MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdistr Structured version   Unicode version

Theorem axdistr 9571
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 9595 be used later. Instead, use adddi 9617. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  +  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 9555 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 addcnsrec 9556 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 9557 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( z  +R  v )  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  +R  u ) ) ) ) ,  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcnsrec 9557 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
5 mulcnsrec 9557 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) ,  ( ( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) )
>. ] `'  _E  )
6 addcnsrec 9556 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )  /\  ( ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  v )  +R  (
x  .R  u )
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. ] `'  _E  +  [ <. (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ,  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ) ,  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  +R  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) ) ) >. ] `'  _E  )
7 addclsr 9496 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
8 addclsr 9496 . . . 4  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
97, 8anim12i 568 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
109an4s 833 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
11 mulclsr 9497 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
12 m1r 9495 . . . . . 6  |-  -1R  e.  R.
13 mulclsr 9497 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
14 mulclsr 9497 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
1512, 13, 14sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
16 addclsr 9496 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
1711, 15, 16syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
1817an4s 833 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
19 mulclsr 9497 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
20 mulclsr 9497 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
21 addclsr 9496 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
2219, 20, 21syl2anr 480 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
2322an42s 834 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
2418, 23jca 534 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. ) )
25 mulclsr 9497 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( x  .R  v
)  e.  R. )
26 mulclsr 9497 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( y  .R  u
)  e.  R. )
27 mulclsr 9497 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
)  e.  R. )
2812, 26, 27sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
)  e.  R. )
29 addclsr 9496 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )  e.  R. )
3025, 28, 29syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R. )
3130an4s 833 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R. )
32 mulclsr 9497 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( y  .R  v
)  e.  R. )
33 mulclsr 9497 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( x  .R  u
)  e.  R. )
34 addclsr 9496 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  v
)  e.  R.  /\  ( x  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  v )  +R  (
x  .R  u )
)  e.  R. )
3532, 33, 34syl2anr 480 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) )  e.  R. )
3635an42s 834 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) )  e.  R. )
3731, 36jca 534 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) )  e.  R. ) )
38 distrsr 9504 . . . 4  |-  ( x  .R  ( z  +R  v ) )  =  ( ( x  .R  z )  +R  (
x  .R  v )
)
39 distrsr 9504 . . . . . 6  |-  ( y  .R  ( w  +R  u ) )  =  ( ( y  .R  w )  +R  (
y  .R  u )
)
4039oveq2i 6307 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( -1R  .R  (
( y  .R  w
)  +R  ( y  .R  u ) ) )
41 distrsr 9504 . . . . 5  |-  ( -1R 
.R  ( ( y  .R  w )  +R  ( y  .R  u
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  w
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )
4240, 41eqtri 2449 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  w
) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )
4338, 42oveq12i 6308 . . 3  |-  ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  +R  u ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( x  .R  v
) )  +R  (
( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
44 ovex 6324 . . . 4  |-  ( x  .R  z )  e. 
_V
45 ovex 6324 . . . 4  |-  ( x  .R  v )  e. 
_V
46 ovex 6324 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  e. 
_V
47 addcomsr 9500 . . . 4  |-  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f
)
48 addasssr 9501 . . . 4  |-  ( ( f  +R  g )  +R  h )  =  ( f  +R  (
g  +R  h ) )
49 ovex 6324 . . . 4  |-  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) )  e. 
_V
5044, 45, 46, 47, 48, 49caov4 6505 . . 3  |-  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( x  .R  v ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
5143, 50eqtri 2449 . 2  |-  ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  +R  u ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
52 distrsr 9504 . . . 4  |-  ( y  .R  ( z  +R  v ) )  =  ( ( y  .R  z )  +R  (
y  .R  v )
)
53 distrsr 9504 . . . 4  |-  ( x  .R  ( w  +R  u ) )  =  ( ( x  .R  w )  +R  (
x  .R  u )
)
5452, 53oveq12i 6308 . . 3  |-  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( y  .R  v
) )  +R  (
( x  .R  w
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
55 ovex 6324 . . . 4  |-  ( y  .R  z )  e. 
_V
56 ovex 6324 . . . 4  |-  ( y  .R  v )  e. 
_V
57 ovex 6324 . . . 4  |-  ( x  .R  w )  e. 
_V
58 ovex 6324 . . . 4  |-  ( x  .R  u )  e. 
_V
5955, 56, 57, 47, 48, 58caov4 6505 . . 3  |-  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( y  .R  v ) )  +R  ( ( x  .R  w )  +R  ( x  .R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  +R  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
6054, 59eqtri 2449 . 2  |-  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  +R  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
611, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60ecovdi 7470 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  +  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    _E cep 4754   `'ccnv 4844  (class class class)co 6296   R.cnr 9279   -1Rcm1r 9282    +R cplr 9283    .R cmr 9284   CCcc 9526    + caddc 9531    x. cmul 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-ni 9286  df-pli 9287  df-mi 9288  df-lti 9289  df-plpq 9322  df-mpq 9323  df-ltpq 9324  df-enq 9325  df-nq 9326  df-erq 9327  df-plq 9328  df-mq 9329  df-1nq 9330  df-rq 9331  df-ltnq 9332  df-np 9395  df-1p 9396  df-plp 9397  df-mp 9398  df-ltp 9399  df-enr 9469  df-nr 9470  df-plr 9471  df-mr 9472  df-m1r 9476  df-c 9534  df-add 9539  df-mul 9540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator