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Theorem axcontlem7 23135
Description: Lemma for axcont 23141. Given two points in  D, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem7.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem7.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
Distinct variable groups:    t, D, x    i, F, t    i, p, x, N, t    P, i, t, x    Q, i, t, x    U, i, p, t, x    i, Z, p, t, x
Allowed substitution hints:    D( i, p)    P( p)    Q( p)    F( x, p)

Proof of Theorem axcontlem7
StepHypRef Expression
1 axcontlem7.1 . . . . . 6  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
2 ssrab2 3434 . . . . . 6  |-  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  C_  ( EE `  N )
31, 2eqsstri 3383 . . . . 5  |-  D  C_  ( EE `  N )
43sseli 3349 . . . 4  |-  ( P  e.  D  ->  P  e.  ( EE `  N
) )
54ad2antrl 722 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
6 simpll2 1023 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
73sseli 3349 . . . 4  |-  ( Q  e.  D  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
87ad2antll 723 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
9 brbtwn 23064 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  Z  e.  ( EE `  N )  /\  Q  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) ) ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1213 . 2  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) ) ) )
11 axcontlem7.2 . . . . 5  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
121, 11axcontlem6 23134 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  P  e.  D )  ->  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
131, 11axcontlem6 23134 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  Q  e.  D )  ->  (
( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
1412, 13anim12dan 828 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) )  /\  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) )
15 an4 815 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
16 r19.26 2847 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
1716anbi2i 689 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( P `
 i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  /\  ( Q `
 i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
1815, 17bitr4i 252 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
19 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  ->  ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) )
20 oveq2 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) )  ->  (
t  x.  ( Q `
 i ) )  =  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) )
2120oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) )  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) )
2219, 21eqeqan12d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
2322ralimi 2789 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) )  <->  ( (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) ) )
24 ralbi 2851 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) )  <->  ( (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) ) )
2625rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
27 simpll2 1023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N
) )
28 fveecn 23067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Z `  i )  e.  CC )
2927, 28sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Z `  i )  e.  CC )
30 simpll3 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  U  e.  ( EE `  N
) )
31 fveecn 23067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( U `  i )  e.  CC )
3230, 31sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( U `  i )  e.  CC )
33 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
34 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
3533, 34elicc2i 11357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
3635simp1bi 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  e.  RR )
3736recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  e.  CC )
3837ad2antll 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  t  e.  CC )
3938adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  CC )
40 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 P )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  P
) ) )
4140simplbi 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( F `
 P )  e.  RR )
4241recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( F `
 P )  e.  CC )
4342adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
4443ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
4544adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
46 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 Q )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  Q
) ) )
4746simplbi 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( F `
 Q )  e.  RR )
4847recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( F `
 Q )  e.  CC )
4948adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
5049ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
5150adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
52 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
53 simpr1 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
t  e.  CC )
54 simpr3 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  CC )
5553, 54mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )
56 subcl 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  e.  CC )
5752, 55, 56sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC )
58 subcl 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( F `  P )
)  e.  CC )
5952, 58mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  P )  e.  CC  ->  (
1  -  ( F `
 P ) )  e.  CC )
60593ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( F `
 P ) )  e.  CC )
6160adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  ( F `  P )
)  e.  CC )
62 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( Z `  i
)  e.  CC )
6357, 61, 62subdird 9797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  -  ( 1  -  ( F `  P )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
64 simpr2 990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( F `  P
)  e.  CC )
65 nnncan1 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6652, 65mp3an1 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6755, 64, 66syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6867oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  -  ( 1  -  ( F `  P )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( Z `  i ) ) )
69 subdi 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
t  x.  ( 1  -  ( F `  Q ) ) )  =  ( ( t  x.  1 )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) ) )
7052, 69mp3an2 1297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( ( t  x.  1 )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
71 mulid1 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  e.  CC  ->  (
t  x.  1 )  =  t )
7271adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  1 )  =  t )
7372oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( ( t  x.  1 )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7470, 73eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7553, 54, 74syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7675oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) ) ) )
77 npncan 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  t  e.  CC  /\  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7852, 77mp3an1 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  t )  +  ( t  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
7953, 55, 78syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
8076, 79eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  ( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q )
) ) ) )
8180oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q
) ) ) )  x.  ( Z `  i ) ) )
82 subcl 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  t  e.  CC )  ->  ( 1  -  t
)  e.  CC )
8352, 82mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  CC  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
84833ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
8584adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  t
)  e.  CC )
86 subcl 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( F `  Q )
)  e.  CC )
8752, 86mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  Q )  e.  CC  ->  (
1  -  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
88873ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
8988adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  ( F `  Q )
)  e.  CC )
9053, 89mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC )
9185, 90, 62adddird 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) ) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9253, 89, 62mulassd 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9392oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
) ) ) )
9481, 91, 933eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
) ) ) )
9594oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9663, 68, 953eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
97 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( U `  i
)  e.  CC )
9864, 55, 97subdird 9797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( ( t  x.  ( F `  Q ) )  x.  ( U `  i
) ) ) )
9953, 54, 97mulassd 9405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( t  x.  ( F `  Q
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )
10099oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) )  -  (
( t  x.  ( F `  Q )
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
10198, 100eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
10296, 101eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  =  ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( U `
 i ) )  <-> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
10361, 62mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10464, 97mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
)  e.  CC )
10585, 62mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10689, 62mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10753, 106mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  e.  CC )
108105, 107addcld 9401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  e.  CC )
10954, 97mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
)  e.  CC )
11053, 109mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) )  e.  CC )
111103, 104, 108, 110addsubeq4d 9766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
112105, 107, 110addassd 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) )  +  ( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
11353, 106, 109adddid 9406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
114113oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) )  +  ( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
115112, 114eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
116115eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )  <-> 
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
117102, 111, 1163bitr2rd 282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) ) ) )
11829, 32, 39, 45, 51, 117syl23anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( Z `  i ) )  =  ( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
) ) )
119118ralbidva 2729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  =  ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( U `
 i ) ) ) )
12039, 51mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
12145, 120subcld 9715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  e.  CC )
122 mulcan1g 9985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC  /\  ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i )  e.  CC )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
123121, 29, 32, 122syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
124123ralbidva 2729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) )  =  ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( U `  i
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  =  0  \/  ( Z `
 i )  =  ( U `  i
) ) ) )
125 r19.32v 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i
)  =  ( U `
 i ) )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
126 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  Z  =/=  U )
127126neneqd 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  -.  Z  =  U )
128 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  Z  =  U  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  <-> 
( Z  =  U  \/  ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0 ) ) )
129 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  =  U  \/  ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0 )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  Z  =  U ) )
130128, 129syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  Z  =  U  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  Z  =  U ) ) )
131127, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  <->  (
( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  Z  =  U ) ) )
13238, 50mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
13344, 132subeq0ad 9725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
134 eqeefv 23068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( Z  =  U  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
1351343adant1 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( Z  =  U  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
136135adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  -> 
( Z  =  U  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
137136adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( Z  =  U  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
138137orbi2d 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  Z  =  U )  <->  ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  =  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
139131, 133, 1383bitr3rd 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) )  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
140125, 139syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i
)  =  ( U `
 i ) )  <-> 
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
141119, 124, 1403bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
142141anassrs 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
143142rexbidva 2730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
14436adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  RR )
14534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  1  e.  RR )
14646biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  Q
) ) )
147146ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  Q
) ) )
14835simp3bi 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  <_  1 )
149148adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  <_  1 )
150 lemul1a 10179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  Q ) ) )  /\  t  <_  1
)  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 Q ) ) )
151144, 145, 147, 149, 150syl31anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 Q ) ) )
15248ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
153152mulid2d 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  Q ) )  =  ( F `  Q
) )
154151, 153breqtrd 4313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  ( F `  Q )
)
155 breq1 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `  Q
) )  ->  (
( F `  P
)  <_  ( F `  Q )  <->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  ( F `  Q )
) )
156154, 155syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `  Q
) )  ->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q
) ) )
157156rexlimdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
158 0elunit 11399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
159 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  P )  =  0 )
16048mul02d 9563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 0  x.  ( F `  Q ) )  =  0 )
161160adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 0  x.  ( F `  Q
) )  =  0 )
162159, 161eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  P )  =  ( 0  x.  ( F `
 Q ) ) )
163 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  0  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  =  ( 0  x.  ( F `  Q
) ) )
164163eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  =  ( 0  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
165164rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( F `  P )  =  ( 0  x.  ( F `  Q
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
166158, 162, 165sylancr 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
167166adantrl 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) )
168167a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  ( ( F `  P )  <_  ( F `  Q
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
169168ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  P )  =  0  ->  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  Q
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) ) )
170 simp3 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)
17141adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  P )  e.  RR )
1721713ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  e.  RR )
17340simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( F `  P
) )
174173adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  P
) )
1751743ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  0  <_  ( F `  P ) )
17647adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
1771763ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
17833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  0  e.  RR )
179 simp1 983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  =/=  0
)
180172, 175, 179ne0gt0d 9507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  0  <  ( F `  P ) )
181178, 172, 177, 180, 170ltletrd 9527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  0  <  ( F `  Q ) )
182 divelunit 11423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  P ) )  /\  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <  ( F `
 Q ) ) )  ->  ( (
( F `  P
)  /  ( F `
 Q ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
183172, 175, 177, 181, 182syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( (
( F `  P
)  /  ( F `
 Q ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
184170, 183mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( ( F `  P )  /  ( F `  Q ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
185433ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  e.  CC )
186493ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
187181gt0ne0d 9900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  Q )  =/=  0
)
188185, 186, 187divcan1d 10104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( (
( F `  P
)  /  ( F `
 Q ) )  x.  ( F `  Q ) )  =  ( F `  P
) )
189188eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  x.  ( F `
 Q ) ) )
190 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( F `
 P )  / 
( F `  Q
) )  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q ) )  x.  ( F `  Q
) ) )
191190eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( F `
 P )  / 
( F `  Q
) )  ->  (
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
192191rspcev 3070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( F `  P )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q ) )  x.  ( F `  Q
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
193184, 189, 192syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) )
1941933exp 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  P )  =/=  0  ->  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  Q
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) ) )
195169, 194pm2.61ine 2685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
( F `  P
)  <_  ( F `  Q )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
196157, 195impbid 191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
197196adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
198143, 197bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
19926, 198sylan9bbr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
200199anasss 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( P `
 i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  /\  ( Q `
 i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
20118, 200sylan2b 472 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
20214, 201syldan 467 . 2  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i )
) )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
20310, 202bitrd 253 1  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   <.cop 3880   class class class wbr 4289   {copab 4346   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   [,)cico 11298   [,]cicc 11299   ...cfz 11433   EEcee 23053    Btwn cbtwn 23054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-z 10643  df-uz 10858  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-ee 23056  df-btwn 23057