Theorem axdclem2 8896

Description: Lemma for axdc 8897. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function g on ~P dom x. From this, we can build a sequence F starting at any value s e. dom x by repeatedly applying g to the set ( F ` x ) (where x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axdclem2.1	|- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
axdclem2	|- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Distinct variable groups:   f, F, n   y, F, z, n   f, g, x, n   g, s, y, n   z, g   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3116	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	dmex 6714	. . . 4 |- dom x e. _V
3	2	pwex 4630	. . 3 |- ~P dom x e. _V
4	3	ac4c 8852	. 2 |- E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y )
5		frfnom 7097	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om
6		axdclem2.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )
7	6	fneq1i 5673	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om )
8	5, 7	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- F Fn om
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F Fn om )
10		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( F ` n ) = ( F ` (/) ) )
11		suceq 4943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = (/) -> suc n = suc (/) )
12	11	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc (/) ) )
13	10, 12	breq12d 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
14		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
15		suceq 4943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> suc n = suc k )
16	15	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc k ) )
17	14, 16	breq12d 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` k ) x ( F ` suc k ) ) )
18		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> ( F ` n ) = ( F ` suc k ) )
19		suceq 4943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = suc k -> suc n = suc suc k )
20	19	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc suc k ) )
21	18, 20	breq12d 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
22	6	fveq1i 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) )
23		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- s e. _V
24		fr0g 7098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. _V -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s
26	22, 25	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` (/) ) = s
27	26	breq1i 4454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` (/) ) x z <-> s x z )
28	27	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s x z -> ( F ` (/) ) x z )
29	28	eximi 1635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z s x z -> E. z ( F ` (/) ) x z )
30		peano1 6697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
31	6	axdclem 8895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
32	30, 31	mpi 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
33	29, 32	syl3an3 1263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z s x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
34	33	3com23 1202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
35		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` k ) e. _V
36		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` suc k ) e. _V
37	35, 36	brelrn 5231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. ran x )
38		ssel 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` suc k ) e. ran x -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
39	37, 38	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
40	36	eldm 5198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` suc k ) e. dom x <-> E. z ( F ` suc k ) x z )
41	39, 40	syl6ib 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
42	41	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
43		peano2 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> suc k e. om )
44	6	axdclem 8895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( suc k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
45	43, 44	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
46	45	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
47	46	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
48	47	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
49	42, 48	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
50	49	3adantr2 1156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
51	50	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
52	13, 17, 21, 34, 51	finds2 6706	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
53	52	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
54		fvex 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` n ) e. _V
55		fvex 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` suc n ) e. _V
56	54, 55	breldm 5205	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> ( F ` n ) e. dom x )
57	53, 56	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) e. dom x ) )
58	57	ralrimiv 2876	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) e. dom x )
59		ffnfv 6045	. . . . . . 7 |- ( F : om --> dom x <-> ( F Fn om /\ A. n e. om ( F ` n ) e. dom x ) )
60	9, 58, 59	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F : om --> dom x )
61		omex 8056	. . . . . . 7 |- om e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> om e. _V )
63	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> dom x e. _V )
64		fex2 6736	. . . . . 6 |- ( ( F : om --> dom x /\ om e. _V /\ dom x e. _V ) -> F e. _V )
65	60, 62, 63, 64	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F e. _V )
66	53	ralrimiv 2876	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) )
67		fveq1 5863	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
68		fveq1 5863	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` suc n ) = ( F ` suc n ) )
69	67, 68	breq12d 4460	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
70	69	ralbidv 2903	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
71	70	spcegv 3199	. . . . 5 |- ( F e. _V -> ( A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )
72	65, 66, 71	sylc 60	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) )
73	72	3exp 1195	. . 3 |- ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
74	73	exlimiv 1698	. 2 |- ( E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
75	4, 74	ax-mp 5	1 |- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   suc csuc 4880   dom cdm 4999   ran crn 5000   |` cres 5001   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586   omcom 6678   reccrdg 7072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-ac 8493

This theorem is referenced by:  axdc  8897