MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem10 Structured version   Unicode version

Theorem axcontlem10 23154
Description: Lemma for axcont 23157. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
axcontlem10.2  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Distinct variable groups:    A, b, p, x    B, b, p, x, y    D, p, t, x    F, b   
i, F, p, t, x    y, F    N, b    i, N, p, t, x    y, N    U, b    U, i, p, t, x    y, U    Z, b    i, Z, p, t, x    y, Z
Allowed substitution hints:    A( y, t, i)    B( t, i)    D( y, i, b)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables  k  m  n  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5177 . . . . 5  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
2 simpll 748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  N  e.  NN )
3 simprl1 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
4 simplr1 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  ( EE `  N ) )
5 simprl2 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  A
)
64, 5sseldd 3354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  ( EE `  N ) )
7 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Z  =/=  U
)
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8  |-  D  =  { p  e.  ( EE `  N )  |  ( U  Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. x ,  t
>.  |  ( x  e.  D  /\  (
t  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( Z `  i ) )  +  ( t  x.  ( U `  i )
) ) ) ) }
108, 9axcontlem2 23146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U )  ->  F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-onto-> (
0 [,) +oo )
)
12 f1ofo 5645 . . . . . 6  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D -onto->
( 0 [,) +oo ) )
13 forn 5620 . . . . . 6  |-  ( F : D -onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  ran  F  =  ( 0 [,) +oo ) )
1411, 12, 133syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ran  F  =  ( 0 [,) +oo ) )
151, 14syl5sseq 3401 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  (
0 [,) +oo )
)
16 elrege0 11388 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
1716simplbi 457 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
1817ssriv 3357 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
1915, 18syl6ss 3365 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " A )  C_  RR )
20 imassrn 5177 . . . . 5  |-  ( F
" B )  C_  ran  F
2120, 14syl5sseq 3401 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  (
0 [,) +oo )
)
2221, 18syl6ss 3365 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F " B )  C_  RR )
238, 9axcontlem9 23153 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) m  <_  n )
24 dedekindle 9530 . . 3  |-  ( ( ( F " A
)  C_  RR  /\  ( F " B )  C_  RR  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) m  <_  n
)  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
2519, 22, 23, 24syl3anc 1213 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )
26 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
27 simprl3 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  =/=  (/) )
2827ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  B  =/=  (/) )
29 n0 3643 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  B )
3028, 29sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  E. b  b  e.  B )
31 0re 9382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  e.  RR )
33 f1of 5638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
3411, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
358axcontlem4 23148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  D
)
3635, 5sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  U  e.  D
)
3734, 36ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
3818, 37sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
3938ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  RR )
40 simprl 750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  k  e.  RR )
41 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 U )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  U
) ) )
4241simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  U )  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_ 
( F `  U
) )
4337, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  0  <_  ( F `  U )
)
4443ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  ( F `  U ) )
45 f1of1 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
4611, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
47 f1elima 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )  /\  U  e.  D  /\  A  C_  D )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
4846, 36, 35, 47syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( F `
 U )  e.  ( F " A
)  <->  U  e.  A
) )
495, 48mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
5049adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  e.  ( F " A ) )
51 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
5246adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )
)
53 simpl1 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  e.  ( EE `  N ) )
54 simpl2 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  U  e.  A )
55 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  ->  Z  =/=  U )
5653, 54, 553jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U )  -> 
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/=  U
) )
578axcontlem3 23147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  ( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  Z  =/= 
U ) )  ->  B  C_  D )
5856, 57sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  D
)
5958sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  D )
6058adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  B  C_  D )
61 f1elima 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D  /\  B  C_  D )  ->  ( ( F `
 b )  e.  ( F " B
)  <->  b  e.  B
) )
6252, 59, 60, 61syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( ( F `  b )  e.  ( F " B )  <-> 
b  e.  B ) )
6351, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  b
)  e.  ( F
" B ) )
6463adantrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )
6550, 64jca 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  e.  ( F " A
)  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) ) )
66 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  U )  <_  k
) )
6766anbi1d 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  U )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
68 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  b ) ) )
6968anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 b ) ) ) )
7067, 69rspc2va 3077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  U )  e.  ( F " A )  /\  ( F `  b )  e.  ( F " B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
7165, 70sylan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  /\  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )  ->  (
( F `  U
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  b ) ) )
7271an32s 797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( ( F `  U )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  b
) ) )
7372simpld 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  ( F `  U )  <_  k
)
7432, 39, 40, 44, 73letrd 9524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  b  e.  B ) )  ->  0  <_  k )
7574expr 612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  k )
)
7675exlimdv 1695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( E. b  b  e.  B  ->  0  <_  k ) )
7730, 76mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  0  <_  k )
78 elrege0 11388 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( k  e.  RR  /\  0  <_ 
k ) )
7926, 77, 78sylanbrc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  /\  k  e.  RR )  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8079ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
81 ssrab2 3434 . . . . . . . . . 10  |-  { p  e.  ( EE `  N
)  |  ( U 
Btwn  <. Z ,  p >.  \/  p  Btwn  <. Z ,  U >. ) }  C_  ( EE `  N )
828, 81eqsstri 3383 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( EE `  N )
83 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
84 f1ocnvdm 5986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D
)
8511, 83, 84syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
8682, 85sseldi 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N ) )
872, 3, 63jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) ) )
8887, 7jca 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U ) )
8988adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/=  U ) )
9035sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  D )
9190adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  q  e.  D )
9291adantrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  q  e.  D )
93 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9411, 93, 84syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k )  e.  D )
9558sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  r  e.  B )  ->  r  e.  D )
9695adantrl 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  r  e.  D )
9796adantrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  r  e.  D )
9892, 94, 973jca 1163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )
9989, 98jca 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) ) )
100 f1ofun 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  ->  Fun  F )
10111, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  Fun  F )
102 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : D --> ( 0 [,) +oo )  ->  dom  F  =  D )
10311, 33, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  dom  F  =  D )
10435, 103sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  A  C_  dom  F )
105 funfvima2 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( q  e.  A  ->  ( F `  q
)  e.  ( F
" A ) ) )
106101, 104, 105syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( q  e.  A  ->  ( F `  q )  e.  ( F " A ) ) )
10758, 103sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  B  C_  dom  F )
108 funfvima2 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_ 
dom  F )  -> 
( r  e.  B  ->  ( F `  r
)  e.  ( F
" B ) ) )
109101, 107, 108syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( r  e.  B  ->  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
110106, 109anim12d 560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( ( q  e.  A  /\  r  e.  B )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) ) )
111110imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( q  e.  A  /\  r  e.  B
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
112111adantrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) ) )
113 simprll 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n ) )
114 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
m  <_  k  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
115114anbi1d 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F `  q )  ->  (
( m  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n ) ) )
116 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
k  <_  n  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
117116anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( F `  r )  ->  (
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  n )  <-> 
( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_  ( F `
 r ) ) ) )
118115, 117rspc2v 3076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  ( F
" A )  /\  ( F `  r )  e.  ( F " B ) )  -> 
( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
119112, 113, 118sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  k  /\  k  <_  ( F `  r ) ) )
120 f1ocnvfv2 5981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  k ) )  =  k )
12111, 93, 120syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( F `  ( `' F `  k )
)  =  k )
122121breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  <->  ( F `  q )  <_  k
) )
123121breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r )  <->  k  <_  ( F `  r ) ) )
124122, 123anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( ( F `  q )  <_  ( F `  ( `' F `  k )
)  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  <->  ( ( F `  q )  <_  k  /\  k  <_ 
( F `  r
) ) ) )
125119, 124mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  (
( F `  q
)  <_  ( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `  ( `' F `  k ) )  <_  ( F `  r ) ) )
1268, 9axcontlem8 23152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  Z  e.  ( EE `  N
)  /\  U  e.  ( EE `  N ) )  /\  Z  =/= 
U )  /\  (
q  e.  D  /\  ( `' F `  k )  e.  D  /\  r  e.  D ) )  -> 
( ( ( F `
 q )  <_ 
( F `  ( `' F `  k ) )  /\  ( F `
 ( `' F `  k ) )  <_ 
( F `  r
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. ) )
12799, 125, 126sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
) )  ->  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. )
128127anassrs 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  /\  (
q  e.  A  /\  r  e.  B )
)  ->  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
129128ralrimivva 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r
>. )
130 opeq1 4056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  <. q ,  r >.  =  <. x ,  r >. )
131130breq2d 4301 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  x  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. q ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r
>. ) )
132 opeq2 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  y  ->  <. x ,  r >.  =  <. x ,  y >. )
133132breq2d 4301 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  y  ->  (
( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  r >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
134131, 133cbvral2v 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( A. q  e.  A  A. r  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. q ,  r
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. )
135129, 134sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y
>. )
136 breq1 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  (
b  Btwn  <. x ,  y >.  <->  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )
)
1371362ralbidv 2755 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( `' F `  k )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k ) 
Btwn  <. x ,  y
>. ) )
138137rspcev 3070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  k )  e.  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( `' F `  k )  Btwn  <. x ,  y >. )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
13986, 135, 138syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n )  /\  k  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
140139expr 612 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
14180, 140syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A 
C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y >. ) )  /\  ( ( Z  e.  ( EE
`  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  /\  A. m  e.  ( F
" A ) A. n  e.  ( F " B ) ( m  <_  k  /\  k  <_  n ) )  -> 
( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. ) )
142141ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  ( k  e.  RR  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) )
143142com23 78 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( k  e.  RR  ->  ( A. m  e.  ( F " A ) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
) )
144143rexlimdv 2838 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. m  e.  ( F " A
) A. n  e.  ( F " B
) ( m  <_ 
k  /\  k  <_  n )  ->  E. b  e.  ( EE `  N
) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y >. )
)
14525, 144mpd 15 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  C_  ( EE `  N )  /\  B  C_  ( EE `  N )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  Btwn  <. Z ,  y
>. ) )  /\  (
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  U  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  /\  Z  =/=  U ) )  ->  E. b  e.  ( EE `  N ) A. x  e.  A  A. y  e.  B  b  Btwn  <. x ,  y
>. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717    C_ wss 3325   (/)c0 3634   <.cop 3880   class class class wbr 4289   {copab 4346   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -onto->wfo 5413   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411    <_ cle 9415    - cmin 9591   NNcn 10318   [,)cico 11298   ...cfz 11433   EEcee 23069    Btwn cbtwn 23070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-z 10643  df-uz 10858  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-ee 23072  df-btwn 23073
This theorem is referenced by:  axcontlem11  23155
  Copyright terms: Public domain W3C validator