Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdclem2 Structured version   Unicode version

Theorem axdclem2 8917
 Description: Lemma for axdc 8918. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function on . From this, we can build a sequence starting at any value by repeatedly applying to the set (where is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem2.1
Assertion
Ref Expression
axdclem2
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem axdclem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . 5
21dmex 6732 . . . 4
32pwex 4639 . . 3
43ac4c 8873 . 2
5 frfnom 7118 . . . . . . . . 9
6 axdclem2.1 . . . . . . . . . 10
76fneq1i 5681 . . . . . . . . 9
85, 7mpbir 209 . . . . . . . 8
98a1i 11 . . . . . . 7
10 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12
11 suceq 4952 . . . . . . . . . . . . 13
1211fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12
1310, 12breq12d 4469 . . . . . . . . . . 11
14 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12
15 suceq 4952 . . . . . . . . . . . . 13
1615fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12
1714, 16breq12d 4469 . . . . . . . . . . 11
18 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12
19 suceq 4952 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20breq12d 4469 . . . . . . . . . . 11
226fveq1i 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 fr0g 7119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2622, 25eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726breq1i 4463 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14
2928eximi 1657 . . . . . . . . . . . . 13
30 peano1 6718 . . . . . . . . . . . . . 14
316axdclem 8916 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13
3329, 32syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . 12
34333com23 1202 . . . . . . . . . . 11
35 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3735, 36brelrn 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 ssel 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3937, 38syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4036eldm 5210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4139, 40syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14
43 peano2 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
446axdclem 8916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4543, 44syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46453expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
4942, 48syld 44 . . . . . . . . . . . . 13
50493adantr2 1156 . . . . . . . . . . . 12
5150ex 434 . . . . . . . . . . 11
5213, 17, 21, 34, 51finds2 6727 . . . . . . . . . 10
5352com12 31 . . . . . . . . 9
54 fvex 5882 . . . . . . . . . 10
55 fvex 5882 . . . . . . . . . 10
5654, 55breldm 5217 . . . . . . . . 9
5753, 56syl6 33 . . . . . . . 8
5857ralrimiv 2869 . . . . . . 7
59 ffnfv 6058 . . . . . . 7
609, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . 6
61 omex 8077 . . . . . . 7
6261a1i 11 . . . . . 6
632a1i 11 . . . . . 6
64 fex2 6754 . . . . . 6
6560, 62, 63, 64syl3anc 1228 . . . . 5
6653ralrimiv 2869 . . . . 5
67 fveq1 5871 . . . . . . . 8
68 fveq1 5871 . . . . . . . 8
6967, 68breq12d 4469 . . . . . . 7
7069ralbidv 2896 . . . . . 6
7170spcegv 3195 . . . . 5
7265, 66, 71sylc 60 . . . 4
73723exp 1195 . . 3
7473exlimiv 1723 . 2
754, 74ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819  cab 2442   wne 2652  wral 2807  cvv 3109   wss 3471  c0 3793  cpw 4015   class class class wbr 4456   cmpt 4515   csuc 4889   cdm 5008   crn 5009   cres 5010   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  com 6699  crdg 7093 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-ac 8514 This theorem is referenced by:  axdc  8918
 Copyright terms: Public domain W3C validator