Theorem axeuclid 24039

Description: Euclid's axiom. Take an angle B A C and a point D between B and C. Now, if you extend the segment A D to a point T, then T lies between two points x and y that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axeuclid	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, N, y   x, T, y

Proof of Theorem axeuclid

Dummy variables i p q r s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl21 1074	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
2		simpl22 1075	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
3	1, 2	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
4		simpl23 1076	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5		simpl3r 1052	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
6	4, 5	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) )
7		simprll 761	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> p e. ( 0 [,] 1 ) )
8		simprlr 762	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> q e. ( 0 [,] 1 ) )
9		simp21 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> A e. ( EE ` N ) )
11		fveecn 23978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
12	10, 11	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
13		simp3r 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> T e. ( EE ` N ) )
15		fveecn 23978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
16	14, 15	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
17		mulid2 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( 1 x. ( A ` i ) ) = ( A ` i ) )
18		mul02 9758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( T ` i ) e. CC -> ( 0 x. ( T ` i ) ) = 0 )
19	17, 18	oveqan12d 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( ( A ` i ) + 0 ) )
20		addid1 9760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( ( A ` i ) + 0 ) = ( A ` i ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( A ` i ) + 0 ) = ( A ` i ) )
22	19, 21	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
23	12, 16, 22	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
24		oveq2 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = 0 -> ( 1 - p ) = ( 1 - 0 ) )
25		1m0e1 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 - 0 ) = 1
26	24, 25	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = 0 -> ( 1 - p ) = 1 )
27	26	oveq1d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 0 -> ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) = ( 1 x. ( A ` i ) ) )
28		oveq1 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 0 -> ( p x. ( T ` i ) ) = ( 0 x. ( T ` i ) ) )
29	27, 28	oveq12d 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = 0 -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) )
30	29	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = 0 -> ( ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) <-> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) ) )
31	30	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) <-> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) ) )
32	23, 31	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
33	32	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) <-> ( D ` i ) = ( A ` i ) ) )
34		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D ` i ) = ( A ` i ) <-> ( A ` i ) = ( D ` i ) )
35	33, 34	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) <-> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
36	35	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) -> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
37	36	adantrd 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
38	37	ralimdva 2872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
39	38	impancom 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( p = 0 -> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
40	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
41		simp3l 1024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
43		eqeefv 23979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( A = D <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( A = D <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
45	39, 44	sylibrd 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( p = 0 -> A = D ) )
46	45	necon3d 2691	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( A =/= D -> p =/= 0 ) )
47	46	impr 619	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) -> p =/= 0 )
48	47	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> p =/= 0 )
49		eqtr2 2494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
50	49	ralimi 2857	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
51	50	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
52	51	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
53		axeuclidlem 24038	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) /\ p =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
54	3, 6, 7, 8, 48, 52, 53	syl231anc 1248	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
55	54	exp32 605	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) ) )
56	55	rexlimdvv 2961	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
57		brbtwn 23975	. . . . 5 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) -> ( D Btwn <. A , T >. <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) ) )
58	41, 9, 13, 57	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( D Btwn <. A , T >. <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) ) )
59		simp22 1030	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
60		simp23 1031	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
61		brbtwn 23975	. . . . 5 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> ( D Btwn <. B , C >. <-> E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
62	41, 59, 60, 61	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( D Btwn <. B , C >. <-> E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
63	58, 62	3anbi12d 1300	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) ) )
64		r19.26 2989	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
65	64	2rexbii 2966	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
66		reeanv 3029	. . . . . 6 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
67	65, 66	bitri 249	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
68	67	anbi1i 695	. . . 4 |- ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
69		r19.41v 3014	. . . . . 6 |- ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
70	69	rexbii 2965	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
71		r19.41v 3014	. . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) ( E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
72	70, 71	bitri 249	. . . 4 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
73		df-3an 975	. . . 4 |- ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
74	68, 72, 73	3bitr4i 277	. . 3 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) )
75	63, 74	syl6bbr 263	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) )
76		simpl22 1075	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
77		simpl21 1074	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
78		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
79		brbtwn 23975	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) ) )
80	76, 77, 78, 79	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) ) )
81		simpl23 1076	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
82		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
83		brbtwn 23975	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( C Btwn <. A , y >. <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) ) )
84	81, 77, 82, 83	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. A , y >. <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) ) )
85		simpl3r 1052	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
86		brbtwn 23975	. . . . . 6 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( T Btwn <. x , y >. <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
87	85, 78, 82, 86	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( T Btwn <. x , y >. <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
88	80, 84, 87	3anbi123d 1299	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
89		r19.26-3 2991	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
90	89	rexbii 2965	. . . . . 6 |- ( E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
91	90	2rexbii 2966	. . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
92		3reeanv 3030	. . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
93	91, 92	bitri 249	. . . 4 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
94	88, 93	syl6bbr 263	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
95	94	2rexbidva 2979	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
96	56, 75, 95	3imtr4d 268	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494   + caddc 9496   x. cmul 9498   - cmin 9806   NNcn 10537   [,]cicc 11533   ...cfz 11673   EEcee 23964   Btwn cbtwn 23965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-z 10866  df-uz 11084  df-icc 11537  df-fz 11674  df-ee 23967  df-btwn 23968

This theorem is referenced by:  eengtrkge  24062