)))
9		elequ1 1496	. . . . 5 |- (w = z -> (w e. x <-> z e. x))
10		elequ1 1496	. . . . 5 |- (w = z -> (w e. y <-> z e. y))
11	9, 10	bibi12d 691	. . . 4 |- (w = z -> ((w e. x <-> w e. y) <-> (z e. x <-> z e. y)))
12	11	a1i 8	. . 3 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w = z -> ((w e. x <-> w e. y) <-> (z e. x <-> z e. y))))
13	3, 8, 12	cbvald 1702	. 2 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (A.w(w e. x <-> w e. y) <-> A.z(z e. x <-> z e. y)))
14		axext3 1867	. 2 |- (A.w(w e. x <-> w e. y) -> x = y)
15	13, 14	syl6bir 232	1 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (A.z(z e. x <-> z e. y) -> x = y))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300

This theorem is referenced by:  axext4dist 13867

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-10 1308  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-an 242

Copyright terms: Public domain