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Theorem axdclem2 8896
Description: Lemma for axdc 8897. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function  g on  ~P dom  x. From this, we can build a sequence  F starting at any value  s  e.  dom  x by repeatedly applying  g to the set  ( F `  x ) (where  x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem2.1  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
axdclem2  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Distinct variable groups:    f, F, n    y, F, z, n   
f, g, x, n   
g, s, y, n   
z, g    x, y,
z
Allowed substitution hints:    F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3116 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21dmex 6714 . . . 4  |-  dom  x  e.  _V
32pwex 4630 . . 3  |-  ~P dom  x  e.  _V
43ac4c 8852 . 2  |-  E. g A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )
5 frfnom 7097 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om
6 axdclem2.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
76fneq1i 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om )
85, 7mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  F  Fn  om
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  Fn  om )
10 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  (/) ) )
11 suceq 4943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  (/)  ->  suc  n  =  suc  (/) )
1211fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 suc  n )  =  ( F `  suc  (/) ) )
1310, 12breq12d 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  <->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
14 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
15 suceq 4943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  suc  n  =  suc  k )
1615fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  k ) )
1714, 16breq12d 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) x ( F `
 suc  n )  <->  ( F `  k ) x ( F `  suc  k ) ) )
18 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 suc  k )
)
19 suceq 4943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  suc  k  ->  suc  n  =  suc  suc  k )
2019fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  suc  k ) )
2118, 20breq12d 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( ( F `  n ) x ( F `  suc  n
)  <->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
226fveq1i 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )
23 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  s  e. 
_V
24 fr0g 7098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  _V  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s
2622, 25eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 (/) )  =  s
2726breq1i 4454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  (/) ) x z  <->  s x z )
2827biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s x z  ->  ( F `  (/) ) x z )
2928eximi 1635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  s x z  ->  E. z ( F `
 (/) ) x z )
30 peano1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
316axdclem 8895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( (/)  e.  om  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
3230, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
3329, 32syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z  s x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) )
34333com23 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
35 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
36 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 suc  k )  e.  _V
3735, 36brelrn 5231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k )  e.  ran  x )
38 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  suc  k )  e.  ran  x  ->  ( F `  suc  k )  e.  dom  x ) )
3937, 38syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  ( F `  suc  k )  e. 
dom  x ) )
4036eldm 5198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  suc  k
)  e.  dom  x  <->  E. z ( F `  suc  k ) x z )
4139, 40syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
4241ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
43 peano2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
446axdclem 8895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( suc  k  e.  om  ->  ( F `  suc  k
) x ( F `
 suc  suc  k ) ) )
4543, 44syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
46453expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x )  -> 
( E. z ( F `  suc  k
) x z  -> 
( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4746com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
4942, 48syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
50493adantr2 1156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x ) )  ->  ( ( F `  k )
x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
5150ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  (
( F `  k
) x ( F `
 suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
5213, 17, 21, 34, 51finds2 6706 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n
) ) )
54 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
55 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 suc  n )  e.  _V
5654, 55breldm 5205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  ( F `  n )  e.  dom  x )
5753, 56syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
5857ralrimiv 2876 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x )
59 ffnfv 6045 . . . . . . 7  |-  ( F : om --> dom  x  <->  ( F  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
609, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F : om --> dom  x )
61 omex 8056 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  om  e.  _V )
632a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  dom  x  e.  _V )
64 fex2 6736 . . . . . 6  |-  ( ( F : om --> dom  x  /\  om  e.  _V  /\  dom  x  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
6560, 62, 63, 64syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  e.  _V )
6653ralrimiv 2876 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) )
67 fveq1 5863 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
68 fveq1 5863 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  suc  n )  =  ( F `  suc  n ) )
6967, 68breq12d 4460 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) ) )
7069ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  A. n  e.  om  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
7170spcegv 3199 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
7265, 66, 71sylc 60 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
73723exp 1195 . . 3  |-  ( A. y  e.  ~P  dom  x
( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  ( E. z  s x
z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) ) )
7473exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. g A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  ( E. z  s x
z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) ) )
754, 74ax-mp 5 1  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   suc csuc 4880   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586   omcom 6678   reccrdg 7072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-ac 8493
This theorem is referenced by:  axdc  8897
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