Theorem axdc3lem3 8823

Description: Simple substitution lemma for axdc3 8825. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc3lem3.1	|- A e. _V
axdc3lem3.2	|- S = { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) }
axdc3lem3.3	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
axdc3lem3	|- ( B e. S <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   A, s, n   B, k, m, n   B, s, k   C, m, n   C, s   m, F, n   F, s

Allowed substitution hints:   A( k)   C( k)   S( k, m, n, s)   F( k)

Proof of Theorem axdc3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axdc3lem3.2	. . 3 |- S = { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) }
2	1	eleq2i 2532	. 2 |- ( B e. S <-> B e. { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) } )
3		axdc3lem3.3	. . 3 |- B e. _V
4		feq1 5695	. . . . 5 |- ( s = B -> ( s : suc n --> A <-> B : suc n --> A ) )
5		fveq1 5847	. . . . . 6 |- ( s = B -> ( s ` (/) ) = ( B ` (/) ) )
6	5	eqeq1d 2456	. . . . 5 |- ( s = B -> ( ( s ` (/) ) = C <-> ( B ` (/) ) = C ) )
7		fveq1 5847	. . . . . . 7 |- ( s = B -> ( s ` suc k ) = ( B ` suc k ) )
8		fveq1 5847	. . . . . . . 8 |- ( s = B -> ( s ` k ) = ( B ` k ) )
9	8	fveq2d 5852	. . . . . . 7 |- ( s = B -> ( F ` ( s ` k ) ) = ( F ` ( B ` k ) ) )
10	7, 9	eleq12d 2536	. . . . . 6 |- ( s = B -> ( ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) <-> ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
11	10	ralbidv 2893	. . . . 5 |- ( s = B -> ( A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) <-> A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
12	4, 6, 11	3anbi123d 1297	. . . 4 |- ( s = B -> ( ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) <-> ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
13	12	rexbidv 2965	. . 3 |- ( s = B -> ( E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) <-> E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
14	3, 13	elab 3243	. 2 |- ( B e. { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) } <-> E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
15		suceq 4932	. . . . 5 |- ( n = m -> suc n = suc m )
16	15	feq2d 5700	. . . 4 |- ( n = m -> ( B : suc n --> A <-> B : suc m --> A ) )
17		raleq 3051	. . . 4 |- ( n = m -> ( A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) <-> A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
18	16, 17	3anbi13d 1299	. . 3 |- ( n = m -> ( ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) <-> ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
19	18	cbvrexv 3082	. 2 |- ( E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
20	2, 14, 19	3bitri 271	1 |- ( B e. S <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   suc csuc 4869   -->wf 5566   ` cfv 5570   omcom 6673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-suc 4873  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578

This theorem is referenced by:  axdc3lem4  8824