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Theorem axdclem2 8968
Description: Lemma for axdc 8969. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function  g on  ~P dom  x. From this, we can build a sequence  F starting at any value  s  e.  dom  x by repeatedly applying  g to the set  ( F `  x ) (where  x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem2.1  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
axdclem2  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Distinct variable groups:    f, F, n    y, F, z, n   
f, g, x, n   
g, s, y, n   
z, g    x, y,
z
Allowed substitution hints:    F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7170 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om
2 axdclem2.1 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
32fneq1i 5680 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om )
41, 3mpbir 214 . . . . . . 7  |-  F  Fn  om
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  Fn  om )
6 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  (/) ) )
7 suceq 5495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  suc  n  =  suc  (/) )
87fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 suc  n )  =  ( F `  suc  (/) ) )
96, 8breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  <->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
10 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
11 suceq 5495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  suc  n  =  suc  k )
1211fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  k ) )
1310, 12breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) x ( F `
 suc  n )  <->  ( F `  k ) x ( F `  suc  k ) ) )
14 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 suc  k )
)
15 suceq 5495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  suc  k  ->  suc  n  =  suc  suc  k )
1615fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  suc  k ) )
1714, 16breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( ( F `  n ) x ( F `  suc  n
)  <->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
182fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )
19 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  s  e. 
_V
20 fr0g 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  _V  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s
2218, 21eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 (/) )  =  s
2322breq1i 4402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  (/) ) x z  <->  s x z )
2423biimpri 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s x z  ->  ( F `  (/) ) x z )
2524eximi 1715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  s x z  ->  E. z ( F `
 (/) ) x z )
26 peano1 6731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  om
272axdclem 8967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( (/)  e.  om  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
2826, 27mpi 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
2925, 28syl3an3 1327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z  s x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) )
30293com23 1237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
31 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
32 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 suc  k )  e.  _V
3331, 32brelrn 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k )  e.  ran  x )
34 ssel 3412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  suc  k )  e.  ran  x  ->  ( F `  suc  k )  e.  dom  x ) )
3533, 34syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  ( F `  suc  k )  e. 
dom  x ) )
3632eldm 5037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  suc  k
)  e.  dom  x  <->  E. z ( F `  suc  k ) x z )
3735, 36syl6ib 234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
3837ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
39 peano2 6732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
402axdclem 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( suc  k  e.  om  ->  ( F `  suc  k
) x ( F `
 suc  suc  k ) ) )
4139, 40syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
42413expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x )  -> 
( E. z ( F `  suc  k
) x z  -> 
( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4342com3r 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4443imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
4538, 44syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
46453adantr2 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x ) )  ->  ( ( F `  k )
x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
4746ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  (
( F `  k
) x ( F `
 suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
489, 13, 17, 30, 47finds2 6740 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
4948com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n
) ) )
50 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
51 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 suc  n )  e.  _V
5250, 51breldm 5045 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  ( F `  n )  e.  dom  x )
5349, 52syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
5453ralrimiv 2808 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x )
55 ffnfv 6064 . . . . . 6  |-  ( F : om --> dom  x  <->  ( F  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
565, 54, 55sylanbrc 677 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F : om --> dom  x )
57 omex 8166 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
5857a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  om  e.  _V )
59 vex 3034 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
6059dmex 6745 . . . . . 6  |-  dom  x  e.  _V
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  dom  x  e.  _V )
62 fex2 6767 . . . . 5  |-  ( ( F : om --> dom  x  /\  om  e.  _V  /\  dom  x  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
6356, 58, 61, 62syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  e.  _V )
6449ralrimiv 2808 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) )
65 fveq1 5878 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
66 fveq1 5878 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  suc  n )  =  ( F `  suc  n ) )
6765, 66breq12d 4408 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) ) )
6867ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  A. n  e.  om  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
6968spcegv 3121 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
7063, 64, 69sylc 61 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
71703exp 1230 . 2  |-  ( A. y  e.  ~P  dom  x
( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  ( E. z  s x
z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) ) )
7260pwex 4584 . . 3  |-  ~P dom  x  e.  _V
7372ac4c 8924 . 2  |-  E. g A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )
7471, 73exlimiiv 1785 1  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   suc csuc 5432    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   omcom 6711   reccrdg 7145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-ac 8565
This theorem is referenced by:  axdc  8969
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