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Theorem axdclem2 8795
Description: Lemma for axdc 8796. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function  g on  ~P dom  x. From this, we can build a sequence  F starting at any value  s  e.  dom  x by repeatedly applying  g to the set  ( F `  x ) (where  x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem2.1  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
axdclem2  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Distinct variable groups:    f, F, n    y, F, z, n   
f, g, x, n   
g, s, y, n   
z, g    x, y,
z
Allowed substitution hints:    F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3075 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21dmex 6616 . . . 4  |-  dom  x  e.  _V
32pwex 4578 . . 3  |-  ~P dom  x  e.  _V
43ac4c 8751 . 2  |-  E. g A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )
5 frfnom 6995 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om
6 axdclem2.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )
76fneq1i 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om )  Fn  om )
85, 7mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  F  Fn  om
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  Fn  om )
10 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 n )  =  ( F `  (/) ) )
11 suceq 4887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  (/)  ->  suc  n  =  suc  (/) )
1211fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  ( F `
 suc  n )  =  ( F `  suc  (/) ) )
1310, 12breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  <->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
14 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
15 suceq 4887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  suc  n  =  suc  k )
1615fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  k ) )
1714, 16breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) x ( F `
 suc  n )  <->  ( F `  k ) x ( F `  suc  k ) ) )
18 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 suc  k )
)
19 suceq 4887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  suc  k  ->  suc  n  =  suc  suc  k )
2019fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( F `  suc  n )  =  ( F `  suc  suc  k ) )
2118, 20breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  suc  k  -> 
( ( F `  n ) x ( F `  suc  n
)  <->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
226fveq1i 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )
23 vex 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  s  e. 
_V
24 fr0g 6996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  _V  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `  { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( g `
 { z  |  y x z } ) ) ,  s )  |`  om ) `  (/) )  =  s
2622, 25eqtri 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 (/) )  =  s
2726breq1i 4402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  (/) ) x z  <->  s x z )
2827biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s x z  ->  ( F `  (/) ) x z )
2928eximi 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  s x z  ->  E. z ( F `
 (/) ) x z )
30 peano1 6600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
316axdclem 8794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( (/)  e.  om  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) ) )
3230, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  (/) ) x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
3329, 32syl3an3 1254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z  s x z )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `  suc  (/) ) )
34333com23 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  (/) ) x ( F `
 suc  (/) ) )
35 fvex 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
36 fvex 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 suc  k )  e.  _V
3735, 36brelrn 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k )  e.  ran  x )
38 ssel 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  suc  k )  e.  ran  x  ->  ( F `  suc  k )  e.  dom  x ) )
3937, 38syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  ( F `  suc  k )  e. 
dom  x ) )
4036eldm 5140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  suc  k
)  e.  dom  x  <->  E. z ( F `  suc  k ) x z )
4139, 40syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  x  C_  dom  x  -> 
( ( F `  k ) x ( F `  suc  k
)  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
4241ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  E. z
( F `  suc  k ) x z ) )
43 peano2 6601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
446axdclem 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( suc  k  e.  om  ->  ( F `  suc  k
) x ( F `
 suc  suc  k ) ) )
4543, 44syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x  /\  E. z ( F `  suc  k ) x z )  ->  ( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
46453expia 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x )  -> 
( E. z ( F `  suc  k
) x z  -> 
( k  e.  om  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4746com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( E. z
( F `  suc  k ) x z  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
4942, 48syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  ran  x  C_ 
dom  x ) )  ->  ( ( F `
 k ) x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
50493adantr2 1148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x ) )  ->  ( ( F `  k )
x ( F `  suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) )
5150ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  (
( F `  k
) x ( F `
 suc  k )  ->  ( F `  suc  k ) x ( F `  suc  suc  k ) ) ) )
5213, 17, 21, 34, 51finds2 6609 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  (
( A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  E. z  s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n
) ) )
54 fvex 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
55 fvex 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 suc  n )  e.  _V
5654, 55breldm 5147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  ( F `  n )  e.  dom  x )
5753, 56syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
5857ralrimiv 2825 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x )
59 ffnfv 5973 . . . . . . 7  |-  ( F : om --> dom  x  <->  ( F  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( F `  n )  e.  dom  x ) )
609, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F : om --> dom  x )
61 omex 7955 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  om  e.  _V )
632a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  dom  x  e.  _V )
64 fex2 6637 . . . . . 6  |-  ( ( F : om --> dom  x  /\  om  e.  _V  /\  dom  x  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
6560, 62, 63, 64syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  F  e.  _V )
6653ralrimiv 2825 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) )
67 fveq1 5793 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
68 fveq1 5793 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  suc  n )  =  ( F `  suc  n ) )
6967, 68breq12d 4408 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  ( F `  n ) x ( F `  suc  n ) ) )
7069ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )  <->  A. n  e.  om  ( F `  n )
x ( F `  suc  n ) ) )
7170spcegv 3158 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. n  e.  om  ( F `  n ) x ( F `  suc  n )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
7265, 66, 71sylc 60 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  ~P  dom  x ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  E. z 
s x z  /\  ran  x  C_  dom  x )  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) )
73723exp 1187 . . 3  |-  ( A. y  e.  ~P  dom  x
( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  ( E. z  s x
z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) ) )
7473exlimiv 1689 . 2  |-  ( E. g A. y  e. 
~P  dom  x (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  ( E. z  s x
z  ->  ( ran  x  C_  dom  x  ->  E. f A. n  e. 
om  ( f `  n ) x ( f `  suc  n
) ) ) )
754, 74ax-mp 5 1  |-  ( E. z  s x z  ->  ( ran  x  C_ 
dom  x  ->  E. f A. n  e.  om  ( f `  n
) x ( f `
 suc  n )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2437    =/= wne 2645   A.wral 2796   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   suc csuc 4824   dom cdm 4943   ran crn 4944    |` cres 4945    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521   omcom 6581   reccrdg 6970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-ac2 8738
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-ac 8392
This theorem is referenced by:  axdc  8796
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