MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4 Structured version   Unicode version

Theorem axdc4 8613
Description: A more general version of axdc3 8611 that allows the function  F to vary with  k. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdc4.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
axdc4  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( om  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : om --> A  /\  ( g `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  om  (
g `  suc  k )  e.  ( k F ( g `  k
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, g,
k    C, g, k    g, F, k

Proof of Theorem axdc4
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 eqid 2433 . 2  |-  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( { suc  n }  X.  ( n F x ) ) )  =  ( n  e.  om ,  x  e.  A  |->  ( { suc  n }  X.  ( n F x ) ) )
31, 2axdc4lem 8612 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  F : ( om  X.  A ) --> ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  E. g
( g : om --> A  /\  ( g `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  om  (
g `  suc  k )  e.  ( k F ( g `  k
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962    \ cdif 3313   (/)c0 3625   ~Pcpw 3848   {csn 3865   suc csuc 4708    X. cxp 4825   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   omcom 6465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-dc 8603
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-1o 6908
This theorem is referenced by:  axcclem  8614  axdc4uzlem  11788
  Copyright terms: Public domain W3C validator