Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem9 Structured version   Unicode version

Theorem axcontlem9 24989
 Description: Lemma for axcont 24993. Given the separation assumption, all values of over are less than or equal to all values of over . (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem9.1
axcontlem9.2
Assertion
Ref Expression
axcontlem9
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,   ,,   ,   ,   ,   ,,,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,,,,)   (,,)

Proof of Theorem axcontlem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 758 . . . . 5
2 simprl1 1050 . . . . 5
3 simplr1 1047 . . . . . 6
4 simprl2 1051 . . . . . 6
53, 4sseldd 3465 . . . . 5
6 simprr 764 . . . . 5
7 axcontlem9.1 . . . . . 6
8 axcontlem9.2 . . . . . 6
97, 8axcontlem2 24982 . . . . 5
101, 2, 5, 6, 9syl31anc 1267 . . . 4
11 f1ofun 5830 . . . 4
12 fvelima 5930 . . . . 5
1312ex 435 . . . 4
1410, 11, 133syl 18 . . 3
15 fvelima 5930 . . . . 5
1615ex 435 . . . 4
1710, 11, 163syl 18 . . 3
18 reeanv 2996 . . . 4
19 simplr3 1049 . . . . . . . 8
20 breq1 4423 . . . . . . . . 9
21 opeq2 4185 . . . . . . . . . 10
2221breq2d 4432 . . . . . . . . 9
2320, 22rspc2v 3191 . . . . . . . 8
2419, 23mpan9 471 . . . . . . 7
25 simplll 766 . . . . . . . . 9
262adantr 466 . . . . . . . . 9
275adantr 466 . . . . . . . . 9
2825, 26, 273jca 1185 . . . . . . . 8
29 simplrr 769 . . . . . . . 8
307axcontlem4 24984 . . . . . . . . . . 11
3130sseld 3463 . . . . . . . . . 10
32 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12
337axcontlem3 24983 . . . . . . . . . . . 12
3432, 2, 4, 6, 33syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11
3534sseld 3463 . . . . . . . . . 10
3631, 35anim12d 565 . . . . . . . . 9
3736imp 430 . . . . . . . 8
387, 8axcontlem7 24987 . . . . . . . 8
3928, 29, 37, 38syl21anc 1263 . . . . . . 7
4024, 39mpbid 213 . . . . . 6
41 breq12 4425 . . . . . 6
4240, 41syl5ibcom 223 . . . . 5
4342rexlimdvva 2924 . . . 4
4418, 43syl5bir 221 . . 3
4514, 17, 44syl2and 485 . 2
4645ralrimivv 2845 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868   wne 2618  wral 2775  wrex 2776  crab 2779   wss 3436  c0 3761  cop 4002   class class class wbr 4420  copab 4478  cima 4853   wfun 5592  wf1o 5597  cfv 5598  (class class class)co 6302  cc0 9540  c1 9541   caddc 9543   cmul 9545   cpnf 9673   cle 9677   cmin 9861  cn 10610  cico 11638  cfz 11785  cee 24905   cbtwn 24906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-z 10939  df-uz 11161  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-ee 24908  df-btwn 24909 This theorem is referenced by:  axcontlem10  24990
 Copyright terms: Public domain W3C validator