Theorem axdclem2 8917

Description: Lemma for axdc 8918. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function g on ~P dom x. From this, we can build a sequence F starting at any value s e. dom x by repeatedly applying g to the set ( F ` x ) (where x is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axdclem2.1	|- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
axdclem2	|- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Distinct variable groups:   f, F, n   y, F, z, n   f, g, x, n   g, s, y, n   z, g   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, g, s)

Proof of Theorem axdclem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	dmex 6732	. . . 4 |- dom x e. _V
3	2	pwex 4639	. . 3 |- ~P dom x e. _V
4	3	ac4c 8873	. 2 |- E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y )
5		frfnom 7118	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om
6		axdclem2.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om )
7	6	fneq1i 5681	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn om <-> ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) Fn om )
8	5, 7	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- F Fn om
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F Fn om )
10		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( F ` n ) = ( F ` (/) ) )
11		suceq 4952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = (/) -> suc n = suc (/) )
12	11	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc (/) ) )
13	10, 12	breq12d 4469	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
14		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
15		suceq 4952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> suc n = suc k )
16	15	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc k ) )
17	14, 16	breq12d 4469	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` k ) x ( F ` suc k ) ) )
18		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> ( F ` n ) = ( F ` suc k ) )
19		suceq 4952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = suc k -> suc n = suc suc k )
20	19	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = suc k -> ( F ` suc n ) = ( F ` suc suc k ) )
21	18, 20	breq12d 4469	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) <-> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
22	6	fveq1i 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` (/) ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) )
23		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- s e. _V
24		fr0g 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. _V -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( rec ( ( y e. _V |-> ( g ` { z | y x z } ) ) , s ) |` om ) ` (/) ) = s
26	22, 25	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` (/) ) = s
27	26	breq1i 4463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` (/) ) x z <-> s x z )
28	27	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s x z -> ( F ` (/) ) x z )
29	28	eximi 1657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z s x z -> E. z ( F ` (/) ) x z )
30		peano1 6718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
31	6	axdclem 8916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( (/) e. om -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) ) )
32	30, 31	mpi 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` (/) ) x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
33	29, 32	syl3an3 1263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z s x z ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
34	33	3com23 1202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` (/) ) x ( F ` suc (/) ) )
35		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` k ) e. _V
36		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` suc k ) e. _V
37	35, 36	brelrn 5243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. ran x )
38		ssel 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` suc k ) e. ran x -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
39	37, 38	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) e. dom x ) )
40	36	eldm 5210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` suc k ) e. dom x <-> E. z ( F ` suc k ) x z )
41	39, 40	syl6ib 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran x C_ dom x -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
42	41	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> E. z ( F ` suc k ) x z ) )
43		peano2 6719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. om -> suc k e. om )
44	6	axdclem 8916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( suc k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
45	43, 44	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x /\ E. z ( F ` suc k ) x z ) -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
46	45	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( k e. om -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
47	46	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
48	47	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( E. z ( F ` suc k ) x z -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
49	42, 48	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
50	49	3adantr2 1156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. om /\ ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) )
51	50	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( ( F ` k ) x ( F ` suc k ) -> ( F ` suc k ) x ( F ` suc suc k ) ) ) )
52	13, 17, 21, 34, 51	finds2 6727	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. om -> ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
53	52	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
54		fvex 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` n ) e. _V
55		fvex 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` suc n ) e. _V
56	54, 55	breldm 5217	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> ( F ` n ) e. dom x )
57	53, 56	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> ( n e. om -> ( F ` n ) e. dom x ) )
58	57	ralrimiv 2869	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) e. dom x )
59		ffnfv 6058	. . . . . . 7 |- ( F : om --> dom x <-> ( F Fn om /\ A. n e. om ( F ` n ) e. dom x ) )
60	9, 58, 59	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F : om --> dom x )
61		omex 8077	. . . . . . 7 |- om e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> om e. _V )
63	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> dom x e. _V )
64		fex2 6754	. . . . . 6 |- ( ( F : om --> dom x /\ om e. _V /\ dom x e. _V ) -> F e. _V )
65	60, 62, 63, 64	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> F e. _V )
66	53	ralrimiv 2869	. . . . 5 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) )
67		fveq1 5871	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` n ) = ( F ` n ) )
68		fveq1 5871	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` suc n ) = ( F ` suc n ) )
69	67, 68	breq12d 4469	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
70	69	ralbidv 2896	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) <-> A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) ) )
71	70	spcegv 3195	. . . . 5 |- ( F e. _V -> ( A. n e. om ( F ` n ) x ( F ` suc n ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )
72	65, 66, 71	sylc 60	. . . 4 |- ( ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ E. z s x z /\ ran x C_ dom x ) -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) )
73	72	3exp 1195	. . 3 |- ( A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
74	73	exlimiv 1723	. 2 |- ( E. g A. y e. ~P dom x ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) ) )
75	4, 74	ax-mp 5	1 |- ( E. z s x z -> ( ran x C_ dom x -> E. f A. n e. om ( f ` n ) x ( f ` suc n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   {cab 2442   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   suc csuc 4889   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   omcom 6699   reccrdg 7093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-ac 8514

This theorem is referenced by:  axdc  8918