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Theorem axcontlem9 24989
Description: Lemma for axcont 24993. Given the separation assumption, all values of  F over  A are less than or equal to all values of  F over  B. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem9.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem9.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. n  e.  ( F " A ) A. m  e.  ( F " B ) n  <_  m )
Distinct variable groups:    A, m, n, p, x    B, m, n, p, x, y   
t, D, x    i, F    m, F    t, F    i, p, t, x, N   
m, N, n, p   
t, N, x    y, N    U, i    U, m, n, p    t, U, x    y, U    i, Z    m, Z, n, p   
t, Z, x    y, Z    F, p
Allowed substitution hints:    A( y, t, i)    B( t, i)    D( y, i, m, n, p)    F( x, y, n)

Proof of Theorem axcontlem9
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  N  e.  NN )
2 simprl1 1050 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
3 simplr1 1047 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  ( EE `  N ) )
4 simprl2 1051 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  A
)
53, 4sseldd 3465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  ( EE `  N ) )
6 simprr 764 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  =/=  U
)
7 axcontlem9.1 . . . . . 6  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
8 axcontlem9.2 . . . . . 6  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
97, 8axcontlem2 24982 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  ->  F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
101, 2, 5, 6, 9syl31anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-onto-> (
0 [,) +oo )
)
11 f1ofun 5830 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  Fun  F )
12 fvelima 5930 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  n  e.  ( F " A
) )  ->  E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n )
1312ex 435 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( n  e.  ( F " A
)  ->  E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n ) )
1410, 11, 133syl 18 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( n  e.  ( F " A
)  ->  E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n ) )
15 fvelima 5930 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  m  e.  ( F " B
) )  ->  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m )
1615ex 435 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( m  e.  ( F " B
)  ->  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m ) )
1710, 11, 163syl 18 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( m  e.  ( F " B
)  ->  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m ) )
18 reeanv 2996 . . . 4  |-  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  (
( F `  a
)  =  n  /\  ( F `  b )  =  m )  <->  ( E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n  /\  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m ) )
19 simplr3 1049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. )
20 breq1 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x  Btwn  <. Z , 
y >. 
<->  a  Btwn  <. Z , 
y >. ) )
21 opeq2 4185 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  <. Z , 
y >.  =  <. Z , 
b >. )
2221breq2d 4432 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
a  Btwn  <. Z , 
y >. 
<->  a  Btwn  <. Z , 
b >. ) )
2320, 22rspc2v 3191 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z , 
y >.  ->  a  Btwn  <. Z ,  b >. ) )
2419, 23mpan9 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  a  Btwn  <. Z ,  b
>. )
25 simplll 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  N  e.  NN )
262adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  Z  e.  ( EE `  N
) )
275adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  U  e.  ( EE `  N
) )
2825, 26, 273jca 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) ) )
29 simplrr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  Z  =/=  U )
307axcontlem4 24984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  D
)
3130sseld 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( a  e.  A  ->  a  e.  D ) )
32 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) ) )
337axcontlem3 24983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/= 
U ) )  ->  B  C_  D )
3432, 2, 4, 6, 33syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  D
)
3534sseld 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( b  e.  B  ->  b  e.  D ) )
3631, 35anim12d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  e.  D  /\  b  e.  D )
) )
3736imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  (
a  e.  D  /\  b  e.  D )
)
387, 8axcontlem7 24987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
a  e.  D  /\  b  e.  D )
)  ->  ( a  Btwn  <. Z ,  b
>. 
<->  ( F `  a
)  <_  ( F `  b ) ) )
3928, 29, 37, 38syl21anc 1263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  (
a  Btwn  <. Z , 
b >. 
<->  ( F `  a
)  <_  ( F `  b ) ) )
4024, 39mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  ( F `  a )  <_  ( F `  b
) )
41 breq12 4425 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  a
)  =  n  /\  ( F `  b )  =  m )  -> 
( ( F `  a )  <_  ( F `  b )  <->  n  <_  m ) )
4240, 41syl5ibcom 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  a )  =  n  /\  ( F `  b )  =  m )  ->  n  <_  m ) )
4342rexlimdvva 2924 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  ( ( F `  a )  =  n  /\  ( F `  b )  =  m )  ->  n  <_  m ) )
4418, 43syl5bir 221 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( E. a  e.  A  ( F `  a )  =  n  /\  E. b  e.  B  ( F `  b )  =  m )  ->  n  <_  m ) )
4514, 17, 44syl2and 485 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( n  e.  ( F " A )  /\  m  e.  ( F " B
) )  ->  n  <_  m ) )
4645ralrimivv 2845 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. n  e.  ( F " A ) A. m  e.  ( F " B ) n  <_  m )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779    C_ wss 3436   (/)c0 3761   <.cop 4002   class class class wbr 4420   {copab 4478   "cima 4853   Fun wfun 5592   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545   +oocpnf 9673    <_ cle 9677    - cmin 9861   NNcn 10610   [,)cico 11638   ...cfz 11785   EEcee 24905    Btwn cbtwn 24906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-z 10939  df-uz 11161  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-ee 24908  df-btwn 24909
This theorem is referenced by:  axcontlem10  24990
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