Theorem axdclem2 8685

Description: Lemma for axdc 8686. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function g on ~P dom x. From this, we can build a sequence F starting at any value s e. dom x by repeatedly applying g to the set ( F ` x ) (where x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axdclem2.1	|- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
axdclem2	|- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Distinct variable groups:   f, F, n   y, F, z, n   f, g, x, n   g, s, y, n   z, g   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2973	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	dmex 6510	. . . 4 |- dom x e. _V
3	2	pwex 4472	. . 3 |- ~P dom x e. _V
4	3	ac4c 8641	. 2 |- E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y )
5		frfnom 6886	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om
6		axdclem2.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )
7	6	fneq1i 5502	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om )
8	5, 7	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- F Fn om
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F Fn om )
10		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( F ` n ) = ( F ` (/) ) )
11		suceq 4780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = (/) -> suc n = suc (/) )
12	11	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc (/) ) )
13	10, 12	breq12d 4302	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
14		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
15		suceq 4780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> suc n = suc k )
16	15	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc k ) )
17	14, 16	breq12d 4302	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` k ) x ( F ` suc k ) ) )
18		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> ( F ` n ) = ( F ` suc k ) )
19		suceq 4780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = suc k -> suc n = suc suc k )
20	19	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc suc k ) )
21	18, 20	breq12d 4302	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
22	6	fveq1i 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) )
23		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- s e. _V
24		fr0g 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. _V -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s
26	22, 25	eqtri 2461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` (/) ) = s
27	26	breq1i 4296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` (/) ) x z <-> s x z )
28	27	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s x z -> ( F ` (/) ) x z )
29	28	eximi 1630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z s x z -> E. z ( F ` (/) ) x z )
30		peano1 6494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
31	6	axdclem 8684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
32	30, 31	mpi 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
33	29, 32	syl3an3 1248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z s x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
34	33	3com23 1188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
35		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` k ) e. _V
36		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` suc k ) e. _V
37	35, 36	brelrn 5066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. ran x )
38		ssel 3347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` suc k ) e. ran x -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
39	37, 38	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
40	36	eldm 5033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` suc k ) e. dom x <-> E. z ( F ` suc k ) x z )
41	39, 40	syl6ib 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
42	41	ad2antll 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
43		peano2 6495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> suc k e. om )
44	6	axdclem 8684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( suc k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
45	43, 44	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
46	45	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
47	46	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
48	47	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
49	42, 48	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
50	49	3adantr2 1143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
51	50	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
52	13, 17, 21, 34, 51	finds2 6503	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
53	52	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
54		fvex 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` n ) e. _V
55		fvex 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` suc n ) e. _V
56	54, 55	breldm 5040	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> ( F ` n ) e. dom x )
57	53, 56	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) e. dom x ) )
58	57	ralrimiv 2796	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) e. dom x )
59		ffnfv 5866	. . . . . . 7 |- ( F : om --> dom x <-> ( F Fn om /\ A. n e. om ( F ` n ) e. dom x ) )
60	9, 58, 59	sylanbrc 659	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F : om --> dom x )
61		omex 7845	. . . . . . 7 |- om e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> om e. _V )
63	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> dom x e. _V )
64		fex2 6531	. . . . . 6 |- ( ( F : om --> dom x /\ om e. _V /\ dom x e. _V ) -> F e. _V )
65	60, 62, 63, 64	syl3anc 1213	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F e. _V )
66	53	ralrimiv 2796	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) )
67		fveq1 5687	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
68		fveq1 5687	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` suc n ) = ( F ` suc n ) )
69	67, 68	breq12d 4302	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
70	69	ralbidv 2733	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
71	70	spcegv 3055	. . . . 5 |- ( F e. _V -> ( A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )
72	65, 66, 71	sylc 60	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) )
73	72	3exp 1181	. . 3 |- ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
74	73	exlimiv 1693	. 2 |- ( E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
75	4, 74	ax-mp 5	1 |- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   {cab 2427   =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   suc csuc 4717   dom cdm 4836   ran crn 4837   |` cres 4838   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415   omcom 6475   reccrdg 6861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-ac2 8628

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-ac 8282

This theorem is referenced by:  axdc  8686