Theorem axdclem2 8950

Description: Lemma for axdc 8951. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function g on ~P dom x. From this, we can build a sequence F starting at any value s e. dom x by repeatedly applying g to the set ( F ` x ) (where x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axdclem2.1	|- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
axdclem2	|- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Distinct variable groups:   f, F, n   y, F, z, n   f, g, x, n   g, s, y, n   z, g   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 7152	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om
2		axdclem2.1	. . . . . . . . 9 |- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )
3	2	fneq1i 5670	. . . . . . . 8 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om )
4	1, 3	mpbir 213	. . . . . . 7 |- F Fn om
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F Fn om )
6		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( F ` n ) = ( F ` (/) ) )
7		suceq 5488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> suc n = suc (/) )
8	7	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc (/) ) )
9	6, 8	breq12d 4415	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
10		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
11		suceq 5488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> suc n = suc k )
12	11	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc k ) )
13	10, 12	breq12d 4415	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` k ) x ( F ` suc k ) ) )
14		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( F ` n ) = ( F ` suc k ) )
15		suceq 5488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> suc n = suc suc k )
16	15	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc suc k ) )
17	14, 16	breq12d 4415	. . . . . . . . . 10 |- ( n = suc k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
18	2	fveq1i 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) )
19		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- s e. _V
20		fr0g 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. _V -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s
22	18, 21	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` (/) ) = s
23	22	breq1i 4409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` (/) ) x z <-> s x z )
24	23	biimpri 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s x z -> ( F ` (/) ) x z )
25	24	eximi 1707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z s x z -> E. z ( F ` (/) ) x z )
26		peano1 6712	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. om
27	2	axdclem 8949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
28	26, 27	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
29	25, 28	syl3an3 1303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z s x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
30	29	3com23 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
31		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` k ) e. _V
32		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` suc k ) e. _V
33	31, 32	brelrn 5065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. ran x )
34		ssel 3426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` suc k ) e. ran x -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
35	33, 34	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
36	32	eldm 5032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` suc k ) e. dom x <-> E. z ( F ` suc k ) x z )
37	35, 36	syl6ib 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
38	37	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
39		peano2 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. om -> suc k e. om )
40	2	axdclem 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( suc k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
41	39, 40	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
42	41	3expia 1210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
43	42	com3r 82	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
44	43	imp 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
45	38, 44	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
46	45	3adantr2 1168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
47	46	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
48	9, 13, 17, 30, 47	finds2 6721	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
49	48	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
50		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- ( F ` n ) e. _V
51		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- ( F ` suc n ) e. _V
52	50, 51	breldm 5039	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> ( F ` n ) e. dom x )
53	49, 52	syl6 34	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) e. dom x ) )
54	53	ralrimiv 2800	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) e. dom x )
55		ffnfv 6049	. . . . . 6 |- ( F : om --> dom x <-> ( F Fn om /\ A. n e. om ( F ` n ) e. dom x ) )
56	5, 54, 55	sylanbrc 670	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F : om --> dom x )
57		omex 8148	. . . . . 6 |- om e. _V
58	57	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> om e. _V )
59		vex 3048	. . . . . . 7 |- x e. _V
60	59	dmex 6726	. . . . . 6 |- dom x e. _V
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> dom x e. _V )
62		fex2 6748	. . . . 5 |- ( ( F : om --> dom x /\ om e. _V /\ dom x e. _V ) -> F e. _V )
63	56, 58, 61, 62	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F e. _V )
64	49	ralrimiv 2800	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) )
65		fveq1 5864	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
66		fveq1 5864	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` suc n ) = ( F ` suc n ) )
67	65, 66	breq12d 4415	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
68	67	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
69	68	spcegv 3135	. . . 4 |- ( F e. _V -> ( A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )
70	63, 64, 69	sylc 62	. . 3 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) )
71	70	3exp 1207	. 2 |- ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
72	60	pwex 4586	. . 3 |- ~P dom x e. _V
73	72	ac4c 8906	. 2 |- E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y )
74	71, 73	exlimiiv 1777	1 |- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   suc csuc 5425   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   omcom 6692   reccrdg 7127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-ac 8547

This theorem is referenced by:  axdc  8951