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Theorem axcontlem12 25818
Description: Lemma for axcont 25819. Eliminate the trivial cases from the previous lemmas. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcontlem12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Distinct variable groups:    A, b, x    B, b, x, y    N, b, x, y    Z, b, x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem axcontlem12
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rzal 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  (/)  ->  A. y  e.  B  Z  Btwn  <.
x ,  y >.
)
21ralrimivw 2750 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <.
x ,  y >.
)
3 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  Z  ->  (
b  Btwn  <. x ,  y >.  <->  Z  Btwn  <. x ,  y >. )
)
432ralbidv 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  Z  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
54rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
65expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>.  ->  ( Z  e.  ( EE `  N
)  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
72, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( Z  e.  ( EE `  N )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
87adantld 454 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
98adantld 454 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( ( ( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
10 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) ) )
11 simprrr 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
12 simprll 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  u  e.  A
)
13 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  B  =/=  (/) )
1411, 12, 133jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  ( Z  e.  ( EE `  N
)  /\  u  e.  A  /\  B  =/=  (/) ) )
15 simprlr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  Z  =/=  u
)
16 axcontlem11 25817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  u  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  u ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
1710, 14, 15, 16syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
1817ex 424 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( (
( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
199, 18pm2.61ine 2643 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  Z  =/=  u
)  /\  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
2019ex 424 . . 3  |-  ( ( u  e.  A  /\  Z  =/=  u )  -> 
( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
2120rexlimiva 2785 . 2  |-  ( E. u  e.  A  Z  =/=  u  ->  ( (
( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
22 df-ne 2569 . . . . . 6  |-  ( Z  =/=  u  <->  -.  Z  =  u )
2322con2bii 323 . . . . 5  |-  ( Z  =  u  <->  -.  Z  =/=  u )
2423ralbii 2690 . . . 4  |-  ( A. u  e.  A  Z  =  u  <->  A. u  e.  A  -.  Z  =/=  u
)
25 ralnex 2676 . . . 4  |-  ( A. u  e.  A  -.  Z  =/=  u  <->  -.  E. u  e.  A  Z  =/=  u )
2624, 25bitri 241 . . 3  |-  ( A. u  e.  A  Z  =  u  <->  -.  E. u  e.  A  Z  =/=  u )
27 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE
`  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. )
28 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  x  ->  ( Z  =  u  <->  Z  =  x ) )
2928rspccva 3011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  x  e.  A )  ->  Z  =  x )
30 opeq1 3944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  =  x  ->  <. Z , 
y >.  =  <. x ,  y >. )
3130breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  =  x  ->  (
x  Btwn  <. Z , 
y >. 
<->  x  Btwn  <. x ,  y >. ) )
32 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  =  x  ->  ( Z  Btwn  <. x ,  y
>. 
<->  x  Btwn  <. x ,  y >. ) )
3331, 32bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  x  ->  (
x  Btwn  <. Z , 
y >. 
<->  Z  Btwn  <. x ,  y >. ) )
3433ralbidv 2686 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  x  ->  ( A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. 
<-> 
A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z , 
y >. 
<-> 
A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
3635ralbidva 2682 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  A  Z  =  u  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
3736biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <.
x ,  y >.
)
3827, 37sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  Z  Btwn  <. x ,  y
>. )
3938, 5sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) ) ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
4039ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( ( A. u  e.  A  Z  =  u  /\  ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
4140expl 602 . . 3  |-  ( A. u  e.  A  Z  =  u  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
4226, 41sylbir 205 . 2  |-  ( -. 
E. u  e.  A  Z  =/=  u  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
4321, 42pm2.61i 158 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  Z  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   <.cop 3777   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   NNcn 9956   EEcee 25731    Btwn cbtwn 25732
This theorem is referenced by:  axcont  25819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-z 10239  df-uz 10445  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-ee 25734  df-btwn 25735
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