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Theorem axcontlem10 24945
 Description: Lemma for axcont 24948. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1
axcontlem10.2
Assertion
Ref Expression
axcontlem10
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5141 . . . . 5
2 simpll 758 . . . . . . 7
3 simprl1 1050 . . . . . . 7
4 simplr1 1047 . . . . . . . 8
5 simprl2 1051 . . . . . . . 8
64, 5sseldd 3408 . . . . . . 7
7 simprr 764 . . . . . . 7
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8
108, 9axcontlem2 24937 . . . . . . 7
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1267 . . . . . 6
12 f1ofo 5781 . . . . . 6
13 forn 5756 . . . . . 6
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5
151, 14syl5sseq 3455 . . . 4
16 rge0ssre 11691 . . . 4
1715, 16syl6ss 3419 . . 3
18 imassrn 5141 . . . . 5
1918, 14syl5sseq 3455 . . . 4
2019, 16syl6ss 3419 . . 3
218, 9axcontlem9 24944 . . 3
22 dedekindle 9749 . . 3
2317, 20, 21, 22syl3anc 1264 . 2
24 simpr 462 . . . . . . . 8
25 simprl3 1052 . . . . . . . . . . 11
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
27 n0 3714 . . . . . . . . . 10
2826, 27sylib 199 . . . . . . . . 9
29 0red 9595 . . . . . . . . . . . 12
30 f1of 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
328axcontlem4 24939 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332, 5sseldd 3408 . . . . . . . . . . . . . . 15
3431, 33ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . . 14
3516, 34sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . 13
3635ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12
37 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12
38 elrege0 11689 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . 14
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
4140ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12
42 f1of1 5773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 f1elima 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4543, 33, 32, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
465, 45mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4943adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
51 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5350, 51, 523jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
548axcontlem3 24938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5553, 54sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5655sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5755adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 f1elima 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5949, 56, 57, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6048, 59mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6247, 61jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 breq1 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6764, 66rspc2va 3135 . . . . . . . . . . . . . . 15
6862, 67sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14
6968an32s 811 . . . . . . . . . . . . 13
7069simpld 460 . . . . . . . . . . . 12
7129, 36, 37, 41, 70letrd 9743 . . . . . . . . . . 11
7271expr 618 . . . . . . . . . 10
7372exlimdv 1772 . . . . . . . . 9
7428, 73mpd 15 . . . . . . . 8
75 elrege0 11689 . . . . . . . 8
7624, 74, 75sylanbrc 668 . . . . . . 7
7776ex 435 . . . . . 6
78 ssrab2 3489 . . . . . . . . . 10
798, 78eqsstri 3437 . . . . . . . . 9
80 simpr 462 . . . . . . . . . 10
81 f1ocnvdm 6142 . . . . . . . . . 10
8211, 80, 81syl2an 479 . . . . . . . . 9
8379, 82sseldi 3405 . . . . . . . 8
842, 3, 63jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584, 7jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14
8685adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
8732sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14
90 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15
9111, 90, 81syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14
9255sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14
9589, 91, 943jca 1185 . . . . . . . . . . . . 13
9686, 95jca 534 . . . . . . . . . . . 12
97 f1ofun 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9811, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
99 fdm 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10011, 30, 993syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10132, 100sseqtr4d 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 funfvima2 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10398, 101, 102syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10455, 100sseqtr4d 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105 funfvima2 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10698, 104, 105syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107103, 106anim12d 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14
110 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . 14
111 breq1 4369 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112111anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
113 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114113anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
115112, 114rspc2v 3134 . . . . . . . . . . . . . 14
116109, 110, 115sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13
117 f1ocnvfv2 6135 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11811, 90, 117syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118breq2d 4378 . . . . . . . . . . . . . 14
120118breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . . 14
121119, 120anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13
122116, 121mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12
1238, 9axcontlem8 24943 . . . . . . . . . . . 12
12496, 122, 123sylc 62 . . . . . . . . . . 11
125124anassrs 652 . . . . . . . . . 10
126125ralrimivva 2786 . . . . . . . . 9
127 opeq1 4130 . . . . . . . . . . 11
128127breq2d 4378 . . . . . . . . . 10
129 opeq2 4131 . . . . . . . . . . 11
130129breq2d 4378 . . . . . . . . . 10
131128, 130cbvral2v 3004 . . . . . . . . 9
132126, 131sylib 199 . . . . . . . 8
133 breq1 4369 . . . . . . . . . 10
1341332ralbidv 2809 . . . . . . . . 9
135134rspcev 3125 . . . . . . . 8
13683, 132, 135syl2anc 665 . . . . . . 7
137136expr 618 . . . . . 6
13877, 137syld 45 . . . . 5
139138ex 435 . . . 4
140139com23 81 . . 3
141140rexlimdv 2854 . 2
14223, 141mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872   wne 2599  wral 2714  wrex 2715  crab 2718   wss 3379  c0 3704  cop 3947   class class class wbr 4366  copab 4424  ccnv 4795   cdm 4796   crn 4797  cima 4799   wfun 5538  wf 5540  wf1 5541  wfo 5542  wf1o 5543  cfv 5544  (class class class)co 6249  cr 9489  cc0 9490  c1 9491   caddc 9493   cmul 9495   cpnf 9623   cle 9627   cmin 9811  cn 10560  cico 11588  cfz 11735  cee 24860   cbtwn 24861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-z 10889  df-uz 11111  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-ee 24863  df-btwn 24864 This theorem is referenced by:  axcontlem11  24946
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