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Theorem axcontlem10 24945
Description: Lemma for axcont 24948. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem10.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Distinct variable groups:    A, b, p, x    B, b, p, x, y    D, p, t, x    F, b   
i, F, p, t, x    y, F    N, b    i, N, p, t, x    y, N    U, b    U, i, p, t, x    y, U    Z, b    i, Z, p, t, x    y, Z
Allowed substitution hints:    A( y, t, i)    B( t, i)    D( y, i, b)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables  k  m  n  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5141 . . . . 5  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
2 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  N  e.  NN )
3 simprl1 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
4 simplr1 1047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  ( EE `  N ) )
5 simprl2 1051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  A
)
64, 5sseldd 3408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  ( EE `  N ) )
7 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  =/=  U
)
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
108, 9axcontlem2 24937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  ->  F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-onto-> (
0 [,) +oo )
)
12 f1ofo 5781 . . . . . 6  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D -onto->
( 0 [,) +oo ) )
13 forn 5756 . . . . . 6  |-  ( F : D -onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  F  =  ( 0 [,) +oo ) )
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ran  F  =  ( 0 [,) +oo ) )
151, 14syl5sseq 3455 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  (
0 [,) +oo )
)
16 rge0ssre 11691 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
1715, 16syl6ss 3419 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  RR )
18 imassrn 5141 . . . . 5  |-  ( F
" B )  C_  ran  F
1918, 14syl5sseq 3455 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  (
0 [,) +oo )
)
2019, 16syl6ss 3419 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  RR )
218, 9axcontlem9 24944 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) m  <_  n )
22 dedekindle 9749 . . 3  |-  ( ( ( F " A
)  C_  RR  /\  ( F " B )  C_  RR  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) m  <_  n
)  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
2317, 20, 21, 22syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )
24 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
25 simprl3 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  =/=  (/) )
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  B  =/=  (/) )
27 n0 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  B )
2826, 27sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  E. b  b  e.  B )
29 0red 9595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  e.  RR )
30 f1of 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
328axcontlem4 24939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  D
)
3332, 5sseldd 3408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  D
)
3431, 33ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
3516, 34sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
3635ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
37 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  k  e.  RR )
38 elrege0 11689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 U )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  U
) ) )
3938simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( F `  U
) )
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  0  <_  ( F `  U )
)
4140ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  ( F `  U ) )
42 f1of1 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
44 f1elima 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )  /\  U  e.  D  /\  A  C_  D )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
4543, 33, 32, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
465, 45mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
4746adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
48 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
4943adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
50 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
51 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  U  e.  A )
52 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  =/=  U )
5350, 51, 523jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  -> 
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/=  U
) )
548axcontlem3 24938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/= 
U ) )  ->  B  C_  D )
5553, 54sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  D
)
5655sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  D )
5755adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  B  C_  D )
58 f1elima 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D  /\  B  C_  D )  ->  ( ( F `
 b )  e.  ( F " B
)  <->  b  e.  B
) )
5949, 56, 57, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( ( F `  b )  e.  ( F " B )  <-> 
b  e.  B ) )
6048, 59mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  b
)  e.  ( F
" B ) )
6160adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )
6247, 61jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  e.  ( F " A
)  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) ) )
63 breq1 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  U )  <_  k
) )
6463anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
65 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  b ) ) )
6665anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 b ) ) ) )
6764, 66rspc2va 3135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  U )  e.  ( F " A )  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
6862, 67sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
6968an32s 811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  b
) ) )
7069simpld 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  <_  k
)
7129, 36, 37, 41, 70letrd 9743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  k )
7271expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  k )
)
7372exlimdv 1772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( E. b  b  e.  B  ->  0  <_  k ) )
7428, 73mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  0  <_  k )
75 elrege0 11689 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  0  <_ 
k ) )
7624, 74, 75sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7776ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
78 ssrab2 3489 . . . . . . . . . 10  |-  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  C_  ( EE `  N )
798, 78eqsstri 3437 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( EE `  N )
80 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
81 f1ocnvdm 6142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D
)
8211, 80, 81syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
8379, 82sseldi 3405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N ) )
842, 3, 63jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) ) )
8584, 7jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U ) )
8685adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U ) )
8732sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  D )
8887adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  q  e.  D )
8988adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  q  e.  D )
90 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9111, 90, 81syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
9255sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  r  e.  B )  ->  r  e.  D )
9392adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  r  e.  D )
9493adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  r  e.  D )
9589, 91, 943jca 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )
9686, 95jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) ) )
97 f1ofun 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  Fun  F )
9811, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Fun  F )
99 fdm 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  F  =  D )
10011, 30, 993syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  dom  F  =  D )
10132, 100sseqtr4d 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  dom  F )
102 funfvima2 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( q  e.  A  ->  ( F `  q
)  e.  ( F
" A ) ) )
10398, 101, 102syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( F `  q )  e.  ( F " A ) ) )
10455, 100sseqtr4d 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  dom  F )
105 funfvima2 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_ 
dom  F )  -> 
( r  e.  B  ->  ( F `  r
)  e.  ( F
" B ) ) )
10698, 104, 105syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( r  e.  B  ->  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
107103, 106anim12d 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( q  e.  A  /\  r  e.  B )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) ) )
108107imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
109108adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
110 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
111 breq1 4369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
112111anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
113 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
114113anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 r ) ) ) )
115112, 114rspc2v 3134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) )  -> 
( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
116109, 110, 115sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  r ) ) )
117 f1ocnvfv2 6135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  k ) )  =  k )
11811, 90, 117syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( F `  ( `' F `  k )
)  =  k )
119118breq2d 4378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
120118breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r )  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
121119, 120anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( F `  q )  <_  ( F `  ( `' F `  k )
)  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  <->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
122116, 121mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r ) ) )
1238, 9axcontlem8 24943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )  -> 
( ( ( F `
 q )  <_ 
( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `
 ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. ) )
12496, 122, 123sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. )
125124anassrs 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
126125ralrimivva 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
127 opeq1 4130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  <. q ,  r >.  =  <. x ,  r >. )
128127breq2d 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  x  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r
>. ) )
129 opeq2 4131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  y  ->  <. x ,  r >.  =  <. x ,  y >. )
130129breq2d 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  y  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
131128, 130cbvral2v 3004 . . . . . . . . 9  |-  ( A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. )
132126, 131sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. )
133 breq1 4369 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  (
b  Btwn  <. x ,  y >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )
)
1341332ralbidv 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. ) )
135134rspcev 3125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
13683, 132, 135syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
137136expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
13877, 137syld 45 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
139138ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  ( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N
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) )
140139com23 81 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( k  e.  RR  ->  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) )
141140rexlimdv 2854 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
14223, 141mpd 15 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    C_ wss 3379   (/)c0 3704   <.cop 3947   class class class wbr 4366   {copab 4424   `'ccnv 4795   dom cdm 4796   ran crn 4797   "cima 4799   Fun wfun 5538   -->wf 5540   -1-1->wf1 5541   -onto->wfo 5542   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   +oocpnf 9623    <_ cle 9627    - cmin 9811   NNcn 10560   [,)cico 11588   ...cfz 11735   EEcee 24860    Btwn cbtwn 24861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-z 10889  df-uz 11111  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-ee 24863  df-btwn 24864
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