Theorem axeuclid 23160

Description: Euclid's axiom. Take an angle B A C and a point D between B and C. Now, if you extend the segment A D to a point T, then T lies between two points x and y that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axeuclid	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, N, y   x, T, y

Proof of Theorem axeuclid

Dummy variables i p q r s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl21 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
2		simpl22 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
3	1, 2	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
4		simpl23 1068	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5		simpl3r 1044	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
6	4, 5	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) )
7		simprll 761	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> p e. ( 0 [,] 1 ) )
8		simprlr 762	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> q e. ( 0 [,] 1 ) )
9		simp21 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> A e. ( EE ` N ) )
11		fveecn 23099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
12	10, 11	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
13		simp3r 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> T e. ( EE ` N ) )
15		fveecn 23099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
16	14, 15	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
17		mulid2 9376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( 1 x. ( A ` i ) ) = ( A ` i ) )
18		mul02 9539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( T ` i ) e. CC -> ( 0 x. ( T ` i ) ) = 0 )
19	17, 18	oveqan12d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( ( A ` i ) + 0 ) )
20		addid1 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( ( A ` i ) + 0 ) = ( A ` i ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( A ` i ) + 0 ) = ( A ` i ) )
22	19, 21	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
23	12, 16, 22	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
24		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = 0 -> ( 1 - p ) = ( 1 - 0 ) )
25		1m0e1 10424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 - 0 ) = 1
26	24, 25	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = 0 -> ( 1 - p ) = 1 )
27	26	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 0 -> ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) = ( 1 x. ( A ` i ) ) )
28		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 0 -> ( p x. ( T ` i ) ) = ( 0 x. ( T ` i ) ) )
29	27, 28	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = 0 -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) )
30	29	eqeq1d 2446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = 0 -> ( ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) <-> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) ) )
31	30	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) <-> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) ) )
32	23, 31	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
33	32	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) <-> ( D ` i ) = ( A ` i ) ) )
34		eqcom 2440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D ` i ) = ( A ` i ) <-> ( A ` i ) = ( D ` i ) )
35	33, 34	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) <-> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
36	35	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) -> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
37	36	adantrd 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
38	37	ralimdva 2789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
39	38	impancom 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( p = 0 -> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
40	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
41		simp3l 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
43		eqeefv 23100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( A = D <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( A = D <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
45	39, 44	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( p = 0 -> A = D ) )
46	45	necon3d 2641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( A =/= D -> p =/= 0 ) )
47	46	impr 619	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) -> p =/= 0 )
48	47	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> p =/= 0 )
49		eqtr2 2456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
50	49	ralimi 2786	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
51	50	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
52	51	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
53		axeuclidlem 23159	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) /\ p =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
54	3, 6, 7, 8, 48, 52, 53	syl231anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
55	54	exp32 605	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) ) )
56	55	rexlimdvv 2842	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
57		brbtwn 23096	. . . . 5 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) -> ( D Btwn <. A , T >. <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) ) )
58	41, 9, 13, 57	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( D Btwn <. A , T >. <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) ) )
59		simp22 1022	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
60		simp23 1023	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
61		brbtwn 23096	. . . . 5 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> ( D Btwn <. B , C >. <-> E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
62	41, 59, 60, 61	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( D Btwn <. B , C >. <-> E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
63	58, 62	3anbi12d 1290	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) ) )
64		r19.26 2844	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
65	64	2rexbii 2737	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
66		reeanv 2883	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
67	65, 66	bitri 249	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
68	67	anbi1i 695	. . . 4 |- ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
69		r19.41v 2868	. . . . . 6 |- ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
70	69	rexbii 2735	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
71		r19.41v 2868	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
72	70, 71	bitri 249	. . . 4 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
73		df-3an 967	. . . 4 |- ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
74	68, 72, 73	3bitr4i 277	. . 3 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) )
75	63, 74	syl6bbr 263	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) )
76		simpl22 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
77		simpl21 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
78		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
79		brbtwn 23096	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) ) )
80	76, 77, 78, 79	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) ) )
81		simpl23 1068	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
82		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
83		brbtwn 23096	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( C Btwn <. A , y >. <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) ) )
84	81, 77, 82, 83	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. A , y >. <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) ) )
85		simpl3r 1044	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
86		brbtwn 23096	. . . . . 6 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( T Btwn <. x , y >. <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
87	85, 78, 82, 86	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( T Btwn <. x , y >. <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
88	80, 84, 87	3anbi123d 1289	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
89		r19.26-3 2846	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
90	89	rexbii 2735	. . . . . 6 |- ( E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
91	90	2rexbii 2737	. . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
92		3reeanv 2884	. . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
93	91, 92	bitri 249	. . . 4 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
94	88, 93	syl6bbr 263	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
95	94	2rexbidva 2751	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
96	56, 75, 95	3imtr4d 268	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   <.cop 3878   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   - cmin 9587   NNcn 10314   [,]cicc 11295   ...cfz 11429   EEcee 23085   Btwn cbtwn 23086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-z 10639  df-uz 10854  df-icc 11299  df-fz 11430  df-ee 23088  df-btwn 23089

This theorem is referenced by:  eengtrkge  23183