Theorem axdclem2 8968

Description: Lemma for axdc 8969. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function g on ~P dom x. From this, we can build a sequence F starting at any value s e. dom x by repeatedly applying g to the set ( F ` x ) (where x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axdclem2.1	|- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
axdclem2	|- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Distinct variable groups:   f, F, n   y, F, z, n   f, g, x, n   g, s, y, n   z, g   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 7170	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om
2		axdclem2.1	. . . . . . . . 9 |- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )
3	2	fneq1i 5680	. . . . . . . 8 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om )
4	1, 3	mpbir 214	. . . . . . 7 |- F Fn om
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F Fn om )
6		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( F ` n ) = ( F ` (/) ) )
7		suceq 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> suc n = suc (/) )
8	7	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc (/) ) )
9	6, 8	breq12d 4408	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
10		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
11		suceq 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> suc n = suc k )
12	11	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc k ) )
13	10, 12	breq12d 4408	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` k ) x ( F ` suc k ) ) )
14		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( F ` n ) = ( F ` suc k ) )
15		suceq 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> suc n = suc suc k )
16	15	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc suc k ) )
17	14, 16	breq12d 4408	. . . . . . . . . 10 |- ( n = suc k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
18	2	fveq1i 5880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) )
19		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- s e. _V
20		fr0g 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. _V -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s
22	18, 21	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` (/) ) = s
23	22	breq1i 4402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` (/) ) x z <-> s x z )
24	23	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s x z -> ( F ` (/) ) x z )
25	24	eximi 1715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z s x z -> E. z ( F ` (/) ) x z )
26		peano1 6731	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. om
27	2	axdclem 8967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
28	26, 27	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
29	25, 28	syl3an3 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z s x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
30	29	3com23 1237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
31		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` k ) e. _V
32		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` suc k ) e. _V
33	31, 32	brelrn 5071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. ran x )
34		ssel 3412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` suc k ) e. ran x -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
35	33, 34	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
36	32	eldm 5037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` suc k ) e. dom x <-> E. z ( F ` suc k ) x z )
37	35, 36	syl6ib 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
38	37	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
39		peano2 6732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. om -> suc k e. om )
40	2	axdclem 8967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( suc k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
41	39, 40	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
42	41	3expia 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
43	42	com3r 81	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
44	43	imp 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
45	38, 44	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
46	45	3adantr2 1190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
47	46	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
48	9, 13, 17, 30, 47	finds2 6740	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
49	48	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
50		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( F ` n ) e. _V
51		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( F ` suc n ) e. _V
52	50, 51	breldm 5045	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> ( F ` n ) e. dom x )
53	49, 52	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) e. dom x ) )
54	53	ralrimiv 2808	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) e. dom x )
55		ffnfv 6064	. . . . . 6 |- ( F : om --> dom x <-> ( F Fn om /\ A. n e. om ( F ` n ) e. dom x ) )
56	5, 54, 55	sylanbrc 677	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F : om --> dom x )
57		omex 8166	. . . . . 6 |- om e. _V
58	57	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> om e. _V )
59		vex 3034	. . . . . . 7 |- x e. _V
60	59	dmex 6745	. . . . . 6 |- dom x e. _V
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> dom x e. _V )
62		fex2 6767	. . . . 5 |- ( ( F : om --> dom x /\ om e. _V /\ dom x e. _V ) -> F e. _V )
63	56, 58, 61, 62	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F e. _V )
64	49	ralrimiv 2808	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) )
65		fveq1 5878	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
66		fveq1 5878	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` suc n ) = ( F ` suc n ) )
67	65, 66	breq12d 4408	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
68	67	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
69	68	spcegv 3121	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )
70	63, 64, 69	sylc 61	. . 3 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) )
71	70	3exp 1230	. 2 |- ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
72	60	pwex 4584	. . 3 |- ~P dom x e. _V
73	72	ac4c 8924	. 2 |- E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y )
74	71, 73	exlimiiv 1785	1 |- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   suc csuc 5432   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   omcom 6711   reccrdg 7145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-ac 8565

This theorem is referenced by:  axdc  8969