MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4 Structured version   Unicode version

Theorem axdc4 8848
Description: A more general version of axdc3 8846 that allows the function  F to vary with  k. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdc4.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
axdc4  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( om  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : om --> A  /\  ( g `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  om  (
g `  suc  k )  e.  ( k F ( g `  k
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, g,
k    C, g, k    g, F, k

Proof of Theorem axdc4
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 eqid 2467 . 2  |-  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( { suc  n }  X.  ( n F x ) ) )  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( { suc  n }  X.  ( n F x ) ) )
31, 2axdc4lem 8847 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( om  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : om --> A  /\  ( g `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  om  (
g `  suc  k )  e.  ( k F ( g `  k
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   suc csuc 4886    X. cxp 5003   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   omcom 6695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-dc 8838
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-1o 7142
This theorem is referenced by:  axcclem  8849  axdc4uzlem  12072
  Copyright terms: Public domain W3C validator