Theorem axdc3lem3 8719

Description: Simple substitution lemma for axdc3 8721. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc3lem3.1	|- A e. _V
axdc3lem3.2	|- S = { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) }
axdc3lem3.3	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
axdc3lem3	|- ( B e. S <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   A, s, n   B, k, m, n   B, s, k   C, m, n   C, s   m, F, n   F, s

Allowed substitution hints:   A( k)   C( k)   S( k, m, n, s)   F( k)

Proof of Theorem axdc3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axdc3lem3.2	. . 3 |- S = { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) }
2	1	eleq2i 2527	. 2 |- ( B e. S <-> B e. { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) } )
3		axdc3lem3.3	. . 3 |- B e. _V
4		feq1 5637	. . . . 5 |- ( s = B -> ( s : suc n --> A <-> B : suc n --> A ) )
5		fveq1 5785	. . . . . 6 |- ( s = B -> ( s ` (/) ) = ( B ` (/) ) )
6	5	eqeq1d 2453	. . . . 5 |- ( s = B -> ( ( s ` (/) ) = C <-> ( B ` (/) ) = C ) )
7		fveq1 5785	. . . . . . 7 |- ( s = B -> ( s ` suc k ) = ( B ` suc k ) )
8		fveq1 5785	. . . . . . . 8 |- ( s = B -> ( s ` k ) = ( B ` k ) )
9	8	fveq2d 5790	. . . . . . 7 |- ( s = B -> ( F ` ( s ` k ) ) = ( F ` ( B ` k ) ) )
10	7, 9	eleq12d 2531	. . . . . 6 |- ( s = B -> ( ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) <-> ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
11	10	ralbidv 2839	. . . . 5 |- ( s = B -> ( A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) <-> A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
12	4, 6, 11	3anbi123d 1290	. . . 4 |- ( s = B -> ( ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) <-> ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
13	12	rexbidv 2840	. . 3 |- ( s = B -> ( E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) <-> E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
14	3, 13	elab 3200	. 2 |- ( B e. { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) } <-> E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
15		suceq 4879	. . . . 5 |- ( n = m -> suc n = suc m )
16	15	feq2d 5642	. . . 4 |- ( n = m -> ( B : suc n --> A <-> B : suc m --> A ) )
17		raleq 3010	. . . 4 |- ( n = m -> ( A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) <-> A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
18	16, 17	3anbi13d 1292	. . 3 |- ( n = m -> ( ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) <-> ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
19	18	cbvrexv 3041	. 2 |- ( E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
20	2, 14, 19	3bitri 271	1 |- ( B e. S <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3065   (/)c0 3732   suc csuc 4816   -->wf 5509   ` cfv 5513   omcom 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-suc 4820  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-fv 5521

This theorem is referenced by:  axdc3lem4  8720