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Theorem axeuclid 23362
Description: Euclid's axiom. Take an angle  B A C and a point  D between  B and  C. Now, if you extend the segment  A D to a point  T, then  T lies between two points  x and  y that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclid  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. A ,  T >.  /\  D  Btwn  <. B ,  C >.  /\  A  =/=  D )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y    x, D, y   
x, N, y    x, T, y

Proof of Theorem axeuclid
Dummy variables  i  p  q  r  s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl21 1066 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2 simpl22 1067 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
31, 2jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
4 simpl23 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 simpl3r 1044 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  T  e.  ( EE `  N ) )
64, 5jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  T  e.  ( EE `  N ) ) )
7 simprll 761 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  p  e.  ( 0 [,] 1
) )
8 simprlr 762 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  q  e.  ( 0 [,] 1
) )
9 simp21 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
11 fveecn 23301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
1210, 11sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
13 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  T  e.  ( EE `  N ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  ->  T  e.  ( EE `  N ) )
15 fveecn 23301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( T `  i )  e.  CC )
1614, 15sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( T `  i )  e.  CC )
17 mulid2 9496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  i )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( A `
 i ) )  =  ( A `  i ) )
18 mul02 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T `  i )  e.  CC  ->  (
0  x.  ( T `
 i ) )  =  0 )
1917, 18oveqan12d 6220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( T `  i )  e.  CC )  -> 
( ( 1  x.  ( A `  i
) )  +  ( 0  x.  ( T `
 i ) ) )  =  ( ( A `  i )  +  0 ) )
20 addid1 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  i )  e.  CC  ->  (
( A `  i
)  +  0 )  =  ( A `  i ) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( T `  i )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  +  0 )  =  ( A `
 i ) )
2219, 21eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( T `  i )  e.  CC )  -> 
( ( 1  x.  ( A `  i
) )  +  ( 0  x.  ( T `
 i ) ) )  =  ( A `
 i ) )
2312, 16, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( A `  i ) )  +  ( 0  x.  ( T `  i )
) )  =  ( A `  i ) )
24 oveq2 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  0  ->  (
1  -  p )  =  ( 1  -  0 ) )
25 1m0e1 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2624, 25syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  0  ->  (
1  -  p )  =  1 )
2726oveq1d 6216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  0  ->  (
( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( 1  x.  ( A `  i
) ) )
28 oveq1 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  0  ->  (
p  x.  ( T `
 i ) )  =  ( 0  x.  ( T `  i
) ) )
2927, 28oveq12d 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  0  ->  (
( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A `  i ) )  +  ( 0  x.  ( T `  i )
) ) )
3029eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  0  ->  (
( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  =  ( A `
 i )  <->  ( (
1  x.  ( A `
 i ) )  +  ( 0  x.  ( T `  i
) ) )  =  ( A `  i
) ) )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  =  ( A `  i
)  <->  ( ( 1  x.  ( A `  i ) )  +  ( 0  x.  ( T `  i )
) )  =  ( A `  i ) ) )
3223, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  =  ( A `  i ) )
3332eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  <->  ( D `  i )  =  ( A `  i ) ) )
34 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D `  i )  =  ( A `  i )  <->  ( A `  i )  =  ( D `  i ) )
3533, 34syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  <->  ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
3635biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  ->  ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
3736adantrd 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( A `  i
)  =  ( D `
 i ) ) )
3837ralimdva 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
3938impancom 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  ( p  =  0  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
409ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
41 simp3l 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
43 eqeefv 23302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  =  D  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
4440, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  ( A  =  D  <->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( D `
 i ) ) )
4539, 44sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  ( p  =  0  ->  A  =  D ) )
4645necon3d 2676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  ( A  =/= 
D  ->  p  =/=  0 ) )
4746impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )  ->  p  =/=  0
)
4847anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  p  =/=  0 )
49 eqtr2 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  q
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i
) ) ) )
5049ralimi 2819 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )
5150adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )
5251ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )
53 axeuclidlem 23361 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  p  =/=  0
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i
) )  +  ( r  x.  ( x `
 i ) ) )  /\  ( C `
 i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i
) )  +  ( s  x.  ( y `
 i ) ) )  /\  ( T `
 i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i
) )  +  ( u  x.  ( y `
 i ) ) ) ) )
543, 6, 7, 8, 48, 52, 53syl231anc 1239 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i
) )  +  ( r  x.  ( x `
 i ) ) )  /\  ( C `
 i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i
) )  +  ( s  x.  ( y `
 i ) ) )  /\  ( T `
 i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i
) )  +  ( u  x.  ( y `
 i ) ) ) ) )
5554exp32 605 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  /\  A  =/=  D )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i
) )  +  ( r  x.  ( x `
 i ) ) )  /\  ( C `
 i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i
) )  +  ( s  x.  ( y `
 i ) ) )  /\  ( T `
 i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i
) )  +  ( u  x.  ( y `
 i ) ) ) ) ) ) )
5655rexlimdvv 2953 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( E. p  e.  ( 0 [,] 1
) E. q  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  /\  A  =/=  D )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i
) )  +  ( r  x.  ( x `
 i ) ) )  /\  ( C `
 i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i
) )  +  ( s  x.  ( y `
 i ) ) )  /\  ( T `
 i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i
) )  +  ( u  x.  ( y `
 i ) ) ) ) ) )
57 brbtwn 23298 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( D  Btwn  <. A ,  T >.  <->  E. p  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) ) ) )
5841, 9, 13, 57syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( D  Btwn  <. A ,  T >. 
<->  E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) ) ) )
59 simp22 1022 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
60 simp23 1023 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
61 brbtwn 23298 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( D  Btwn  <. B ,  C >.  <->  E. q  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  q
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
6241, 59, 60, 61syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( D  Btwn  <. B ,  C >. 
<->  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  q
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
6358, 623anbi12d 1291 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. A ,  T >.  /\  D  Btwn  <. B ,  C >.  /\  A  =/=  D )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) )  /\  A  =/=  D
) ) )
64 r19.26 2955 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )
65642rexbii 2863 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  <->  E. p  e.  ( 0 [,] 1
) E. q  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
66 reeanv 2994 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )
6765, 66bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )
6867anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( ( E. p  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
69 r19.41v 2979 . . . . . 6  |-  ( E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
7069rexbii 2862 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  E. p  e.  ( 0 [,] 1
) ( E. q  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  /\  A  =/=  D ) )
71 r19.41v 2979 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) ( E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
7270, 71bitri 249 . . . 4  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
73 df-3an 967 . . . 4  |-  ( ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) )  /\  A  =/=  D )  <->  ( ( E. p  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
7468, 72, 733bitr4i 277 . . 3  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) )  /\  A  =/=  D ) )
7563, 74syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. A ,  T >.  /\  D  Btwn  <. B ,  C >.  /\  A  =/=  D )  <->  E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )
76 simpl22 1067 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
77 simpl21 1066 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
78 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
79 brbtwn 23298 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  <->  E. r  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) ) ) )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  <->  E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i ) )  +  ( r  x.  (
x `  i )
) ) ) )
81 simpl23 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
82 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
83 brbtwn 23298 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( C  Btwn  <. A ,  y
>. 
<->  E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i
)  =  ( ( ( 1  -  s
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( s  x.  ( y `  i
) ) ) ) )
8481, 77, 82, 83syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( C  Btwn  <. A ,  y >.  <->  E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) ) ) )
85 simpl3r 1044 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  T  e.  ( EE `  N ) )
86 brbtwn 23298 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  ( EE
`  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( T  Btwn  <. x ,  y
>. 
<->  E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i
)  =  ( ( ( 1  -  u
)  x.  ( x `
 i ) )  +  ( u  x.  ( y `  i
) ) ) ) )
8785, 78, 82, 86syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( T  Btwn  <.
x ,  y >.  <->  E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) ) )
8880, 84, 873anbi123d 1290 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
)  <->  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  E. s  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) ) )
89 r19.26-3 2957 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i ) )  +  ( r  x.  (
x `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) ) )
9089rexbii 2862 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  E. u  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) )
91902rexbii 2863 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) )
92 3reeanv 2995 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i ) )  +  ( r  x.  (
x `  i )
) )  /\  E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) ) )
9391, 92bitri 249 . . . 4  |-  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i ) )  +  ( r  x.  (
x `  i )
) )  /\  E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) ) )
9488, 93syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
)  <->  E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) ) )
95942rexbidva 2874 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
)  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. y  e.  ( EE `  N ) E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) ) )
9656, 75, 953imtr4d 268 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. A ,  T >.  /\  D  Btwn  <. B ,  C >.  /\  A  =/=  D )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   <.cop 3992   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399    - cmin 9707   NNcn 10434   [,]cicc 11415   ...cfz 11555   EEcee 23287    Btwn cbtwn 23288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-z 10759  df-uz 10974  df-icc 11419  df-fz 11556  df-ee 23290  df-btwn 23291
This theorem is referenced by:  eengtrkge  23385
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