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Theorem axdclem2 8950
Description: Lemma for axdc 8951. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function  g on  ~P dom  x. From this, we can build a sequence  F starting at any value  s  e.  dom  x by repeatedly applying  g to the set  ( F `  x ) (where  x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem2.1  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
axdclem2  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Distinct variable groups:    f, F, n    y, F, z, n   
f, g, x, n   
g, s, y, n   
z, g    x, y,
z
Allowed substitution hints:    F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7152 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om
2 axdclem2.1 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
32fneq1i 5670 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om )
41, 3mpbir 213 . . . . . . 7  |-  F  Fn  om
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  Fn  om )
6 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  (/) ) )
7 suceq 5488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  suc  n  =  suc  (/) )
87fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 suc  n )  =  ( F `  suc  (/) ) )
96, 8breq12d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  <->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
10 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
11 suceq 5488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  suc  n  =  suc  k )
1211fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  k ) )
1310, 12breq12d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) x ( F `
 suc  n )  <->  ( F `  k ) x ( F `  suc  k ) ) )
14 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 suc  k )
)
15 suceq 5488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  suc  k  ->  suc  n  =  suc  suc  k )
1615fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  suc  k ) )
1714, 16breq12d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( ( F `  n ) x ( F `  suc  n
)  <->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
182fveq1i 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )
19 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  s  e. 
_V
20 fr0g 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  _V  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s
2218, 21eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 (/) )  =  s
2322breq1i 4409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  (/) ) x z  <->  s x z )
2423biimpri 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s x z  ->  ( F `  (/) ) x z )
2524eximi 1707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  s x z  ->  E. z ( F `
 (/) ) x z )
26 peano1 6712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  om
272axdclem 8949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( (/)  e.  om  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
2826, 27mpi 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
2925, 28syl3an3 1303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z  s x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) )
30293com23 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
31 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
32 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 suc  k )  e.  _V
3331, 32brelrn 5065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k )  e.  ran  x )
34 ssel 3426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  suc  k )  e.  ran  x  ->  ( F `  suc  k )  e.  dom  x ) )
3533, 34syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  ( F `  suc  k )  e. 
dom  x ) )
3632eldm 5032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  suc  k
)  e.  dom  x  <->  E. z ( F `  suc  k ) x z )
3735, 36syl6ib 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
3837ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
39 peano2 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
402axdclem 8949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( suc  k  e.  om  ->  ( F `  suc  k
) x ( F `
 suc  suc  k ) ) )
4139, 40syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
42413expia 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x )  -> 
( E. z ( F `  suc  k
) x z  -> 
( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4342com3r 82 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4443imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
4538, 44syld 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
46453adantr2 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x ) )  ->  ( ( F `  k )
x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
4746ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  (
( F `  k
) x ( F `
 suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
489, 13, 17, 30, 47finds2 6721 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
4948com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n
) ) )
50 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
51 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 suc  n )  e.  _V
5250, 51breldm 5039 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  ( F `  n )  e.  dom  x )
5349, 52syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
5453ralrimiv 2800 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x )
55 ffnfv 6049 . . . . . 6  |-  ( F : om --> dom  x  <->  ( F  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
565, 54, 55sylanbrc 670 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F : om --> dom  x )
57 omex 8148 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
5857a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  om  e.  _V )
59 vex 3048 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
6059dmex 6726 . . . . . 6  |-  dom  x  e.  _V
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  dom  x  e.  _V )
62 fex2 6748 . . . . 5  |-  ( ( F : om --> dom  x  /\  om  e.  _V  /\  dom  x  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
6356, 58, 61, 62syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  e.  _V )
6449ralrimiv 2800 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) )
65 fveq1 5864 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
66 fveq1 5864 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  suc  n )  =  ( F `  suc  n ) )
6765, 66breq12d 4415 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) ) )
6867ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  A. n  e.  om  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
6968spcegv 3135 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
7063, 64, 69sylc 62 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
71703exp 1207 . 2  |-  ( A. y  e.  ~P  dom  x
( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  ( E. z  s x
z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) ) )
7260pwex 4586 . . 3  |-  ~P dom  x  e.  _V
7372ac4c 8906 . 2  |-  E. g A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )
7471, 73exlimiiv 1777 1  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   {cab 2437    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   suc csuc 5425    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   omcom 6692   reccrdg 7127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-ac 8547
This theorem is referenced by:  axdc  8951
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