Theorem axdistr 9571

Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 9595 be used later. Instead, use adddi 9617. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axdistr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B + C ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem axdistr

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 9555	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		addcnsrec 9556	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E + [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 9557	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) , ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) >. ] `' _E )
4		mulcnsrec 9557	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
5		mulcnsrec 9557	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) , ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) >. ] `' _E )
6		addcnsrec 9556	. 2 |- ( ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) /\ ( ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. ) ) -> ( [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E + [ <. ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) , ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) , ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) >. ] `' _E )
7		addclsr 9496	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z +R v ) e. R. )
8		addclsr 9496	. . . 4 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w +R u ) e. R. )
9	7, 8	anim12i 568	. . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
10	9	an4s 833	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
11		mulclsr 9497	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
12		m1r 9495	. . . . . 6 |- -1R e. R.
13		mulclsr 9497	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
14		mulclsr 9497	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
15	12, 13, 14	sylancr 667	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
16		addclsr 9496	. . . . 5 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
17	11, 15, 16	syl2an 479	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
18	17	an4s 833	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
19		mulclsr 9497	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
20		mulclsr 9497	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
21		addclsr 9496	. . . . 5 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
22	19, 20, 21	syl2anr 480	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ w e. R. ) /\ ( y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
23	22	an42s 834	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
24	18, 23	jca 534	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) )
25		mulclsr 9497	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ v e. R. ) -> ( x .R v ) e. R. )
26		mulclsr 9497	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ u e. R. ) -> ( y .R u ) e. R. )
27		mulclsr 9497	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
28	12, 26, 27	sylancr 667	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ u e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
29		addclsr 9496	. . . . 5 |- ( ( ( x .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
30	25, 28, 29	syl2an 479	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ v e. R. ) /\ ( y e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
31	30	an4s 833	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
32		mulclsr 9497	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ v e. R. ) -> ( y .R v ) e. R. )
33		mulclsr 9497	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ u e. R. ) -> ( x .R u ) e. R. )
34		addclsr 9496	. . . . 5 |- ( ( ( y .R v ) e. R. /\ ( x .R u ) e. R. ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
35	32, 33, 34	syl2anr 480	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ u e. R. ) /\ ( y e. R. /\ v e. R. ) ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
36	35	an42s 834	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
37	31, 36	jca 534	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. ) )
38		distrsr 9504	. . . 4 |- ( x .R ( z +R v ) ) = ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) )
39		distrsr 9504	. . . . . 6 |- ( y .R ( w +R u ) ) = ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) )
40	39	oveq2i 6307	. . . . 5 |- ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) = ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) )
41		distrsr 9504	. . . . 5 |- ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) )
42	40, 41	eqtri 2449	. . . 4 |- ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) )
43	38, 42	oveq12i 6308	. . 3 |- ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
44		ovex 6324	. . . 4 |- ( x .R z ) e. _V
45		ovex 6324	. . . 4 |- ( x .R v ) e. _V
46		ovex 6324	. . . 4 |- ( -1R .R ( y .R w ) ) e. _V
47		addcomsr 9500	. . . 4 |- ( f +R g ) = ( g +R f )
48		addasssr 9501	. . . 4 |- ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) )
49		ovex 6324	. . . 4 |- ( -1R .R ( y .R u ) ) e. _V
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	caov4 6505	. . 3 |- ( ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
51	43, 50	eqtri 2449	. 2 |- ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
52		distrsr 9504	. . . 4 |- ( y .R ( z +R v ) ) = ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) )
53		distrsr 9504	. . . 4 |- ( x .R ( w +R u ) ) = ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) )
54	52, 53	oveq12i 6308	. . 3 |- ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) +R ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) )
55		ovex 6324	. . . 4 |- ( y .R z ) e. _V
56		ovex 6324	. . . 4 |- ( y .R v ) e. _V
57		ovex 6324	. . . 4 |- ( x .R w ) e. _V
58		ovex 6324	. . . 4 |- ( x .R u ) e. _V
59	55, 56, 57, 47, 48, 58	caov4 6505	. . 3 |- ( ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) +R ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) )
60	54, 59	eqtri 2449	. 2 |- ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) )
61	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60	ecovdi 7470	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B + C ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   _E cep 4754   `'ccnv 4844  (class class class)co 6296   R.cnr 9279   -1Rcm1r 9282   +R cplr 9283   .R cmr 9284   CCcc 9526   + caddc 9531   x. cmul 9533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-ni 9286  df-pli 9287  df-mi 9288  df-lti 9289  df-plpq 9322  df-mpq 9323  df-ltpq 9324  df-enq 9325  df-nq 9326  df-erq 9327  df-plq 9328  df-mq 9329  df-1nq 9330  df-rq 9331  df-ltnq 9332  df-np 9395  df-1p 9396  df-plp 9397  df-mp 9398  df-ltp 9399  df-enr 9469  df-nr 9470  df-plr 9471  df-mr 9472  df-m1r 9476  df-c 9534  df-add 9539  df-mul 9540

This theorem is referenced by: (None)