Theorem axdc3lem3 8828

Description: Simple substitution lemma for axdc3 8830. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc3lem3.1	|- A e. _V
axdc3lem3.2	|- S = { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) }
axdc3lem3.3	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
axdc3lem3	|- ( B e. S <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   A, s, n   B, k, m, n   B, s, k   C, m, n   C, s   m, F, n   F, s

Allowed substitution hints:   A( k)   C( k)   S( k, m, n, s)   F( k)

Proof of Theorem axdc3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axdc3lem3.2	. . 3 |- S = { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) }
2	1	eleq2i 2545	. 2 |- ( B e. S <-> B e. { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) } )
3		axdc3lem3.3	. . 3 |- B e. _V
4		feq1 5711	. . . . 5 |- ( s = B -> ( s : suc n --> A <-> B : suc n --> A ) )
5		fveq1 5863	. . . . . 6 |- ( s = B -> ( s ` (/) ) = ( B ` (/) ) )
6	5	eqeq1d 2469	. . . . 5 |- ( s = B -> ( ( s ` (/) ) = C <-> ( B ` (/) ) = C ) )
7		fveq1 5863	. . . . . . 7 |- ( s = B -> ( s ` suc k ) = ( B ` suc k ) )
8		fveq1 5863	. . . . . . . 8 |- ( s = B -> ( s ` k ) = ( B ` k ) )
9	8	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( s = B -> ( F ` ( s ` k ) ) = ( F ` ( B ` k ) ) )
10	7, 9	eleq12d 2549	. . . . . 6 |- ( s = B -> ( ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) <-> ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
11	10	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( s = B -> ( A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) <-> A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
12	4, 6, 11	3anbi123d 1299	. . . 4 |- ( s = B -> ( ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) <-> ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
13	12	rexbidv 2973	. . 3 |- ( s = B -> ( E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) <-> E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
14	3, 13	elab 3250	. 2 |- ( B e. { s | E. n e. om ( s : suc n --> A /\ ( s ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( s ` suc k ) e. ( F ` ( s ` k ) ) ) } <-> E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
15		suceq 4943	. . . . 5 |- ( n = m -> suc n = suc m )
16	15	feq2d 5716	. . . 4 |- ( n = m -> ( B : suc n --> A <-> B : suc m --> A ) )
17		raleq 3058	. . . 4 |- ( n = m -> ( A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) <-> A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
18	16, 17	3anbi13d 1301	. . 3 |- ( n = m -> ( ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) <-> ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) ) )
19	18	cbvrexv 3089	. 2 |- ( E. n e. om ( B : suc n --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. n ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )
20	2, 14, 19	3bitri 271	1 |- ( B e. S <-> E. m e. om ( B : suc m --> A /\ ( B ` (/) ) = C /\ A. k e. m ( B ` suc k ) e. ( F ` ( B ` k ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   suc csuc 4880   -->wf 5582   ` cfv 5586   omcom 6678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-suc 4884  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594

This theorem is referenced by:  axdc3lem4  8829