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Theorem axeuclid 23765
Description: Euclid's axiom. Take an angle  B A C and a point  D between  B and  C. Now, if you extend the segment  A D to a point  T, then  T lies between two points  x and  y that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclid  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. A ,  T >.  /\  D  Btwn  <. B ,  C >.  /\  A  =/=  D )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y    x, D, y   
x, N, y    x, T, y

Proof of Theorem axeuclid
StepHypRef Expression
1 simpl21 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2 simpl22 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
31, 2jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
4 simpl23 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 simpl3r 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  T  e.  ( EE `  N ) )
64, 5jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  T  e.  ( EE `  N ) ) )
7 simprll 741 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  p  e.  ( 0 [,] 1
) )
8 simprlr 742 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  q  e.  ( 0 [,] 1
) )
9 simp21 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
109ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
11 fveecn 23704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
1210, 11sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
13 simp3r 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  T  e.  ( EE `  N ) )
1413ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  ->  T  e.  ( EE `  N ) )
15 fveecn 23704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( T `  i )  e.  CC )
1614, 15sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( T `  i )  e.  CC )
17 mulid2 8715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  i )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( A `
 i ) )  =  ( A `  i ) )
18 mul02 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T `  i )  e.  CC  ->  (
0  x.  ( T `
 i ) )  =  0 )
1917, 18oveqan12d 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( T `  i )  e.  CC )  -> 
( ( 1  x.  ( A `  i
) )  +  ( 0  x.  ( T `
 i ) ) )  =  ( ( A `  i )  +  0 ) )
20 addid1 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A `  i )  e.  CC  ->  (
( A `  i
)  +  0 )  =  ( A `  i ) )
2120adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( T `  i )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  +  0 )  =  ( A `
 i ) )
2219, 21eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( T `  i )  e.  CC )  -> 
( ( 1  x.  ( A `  i
) )  +  ( 0  x.  ( T `
 i ) ) )  =  ( A `
 i ) )
2312, 16, 22syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( 1  x.  ( A `  i ) )  +  ( 0  x.  ( T `  i )
) )  =  ( A `  i ) )
24 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  0  ->  (
1  -  p )  =  ( 1  -  0 ) )
25 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  CC
2625subid1i 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2724, 26syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  0  ->  (
1  -  p )  =  1 )
2827oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  0  ->  (
( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( 1  x.  ( A `  i
) ) )
29 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  0  ->  (
p  x.  ( T `
 i ) )  =  ( 0  x.  ( T `  i
) ) )
3028, 29oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  0  ->  (
( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A `  i ) )  +  ( 0  x.  ( T `  i )
) ) )
3130eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  0  ->  (
( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  =  ( A `
 i )  <->  ( (
1  x.  ( A `
 i ) )  +  ( 0  x.  ( T `  i
) ) )  =  ( A `  i
) ) )
3231ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  =  ( A `  i
)  <->  ( ( 1  x.  ( A `  i ) )  +  ( 0  x.  ( T `  i )
) )  =  ( A `  i ) ) )
3323, 32mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  =  ( A `  i ) )
3433eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  <->  ( D `  i )  =  ( A `  i ) ) )
35 eqcom 2255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D `  i )  =  ( A `  i )  <->  ( A `  i )  =  ( D `  i ) )
3634, 35syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  <->  ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
3736biimpd 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  ->  ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
3837adantrd 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( A `  i
)  =  ( D `
 i ) ) )
3938ralimdva 2583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  p  =  0 )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
4039impancom 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  ( p  =  0  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
419ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
42 simp3l 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
4342ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
44 eqeefv 23705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  =  D  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( A `  i )  =  ( D `  i ) ) )
4541, 43, 44syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  ( A  =  D  <->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( D `
 i ) ) )
4640, 45sylibrd 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  ( p  =  0  ->  A  =  D ) )
4746necon3d 2450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )  ->  ( A  =/= 
D  ->  p  =/=  0 ) )
4847impr 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )  ->  p  =/=  0
)
4948anasss 631 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  p  =/=  0 )
50 eqtr2 2271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  q
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i
) ) ) )
5150ralimi 2580 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )
5251adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )
5352ad2antll 712 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )
54 axeuclidlem 23764 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( p  e.  (
0 [,] 1 )  /\  q  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  p  =/=  0
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i
) )  +  ( r  x.  ( x `
 i ) ) )  /\  ( C `
 i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i
) )  +  ( s  x.  ( y `
 i ) ) )  /\  ( T `
 i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i
) )  +  ( u  x.  ( y `
 i ) ) ) ) )
553, 6, 7, 8, 49, 53, 54syl231anc 1207 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i
) )  +  ( r  x.  ( x `
 i ) ) )  /\  ( C `
 i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i
) )  +  ( s  x.  ( y `
 i ) ) )  /\  ( T `
 i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i
) )  +  ( u  x.  ( y `
 i ) ) ) ) )
5655exp32 591 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( p  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  q  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  /\  A  =/=  D )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i
) )  +  ( r  x.  ( x `
 i ) ) )  /\  ( C `
 i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i
) )  +  ( s  x.  ( y `
 i ) ) )  /\  ( T `
 i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i
) )  +  ( u  x.  ( y `
 i ) ) ) ) ) ) )
5756rexlimdvv 2635 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( E. p  e.  ( 0 [,] 1
) E. q  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  /\  A  =/=  D )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i
) )  +  ( r  x.  ( x `
 i ) ) )  /\  ( C `
 i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i
) )  +  ( s  x.  ( y `
 i ) ) )  /\  ( T `
 i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i
) )  +  ( u  x.  ( y `
 i ) ) ) ) ) )
58 brbtwn 23701 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( D  Btwn  <. A ,  T >.  <->  E. p  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) ) ) )
5942, 9, 13, 58syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( D  Btwn  <. A ,  T >. 
<->  E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) ) ) )
60 simp22 994 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
61 simp23 995 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
62 brbtwn 23701 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( D  Btwn  <. B ,  C >.  <->  E. q  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  q
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
6342, 60, 61, 62syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( D  Btwn  <. B ,  C >. 
<->  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  q
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
6459, 633anbi12d 1258 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. A ,  T >.  /\  D  Btwn  <. B ,  C >.  /\  A  =/=  D )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) )  /\  A  =/=  D
) ) )
65 r19.26 2637 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )
66652rexbii 2534 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  <->  E. p  e.  ( 0 [,] 1
) E. q  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
67 reeanv 2669 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )
6866, 67bitri 242 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) ) )
6968anbi1i 679 . . . 4  |-  ( ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( ( E. p  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
70 r19.41v 2655 . . . . . 6  |-  ( E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
7170rexbii 2532 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  E. p  e.  ( 0 [,] 1
) ( E. q  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  /\  A  =/=  D ) )
72 r19.41v 2655 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) ( E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
7371, 72bitri 242 . . . 4  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
74 df-3an 941 . . . 4  |-  ( ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) )  /\  A  =/=  D )  <->  ( ( E. p  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i
)  =  ( ( ( 1  -  p
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i
) ) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) ) )  /\  A  =/=  D ) )
7569, 73, 743bitr4i 270 . . 3  |-  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i )
)  +  ( p  x.  ( T `  i ) ) )  /\  ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i )
)  +  ( q  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  A  =/= 
D )  <->  ( E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i ) )  +  ( p  x.  ( T `  i )
) )  /\  E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( D `  i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i ) )  +  ( q  x.  ( C `  i )
) )  /\  A  =/=  D ) )
7664, 75syl6bbr 256 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. A ,  T >.  /\  D  Btwn  <. B ,  C >.  /\  A  =/=  D )  <->  E. p  e.  ( 0 [,] 1 ) E. q  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  p )  x.  ( A `  i
) )  +  ( p  x.  ( T `
 i ) ) )  /\  ( D `
 i )  =  ( ( ( 1  -  q )  x.  ( B `  i
) )  +  ( q  x.  ( C `
 i ) ) ) )  /\  A  =/=  D ) ) )
77 simpl22 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
78 simpl21 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
79 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
80 brbtwn 23701 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  <->  E. r  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) ) ) )
8177, 78, 79, 80syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  <->  E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i ) )  +  ( r  x.  (
x `  i )
) ) ) )
82 simpl23 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
83 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
84 brbtwn 23701 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( C  Btwn  <. A ,  y
>. 
<->  E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i
)  =  ( ( ( 1  -  s
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( s  x.  ( y `  i
) ) ) ) )
8582, 78, 83, 84syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( C  Btwn  <. A ,  y >.  <->  E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) ) ) )
86 simpl3r 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  T  e.  ( EE `  N ) )
87 brbtwn 23701 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  ( EE
`  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( T  Btwn  <. x ,  y
>. 
<->  E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i
)  =  ( ( ( 1  -  u
)  x.  ( x `
 i ) )  +  ( u  x.  ( y `  i
) ) ) ) )
8886, 79, 83, 87syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( T  Btwn  <.
x ,  y >.  <->  E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) ) )
8981, 85, 883anbi123d 1257 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
)  <->  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  E. s  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  E. u  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) ) )
90 r19.26-3 2639 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i ) )  +  ( r  x.  (
x `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) ) )
9190rexbii 2532 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  E. u  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) )
92912rexbii 2534 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  E. r  e.  ( 0 [,] 1
) E. s  e.  ( 0 [,] 1
) E. u  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) )
93 3reeanv 2670 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i ) )  +  ( r  x.  (
x `  i )
) )  /\  E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) ) )
9492, 93bitri 242 . . . 4  |-  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  r
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( r  x.  ( x `  i
) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) )  <->  ( E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i ) )  +  ( r  x.  (
x `  i )
) )  /\  E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i ) )  +  ( s  x.  (
y `  i )
) )  /\  E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  ( x `  i ) )  +  ( u  x.  (
y `  i )
) ) ) )
9589, 94syl6bbr 256 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
)  <->  E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) ) )
96952rexbidva 2546 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
)  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. y  e.  ( EE `  N ) E. r  e.  ( 0 [,] 1 ) E. s  e.  ( 0 [,] 1 ) E. u  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  r )  x.  ( A `  i )
)  +  ( r  x.  ( x `  i ) ) )  /\  ( C `  i )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  ( A `  i )
)  +  ( s  x.  ( y `  i ) ) )  /\  ( T `  i )  =  ( ( ( 1  -  u )  x.  (
x `  i )
)  +  ( u  x.  ( y `  i ) ) ) ) ) )
9757, 76, 963imtr4d 261 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  T  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <. A ,  T >.  /\  D  Btwn  <. B ,  C >.  /\  A  =/=  D )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. y  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  C  Btwn  <. A , 
y >.  /\  T  Btwn  <.
x ,  y >.
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   <.cop 3547   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   NNcn 9626   [,]cicc 10537   ...cfz 10660   EEcee 23690    Btwn cbtwn 23691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-z 9904  df-uz 10110  df-icc 10541  df-fz 10661  df-ee 23693  df-btwn 23694
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