MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axcontlem7 25079
Description: Lemma for axcont 25085. Given two points in  D, one preceeds the other iff its scaling constant is less than the other point's. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem7.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem7.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
Distinct variable groups:    t, D, x    i, F, t    i, p, x, N, t    P, i, t, x    Q, i, t, x    U, i, p, t, x    i, Z, p, t, x
Allowed substitution hints:    D( i, p)    P( p)    Q( p)    F( x, p)

Proof of Theorem axcontlem7
StepHypRef Expression
1 axcontlem7.1 . . . . . 6  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
2 ssrab2 3500 . . . . . 6  |-  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  C_  ( EE `  N )
31, 2eqsstri 3448 . . . . 5  |-  D  C_  ( EE `  N )
43sseli 3414 . . . 4  |-  ( P  e.  D  ->  P  e.  ( EE `  N
) )
54ad2antrl 742 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  P  e.  ( EE `  N ) )
6 simpll2 1070 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
73sseli 3414 . . . 4  |-  ( Q  e.  D  ->  Q  e.  ( EE `  N
) )
87ad2antll 743 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  Q  e.  ( EE `  N ) )
9 brbtwn 25008 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( EE
`  N )  /\  Z  e.  ( EE `  N )  /\  Q  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) ) ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1292 . 2  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) ) ) )
11 axcontlem7.2 . . . . 5  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
121, 11axcontlem6 25078 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  P  e.  D )  ->  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
131, 11axcontlem6 25078 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  Q  e.  D )  ->  (
( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
1412, 13anim12dan 855 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) )  /\  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) )
15 an4 840 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
16 r19.26 2904 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
1716anbi2i 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( P `
 i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  /\  ( Q `
 i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
1815, 17bitr4i 260 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
19 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  ->  ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) ) )
20 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) )  ->  (
t  x.  ( Q `
 i ) )  =  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) )
2120oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) )  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) )
2219, 21eqeqan12d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
2322ralimi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) )  <->  ( (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) ) )
24 ralbi 2908 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i
) ) )  <->  ( (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) ) )
2625rexbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
27 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N
) )
28 fveecn 25011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( Z `  i )  e.  CC )
2927, 28sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( Z `  i )  e.  CC )
30 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  U  e.  ( EE `  N
) )
31 fveecn 25011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( U `  i )  e.  CC )
3230, 31sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( U `  i )  e.  CC )
33 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
34 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
3533, 34elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
3635simp1bi 1045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  e.  RR )
3736recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  e.  CC )
3837ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  t  e.  CC )
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  t  e.  CC )
40 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 P )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  P
) ) )
4140simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( F `
 P )  e.  RR )
4241recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( F `
 P )  e.  CC )
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
4443ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  P )  e.  CC )
46 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 Q )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  Q
) ) )
4746simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( F `
 Q )  e.  RR )
4847recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( F `
 Q )  e.  CC )
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
5049ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
52 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
53 simpr1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
t  e.  CC )
54 simpr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  CC )
5553, 54mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )
56 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  e.  CC )
5752, 55, 56sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC )
58 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( F `  P )
)  e.  CC )
5952, 58mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  P )  e.  CC  ->  (
1  -  ( F `
 P ) )  e.  CC )
60593ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( F `
 P ) )  e.  CC )
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  ( F `  P )
)  e.  CC )
62 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( Z `  i
)  e.  CC )
6357, 61, 62subdird 10096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  -  ( 1  -  ( F `  P )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
64 simpr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( F `  P
)  e.  CC )
65 nnncan1 9930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6652, 65mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6755, 64, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  -  (
1  -  ( F `
 P ) ) )  =  ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
6867oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  -  ( 1  -  ( F `  P )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( Z `  i ) ) )
69 subdi 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
t  x.  ( 1  -  ( F `  Q ) ) )  =  ( ( t  x.  1 )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) ) )
7052, 69mp3an2 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( ( t  x.  1 )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
71 mulid1 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( t  e.  CC  ->  (
t  x.  1 )  =  t )
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  1 )  =  t )
7372oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( ( t  x.  1 )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7470, 73eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7553, 54, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  =  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7675oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) ) ) )
77 npncan 9915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  t  e.  CC  /\  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
7852, 77mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( t  x.  ( F `  Q )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  t )  +  ( t  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
7953, 55, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  +  ( t  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )  =  ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
8076, 79eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  ( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q )
) ) ) )
8180oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  +  ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q
) ) ) )  x.  ( Z `  i ) ) )
82 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  t  e.  CC )  ->  ( 1  -  t
)  e.  CC )
8352, 82mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  CC  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
84833ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  t )  e.  CC )
8584adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  t
)  e.  CC )
86 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  -> 
( 1  -  ( F `  Q )
)  e.  CC )
8752, 86mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  Q )  e.  CC  ->  (
1  -  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
88873ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  CC  /\  ( F `  P )  e.  CC  /\  ( F `  Q )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
8988adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( 1  -  ( F `  Q )
)  e.  CC )
9053, 89mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC )
9185, 90, 62adddird 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  +  ( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) ) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9253, 89, 62mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( t  x.  ( 1  -  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9392oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( t  x.  (
1  -  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
) ) ) )
9481, 91, 933eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
) ) ) )
9594oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
9663, 68, 953eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )  -  ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) ) ) )
97 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( U `  i
)  e.  CC )
9864, 55, 97subdird 10096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( ( t  x.  ( F `  Q ) )  x.  ( U `  i
) ) ) )
9953, 54, 97mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( t  x.  ( F `  Q
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )
10099oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) )  -  (
( t  x.  ( F `  Q )
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
10198, 100eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
10296, 101eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  =  ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( U `
 i ) )  <-> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
10361, 62mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10464, 97mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
)  e.  CC )
10585, 62mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10689, 62mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  e.  CC )
10753, 106mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  e.  CC )
108105, 107addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  e.  CC )
10954, 97mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
)  e.  CC )
11053, 109mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) )  e.  CC )
111103, 104, 108, 110addsubeq4d 10056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  -  (
( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) ) )  =  ( ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) )  -  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) ) )
112105, 107, 110addassd 9683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) )  +  ( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
11353, 106, 109adddid 9685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )
114113oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) ) )  +  ( t  x.  (
( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
115112, 114eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( 1  -  ( F `  Q )
)  x.  ( Z `
 i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )
116115eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( t  x.  ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) ) ) )  +  ( t  x.  ( ( F `
 Q )  x.  ( U `  i
) ) ) )  <-> 
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) ) )
117102, 111, 1163bitr2rd 290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i
)  e.  CC )  /\  ( t  e.  CC  /\  ( F `
 P )  e.  CC  /\  ( F `
 Q )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) ) ) )
11829, 32, 39, 45, 51, 117syl23anc 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( Z `  i ) )  =  ( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( U `  i )
) ) )
119118ralbidva 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( Z `  i
) )  =  ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( U `
 i ) ) ) )
12039, 51mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
12145, 120subcld 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  e.  CC )
122 mulcan1g 10287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  e.  CC  /\  ( Z `  i )  e.  CC  /\  ( U `  i )  e.  CC )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
123121, 29, 32, 122syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  x.  ( Z `  i )
)  =  ( ( ( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  x.  ( U `  i ) )  <->  ( (
( F `  P
)  -  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
124123ralbidva 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  x.  ( Z `
 i ) )  =  ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  x.  ( U `  i
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  =  0  \/  ( Z `
 i )  =  ( U `  i
) ) ) )
125 r19.32v 2922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i
)  =  ( U `
 i ) )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
126 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  Z  =/=  U )
127126neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  -.  Z  =  U )
128 biorf 412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  Z  =  U  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  <-> 
( Z  =  U  \/  ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0 ) ) )
129 orcom 394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Z  =  U  \/  ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0 )  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  Z  =  U ) )
130128, 129syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  Z  =  U  -> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  <-> 
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  Z  =  U ) ) )
131127, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  <->  (
( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  Z  =  U ) ) )
13238, 50mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  e.  CC )
13344, 132subeq0ad 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `  Q
) ) ) )
134 eqeefv 25012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( Z  =  U  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
1351343adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( Z  =  U  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
136135adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  -> 
( Z  =  U  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
137136adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( Z  =  U  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) )
138137orbi2d 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  Z  =  U )  <->  ( ( ( F `  P )  -  ( t  x.  ( F `  Q
) ) )  =  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
139131, 133, 1383bitr3rd 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( ( F `
 P )  -  ( t  x.  ( F `  Q )
) )  =  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Z `  i )  =  ( U `  i ) )  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
140125, 139syl5bb 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( F `  P )  -  (
t  x.  ( F `
 Q ) ) )  =  0  \/  ( Z `  i
)  =  ( U `
 i ) )  <-> 
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
141119, 124, 1403bitrd 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( 1  -  ( F `  P
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  (
( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) )  <->  ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
142141anassrs 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
143142rexbidva 2889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) ) )
14436adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  RR )
145 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  1  e.  RR )
14646biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  Q
) ) )
147146ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  Q
) ) )
14835simp3bi 1047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  t  <_  1 )
149148adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  <_  1 )
150 lemul1a 10481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  Q ) ) )  /\  t  <_  1
)  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 Q ) ) )
151144, 145, 147, 149, 150syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  (
1  x.  ( F `
 Q ) ) )
15248ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
153152mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  Q ) )  =  ( F `  Q
) )
154151, 153breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  ( F `  Q )
)
155 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `  Q
) )  ->  (
( F `  P
)  <_  ( F `  Q )  <->  ( t  x.  ( F `  Q
) )  <_  ( F `  Q )
) )
156154, 155syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `  Q
) )  ->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q
) ) )
157156rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  -> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
158 0elunit 11776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
159 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  P )  =  0 )
16048mul02d 9849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( 0  x.  ( F `  Q ) )  =  0 )
161160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( 0  x.  ( F `  Q
) )  =  0 )
162159, 161eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  P )  =  ( 0  x.  ( F `
 Q ) ) )
163 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  0  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  =  ( 0  x.  ( F `  Q
) ) )
164163eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  =  ( 0  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
165164rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( F `  P )  =  ( 0  x.  ( F `  Q
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
166158, 162, 165sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
167166adantrl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) )
168167a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  P
)  =  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  ( ( F `  P )  <_  ( F `  Q
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
169168ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  P )  =  0  ->  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  Q
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) ) )
170 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)
17141adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  P )  e.  RR )
1721713ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  e.  RR )
17340simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( F `  P
) )
174173adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  0  <_  ( F `  P
) )
1751743ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  0  <_  ( F `  P ) )
17647adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
1771763ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
178 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  0  e.  RR )
179 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  =/=  0
)
180172, 175, 179ne0gt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  0  <  ( F `  P ) )
181178, 172, 177, 180, 170ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  0  <  ( F `  Q ) )
182 divelunit 11800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  P ) )  /\  ( ( F `  Q )  e.  RR  /\  0  <  ( F `
 Q ) ) )  ->  ( (
( F `  P
)  /  ( F `
 Q ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
183172, 175, 177, 181, 182syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( (
( F `  P
)  /  ( F `
 Q ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
184170, 183mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( ( F `  P )  /  ( F `  Q ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
185433ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  e.  CC )
186493ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
187181gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  Q )  =/=  0
)
188185, 186, 187divcan1d 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( (
( F `  P
)  /  ( F `
 Q ) )  x.  ( F `  Q ) )  =  ( F `  P
) )
189188eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  ( F `  P )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  x.  ( F `
 Q ) ) )
190 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( F `
 P )  / 
( F `  Q
) )  ->  (
t  x.  ( F `
 Q ) )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q ) )  x.  ( F `  Q
) ) )
191190eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( F `
 P )  / 
( F `  Q
) )  ->  (
( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
192191rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q )
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( F `  P )  =  ( ( ( F `  P )  /  ( F `  Q ) )  x.  ( F `  Q
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) ) )
193184, 189, 192syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  P
)  =/=  0  /\  ( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) )
1941933exp 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  P )  =/=  0  ->  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  Q
)  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) ) )
195169, 194pm2.61ine 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
( F `  P
)  <_  ( F `  Q )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) ) ) )
196157, 195impbid 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( F `  P
)  =  ( t  x.  ( F `  Q ) )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
197196adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  P )  =  ( t  x.  ( F `
 Q ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
198143, 197bitrd 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( 1  -  ( F `
 P ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  P )  x.  ( U `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
19926, 198sylan9bbr 715 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( F `  P
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) )  /\  ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `
 Q ) )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i )
) ) ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
200199anasss 659 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  ( F `  Q
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( P `
 i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  P
)  x.  ( U `
 i ) ) )  /\  ( Q `
 i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q ) )  x.  ( Z `  i
) )  +  ( ( F `  Q
)  x.  ( U `
 i ) ) ) ) ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
20118, 200sylan2b 483 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
( ( F `  P )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i
)  =  ( ( ( 1  -  ( F `  P )
)  x.  ( Z `
 i ) )  +  ( ( F `
 P )  x.  ( U `  i
) ) ) )  /\  ( ( F `
 Q )  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( Q `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( F `  Q
) )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( ( F `  Q )  x.  ( U `  i ) ) ) ) ) )  -> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i )
)  +  ( t  x.  ( Q `  i ) ) )  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
20214, 201syldan 478 . 2  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( P `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( Q `  i )
) )  <->  ( F `  P )  <_  ( F `  Q )
) )
20310, 202bitrd 261 1  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  ( P  e.  D  /\  Q  e.  D )
)  ->  ( P  Btwn  <. Z ,  Q >.  <-> 
( F `  P
)  <_  ( F `  Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ...cfz 11810   EEcee 24997    Btwn cbtwn 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-z 10962  df-uz 11183  df-ico 11666  df-icc 11667 &nb