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Theorem axcontlem10 24481
Description: Lemma for axcont 24484. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem10.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Distinct variable groups:    A, b, p, x    B, b, p, x, y    D, p, t, x    F, b   
i, F, p, t, x    y, F    N, b    i, N, p, t, x    y, N    U, b    U, i, p, t, x    y, U    Z, b    i, Z, p, t, x    y, Z
Allowed substitution hints:    A( y, t, i)    B( t, i)    D( y, i, b)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables  k  m  n  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5336 . . . . 5  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
2 simpll 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  N  e.  NN )
3 simprl1 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
4 simplr1 1036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  ( EE `  N ) )
5 simprl2 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  A
)
64, 5sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  ( EE `  N ) )
7 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  =/=  U
)
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
108, 9axcontlem2 24473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  ->  F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-onto-> (
0 [,) +oo )
)
12 f1ofo 5805 . . . . . 6  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D -onto->
( 0 [,) +oo ) )
13 forn 5780 . . . . . 6  |-  ( F : D -onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  F  =  ( 0 [,) +oo ) )
1411, 12, 133syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ran  F  =  ( 0 [,) +oo ) )
151, 14syl5sseq 3537 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  (
0 [,) +oo )
)
16 rge0ssre 11631 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
1715, 16syl6ss 3501 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  RR )
18 imassrn 5336 . . . . 5  |-  ( F
" B )  C_  ran  F
1918, 14syl5sseq 3537 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  (
0 [,) +oo )
)
2019, 16syl6ss 3501 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  RR )
218, 9axcontlem9 24480 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) m  <_  n )
22 dedekindle 9734 . . 3  |-  ( ( ( F " A
)  C_  RR  /\  ( F " B )  C_  RR  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) m  <_  n
)  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
2317, 20, 21, 22syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )
24 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
25 simprl3 1041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  =/=  (/) )
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  B  =/=  (/) )
27 n0 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  B )
2826, 27sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  E. b  b  e.  B )
29 0red 9586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  e.  RR )
30 f1of 5798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
3111, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
328axcontlem4 24475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  D
)
3332, 5sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  D
)
3431, 33ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
3516, 34sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
3635ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
37 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  k  e.  RR )
38 elrege0 11630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 U )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  U
) ) )
3938simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( F `  U
) )
4034, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  0  <_  ( F `  U )
)
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  ( F `  U ) )
42 f1of1 5797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
4311, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
44 f1elima 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )  /\  U  e.  D  /\  A  C_  D )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
4543, 33, 32, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
465, 45mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
4746adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
48 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
4943adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
50 simpl1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
51 simpl2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  U  e.  A )
52 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  =/=  U )
5350, 51, 523jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  -> 
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/=  U
) )
548axcontlem3 24474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/= 
U ) )  ->  B  C_  D )
5553, 54sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  D
)
5655sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  D )
5755adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  B  C_  D )
58 f1elima 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D  /\  B  C_  D )  ->  ( ( F `
 b )  e.  ( F " B
)  <->  b  e.  B
) )
5949, 56, 57, 58syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( ( F `  b )  e.  ( F " B )  <-> 
b  e.  B ) )
6048, 59mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  b
)  e.  ( F
" B ) )
6160adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )
6247, 61jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  e.  ( F " A
)  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) ) )
63 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  U )  <_  k
) )
6463anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
65 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  b ) ) )
6665anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 b ) ) ) )
6764, 66rspc2va 3217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  U )  e.  ( F " A )  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
6862, 67sylan 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
6968an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  b
) ) )
7069simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  <_  k
)
7129, 36, 37, 41, 70letrd 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  k )
7271expr 613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  k )
)
7372exlimdv 1729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( E. b  b  e.  B  ->  0  <_  k ) )
7428, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  0  <_  k )
75 elrege0 11630 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  0  <_ 
k ) )
7624, 74, 75sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7776ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
78 ssrab2 3571 . . . . . . . . . 10  |-  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  C_  ( EE `  N )
798, 78eqsstri 3519 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( EE `  N )
80 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
81 f1ocnvdm 6163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D
)
8211, 80, 81syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
8379, 82sseldi 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N ) )
842, 3, 63jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) ) )
8584, 7jca 530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U ) )
8685adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U ) )
8732sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  D )
8887adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  q  e.  D )
8988adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  q  e.  D )
90 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9111, 90, 81syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
9255sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  r  e.  B )  ->  r  e.  D )
9392adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  r  e.  D )
9493adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  r  e.  D )
9589, 91, 943jca 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )
9686, 95jca 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) ) )
97 f1ofun 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  Fun  F )
9811, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Fun  F )
99 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  F  =  D )
10011, 30, 993syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  dom  F  =  D )
10132, 100sseqtr4d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  dom  F )
102 funfvima2 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( q  e.  A  ->  ( F `  q
)  e.  ( F
" A ) ) )
10398, 101, 102syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( F `  q )  e.  ( F " A ) ) )
10455, 100sseqtr4d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  dom  F )
105 funfvima2 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_ 
dom  F )  -> 
( r  e.  B  ->  ( F `  r
)  e.  ( F
" B ) ) )
10698, 104, 105syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( r  e.  B  ->  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
107103, 106anim12d 561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( q  e.  A  /\  r  e.  B )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) ) )
108107imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
109108adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
110 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
111 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
112111anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
113 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
114113anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 r ) ) ) )
115112, 114rspc2v 3216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) )  -> 
( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
116109, 110, 115sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  r ) ) )
117 f1ocnvfv2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  k ) )  =  k )
11811, 90, 117syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( F `  ( `' F `  k )
)  =  k )
119118breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
120118breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r )  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
121119, 120anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( F `  q )  <_  ( F `  ( `' F `  k )
)  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  <->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
122116, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r ) ) )
1238, 9axcontlem8 24479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )  -> 
( ( ( F `
 q )  <_ 
( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `
 ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. ) )
12496, 122, 123sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. )
125124anassrs 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
126125ralrimivva 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
127 opeq1 4203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  <. q ,  r >.  =  <. x ,  r >. )
128127breq2d 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  x  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r
>. ) )
129 opeq2 4204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  y  ->  <. x ,  r >.  =  <. x ,  y >. )
130129breq2d 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  y  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
131128, 130cbvral2v 3089 . . . . . . . . 9  |-  ( A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. )
132126, 131sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. )
133 breq1 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  (
b  Btwn  <. x ,  y >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )
)
1341332ralbidv 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. ) )
135134rspcev 3207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
13683, 132, 135syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
137136expr 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
13877, 137syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
139138ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  ( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N
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) )
140139com23 78 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( k  e.  RR  ->  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) )
141140rexlimdv 2944 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
14223, 141mpd 15 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   (/)c0 3783   <.cop 4022   class class class wbr 4439   {copab 4496   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   "cima 4991   Fun wfun 5564   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -onto->wfo 5568   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   [,)cico 11534   ...cfz 11675   EEcee 24396    Btwn cbtwn 24397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-z 10861  df-uz 11083  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-ee 24399  df-btwn 24400
This theorem is referenced by:  axcontlem11  24482
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