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Theorem axdc3lem3 8719
Description: Simple substitution lemma for axdc3 8721. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc3lem3.1  |-  A  e. 
_V
axdc3lem3.2  |-  S  =  { s  |  E. n  e.  om  (
s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( s `  k ) ) ) }
axdc3lem3.3  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
axdc3lem3  |-  ( B  e.  S  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n    A, s, n    B, k, m, n    B, s, k    C, m, n    C, s    m, F, n    F, s
Allowed substitution hints:    A( k)    C( k)    S( k, m, n, s)    F( k)

Proof of Theorem axdc3lem3
StepHypRef Expression
1 axdc3lem3.2 . . 3  |-  S  =  { s  |  E. n  e.  om  (
s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( s `  k ) ) ) }
21eleq2i 2527 . 2  |-  ( B  e.  S  <->  B  e.  { s  |  E. n  e.  om  ( s : suc  n --> A  /\  ( s `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  (
s `  k )
) ) } )
3 axdc3lem3.3 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 feq1 5637 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
s : suc  n --> A 
<->  B : suc  n --> A ) )
5 fveq1 5785 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  (/) )  =  ( B `  (/) ) )
65eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( s `  (/) )  =  C  <->  ( B `  (/) )  =  C ) )
7 fveq1 5785 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  suc  k )  =  ( B `  suc  k ) )
8 fveq1 5785 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
s `  k )  =  ( B `  k ) )
98fveq2d 5790 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( F `  ( s `  k ) )  =  ( F `  ( B `  k )
) )
107, 9eleq12d 2531 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) )  <-> 
( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `
 k ) ) ) )
1110ralbidv 2839 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  ( A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) )  <->  A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) ) ) )
124, 6, 113anbi123d 1290 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) )  <->  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) ) )
1312rexbidv 2840 . . 3  |-  ( s  =  B  ->  ( E. n  e.  om  ( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) )  <->  E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) ) ) ) )
143, 13elab 3200 . 2  |-  ( B  e.  { s  |  E. n  e.  om  ( s : suc  n
--> A  /\  ( s `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( s `  suc  k )  e.  ( F `  ( s `
 k ) ) ) }  <->  E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
15 suceq 4879 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  suc  n  =  suc  m )
1615feq2d 5642 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( B : suc  n --> A  <->  B : suc  m --> A ) )
17 raleq 3010 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  n  ( B `  suc  k
)  e.  ( F `
 ( B `  k ) )  <->  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
1816, 173anbi13d 1292 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( B : suc  n
--> A  /\  ( B `
 (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `
 k ) ) )  <->  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) ) )
1918cbvrexv 3041 . 2  |-  ( E. n  e.  om  ( B : suc  n --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  n  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) )  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
202, 14, 193bitri 271 1  |-  ( B  e.  S  <->  E. m  e.  om  ( B : suc  m --> A  /\  ( B `  (/) )  =  C  /\  A. k  e.  m  ( B `  suc  k )  e.  ( F `  ( B `  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3065   (/)c0 3732   suc csuc 4816   -->wf 5509   ` cfv 5513   omcom 6573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-suc 4820  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-fv 5521
This theorem is referenced by:  axdc3lem4  8720
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