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Theorem axcontlem10 23354
 Description: Lemma for axcont 23357. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1
axcontlem10.2
Assertion
Ref Expression
axcontlem10
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5278 . . . . 5
2 simpll 753 . . . . . . 7
3 simprl1 1033 . . . . . . 7
4 simplr1 1030 . . . . . . . 8
5 simprl2 1034 . . . . . . . 8
64, 5sseldd 3455 . . . . . . 7
7 simprr 756 . . . . . . 7
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8
108, 9axcontlem2 23346 . . . . . . 7
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1222 . . . . . 6
12 f1ofo 5746 . . . . . 6
13 forn 5721 . . . . . 6
1411, 12, 133syl 20 . . . . 5
151, 14syl5sseq 3502 . . . 4
16 elrege0 11493 . . . . . 6
1716simplbi 460 . . . . 5
1817ssriv 3458 . . . 4
1915, 18syl6ss 3466 . . 3
20 imassrn 5278 . . . . 5
2120, 14syl5sseq 3502 . . . 4
2221, 18syl6ss 3466 . . 3
238, 9axcontlem9 23353 . . 3
24 dedekindle 9635 . . 3
2519, 22, 23, 24syl3anc 1219 . 2
26 simpr 461 . . . . . . . 8
27 simprl3 1035 . . . . . . . . . . 11
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
29 n0 3744 . . . . . . . . . 10
3028, 29sylib 196 . . . . . . . . 9
31 0re 9487 . . . . . . . . . . . . 13
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
33 f1of 5739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3411, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
358axcontlem4 23348 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635, 5sseldd 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15
3734, 36ffvelrnd 5943 . . . . . . . . . . . . . 14
3818, 37sseldi 3452 . . . . . . . . . . . . 13
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12
41 elrege0 11493 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
4337, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
45 f1of1 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4611, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 f1elima 6075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4846, 36, 35, 47syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
495, 48mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5246adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5653, 54, 553jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
578axcontlem3 23347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5856, 57sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5958sselda 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6058adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 f1elima 6075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6252, 59, 60, 61syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6351, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6550, 64jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 breq1 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6766anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7067, 69rspc2va 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15
7165, 70sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14
7271an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13
7372simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
7432, 39, 40, 44, 73letrd 9629 . . . . . . . . . . 11
7574expr 615 . . . . . . . . . 10
7675exlimdv 1691 . . . . . . . . 9
7730, 76mpd 15 . . . . . . . 8
78 elrege0 11493 . . . . . . . 8
7926, 77, 78sylanbrc 664 . . . . . . 7
8079ex 434 . . . . . 6
81 ssrab2 3535 . . . . . . . . . 10
828, 81eqsstri 3484 . . . . . . . . 9
83 simpr 461 . . . . . . . . . 10
84 f1ocnvdm 6088 . . . . . . . . . 10
8511, 83, 84syl2an 477 . . . . . . . . 9
8682, 85sseldi 3452 . . . . . . . 8
872, 3, 63jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887, 7jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
9035sselda 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14
93 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15
9411, 93, 84syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
9558sselda 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9695adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14
9892, 94, 973jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13
9989, 98jca 532 . . . . . . . . . . . 12
100 f1ofun 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10111, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 fdm 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10311, 33, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10435, 103sseqtr4d 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105 funfvima2 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106101, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10758, 103sseqtr4d 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 funfvima2 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109101, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110106, 109anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14
113 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14
114 breq1 4393 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15
118115, 117rspc2v 3176 . . . . . . . . . . . . . 14
119112, 113, 118sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
120 f1ocnvfv2 6083 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12111, 93, 120syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121breq2d 4402 . . . . . . . . . . . . . 14
123121breq1d 4400 . . . . . . . . . . . . . 14
124122, 123anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
125119, 124mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
1268, 9axcontlem8 23352 . . . . . . . . . . . 12
12799, 125, 126sylc 60 . . . . . . . . . . 11
128127anassrs 648 . . . . . . . . . 10
129128ralrimivva 2904 . . . . . . . . 9
130 opeq1 4157 . . . . . . . . . . 11
131130breq2d 4402 . . . . . . . . . 10
132 opeq2 4158 . . . . . . . . . . 11
133132breq2d 4402 . . . . . . . . . 10
134131, 133cbvral2v 3051 . . . . . . . . 9
135129, 134sylib 196 . . . . . . . 8
136 breq1 4393 . . . . . . . . . 10
1371362ralbidv 2861 . . . . . . . . 9
138137rspcev 3169 . . . . . . . 8
13986, 135, 138syl2anc 661 . . . . . . 7
140139expr 615 . . . . . 6
14180, 140syld 44 . . . . 5
142141ex 434 . . . 4
143142com23 78 . . 3
144143rexlimdv 2936 . 2
14525, 144mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 965   wceq 1370  wex 1587   wcel 1758   wne 2644  wral 2795  wrex 2796  crab 2799   wss 3426  c0 3735  cop 3981   class class class wbr 4390  copab 4447  ccnv 4937   cdm 4938   crn 4939  cima 4941   wfun 5510  wf 5512  wf1 5513  wfo 5514  wf1o 5515  cfv 5516  (class class class)co 6190  cr 9382  cc0 9383  c1 9384   caddc 9386   cmul 9388   cpnf 9516   cle 9520   cmin 9696  cn 10423  cico 11403  cfz 11538  cee 23269   cbtwn 23270 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-z 10748  df-uz 10963  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-ee 23272  df-btwn 23273 This theorem is referenced by:  axcontlem11  23355
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